動型的綜合題,并且由運動的幾何圖形來看,類型各異,頗具特色.doc

北京中考網(wǎng)北達教育旗下 電話北省中考數(shù)學最后一道壓軸題的命制，從1996年至2001年的近五年來呈現(xiàn)出一個規(guī)律：都是幾何圖形運動型的綜合題，并且由運動的幾何圖形來看，類型各異，頗具特色。一、單點運動型例1 (1999年河北省中考壓軸題)如圖1-1，正方形OABC的頂點O在坐標原點，且OA邊與AB邊所在直線的解析式分別為：y=x和y=-x+。D、E分別為邊OC和AB的中點，P為OA邊上一動點(點P與點O不重合)，連結(jié)DE和CP，其交點為Q。(1)求證：點Q為COP的外心；(2)求正方形OABC的邊長；(3)當Q與AB相外切時，求點P的坐標。解：(1)D、E分別為正方形OABC中OC、AB的中點，DEOA。Q也是CP的中點。又CP是RtCOP的斜邊，點Q為COP的外心。(2)由方程組解得點A的坐標為(4，3)。過點A作AFox軸，垂足為點F。OF=4，AF=3。由勾股定理，得OA=5。(3)如圖1-2，當COP的外接圓Q與AB相切時，圓心Q在直線DE上，且DEAB，E為Q與AB相切的切點。又AE和APO分別是Q的切線與割線AE2=APAOOA=5，AE=()2=AP5，AP=當Q與AB相切時，OP=5-作PHox，垂足為H。PHAF，OH=，PH=點P的坐標為(3，)二、雙點互動型例2 (1997年河北省中考壓軸題)已知：如圖2-1，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB為O的直徑。動點P從點A開始沿AD邊向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3厘米/秒的速度運動。P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動。設運動時間為t秒。求：(1)t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？(2)t分別為何值時，直線PQ與O相切、相交、相離？解：(1)ADBC，只要QC=PD，四邊形PQCD為平行四邊形。此時，有3t=24-t，解，得t=6。即當t=6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形。同理，只要PQ=CD，PDQC，四邊形PQCD為等腰梯形。過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(如圖2-2)，則由等腰梯形的性質(zhì)可知：EF=PD，QE=FC=2。2=3t(24-t)解得t=7t=7秒時，四邊形PQCD為等腰梯形。 (2)設運動t秒時，直線PQ與O相切于點G(如圖2-3)，過P作PHBC，垂足為H。則PH=AB，BH=AP，即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。由切線長定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即(26-2t)2=82+(26-4t)2化簡整理，得3t2-26t+16=0解，得t1=，t2=8即t=秒或t=8秒時，直線PQ與O相切。t=0(秒)時，PQ與O相交；當t=8(秒)時，Q點運動到B點，P點尚未運動到D點，但也停止運動，此時PQ也與O相交。當t=或t=8時，直線PQ與O相切；當0t或8t8時，直線PQ與O相交；當t8時，直線PQ與O相離。三、直線平移型例3 (2000年河北省中考壓軸題)在如圖3-1所示的直角坐標系中，點C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA=2，AOC=60，以OA為直徑P經(jīng)過點C，點D在y軸上，DM為始終與y軸垂直且與AB邊相交的動直線，設DM與AB邊的交點為M(點M在線段AB上，但與A、B兩點不重合)，點N是DM與BC的交點設OD=t。(1)求點A和B的坐標；(2)設BMN的外接圓G的半徑為R，請你用t表示R及點G的坐標；(3)當G與P相切時，求直角梯形OAMD的面積。 解：(1)連結(jié)AC。OA為P的直徑，ACO=90又OA=2，AOC=60，OC=1，AC=點A的坐標為(,1)又OABC為平行四邊形，ABOC，點B的坐標為(,2)(2)DMy軸，且ABOC，DMAB。NMB=90G的圓心G為BN的中點。又B=AOC=60，BM=BN=R。而點B的縱坐標為2，點M的縱坐標=點D的縱坐標=t，BM=2-t，R=2-t過點G作GHy軸，交x軸于點H，交DM于點F；過點G作GKx軸，交AB于點K(如圖3-2)。根據(jù)垂徑定理，得到：FM=MN，KM=BM。設點G的坐標為(x, y) NM=(2-t)x=DM-MN=-(2-t)=t，y=OD+BM=t+(2-t)=1+t。點G的坐標為(t，1+t)。(3)連結(jié)GP，過點P作PEx軸，交GH于點E。由PEGE，根據(jù)勾股定理得：GP=當G與P外切時，PG=R+1，=3-t。解得t=，經(jīng)檢驗t=是原方程的根。此時，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=此時，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=，直角梯形OAMD的面積為：S=，DM=。四、點線共動型例4 (2001年河北省中考壓軸題)如圖4-1，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60。點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動；設點M移動的時間為t秒(0t10)。 (1)點N為BC邊上任意一點。在點M移動過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分？并說明理由；(2)點N從點B(與點M出發(fā)的時刻相同)以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，在什么時刻，梯形ABNM的面積最大？并求出面積的最大值；(3)點N從點B(與點M出發(fā)的時刻相同)以每秒a(a2)個單位長的速度沿著射線BC方向(可以超越C點)移動，過點M作MPAB，交BC于點P。當MPNABC時，設MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關系式，并求出S=0時a的值。解：(1)MN一定能在某一時刻將菱形ABCD分割成面積相等的兩部分。對于中心對稱圖形，過中心的任一直線均能將圖形分割成面積相等的兩部分。而且菱形是中心對稱圖形(如圖4-2所示)。在點M由A到D的移動過程中，一定存在一個時刻，使得線段MN過菱形的中心。(2)過B作BEAD，垂足為E(如圖4-3)。在RtABE中，BE=10sin60=5AM=t，BN=2t，S梯形ABNM=(t+2t)5=t。2t10，t5當t=5時，S梯形ABNM最大。最大面積為：5=。 (3)ABC是腰長為10的等腰三角形。當ABCABC時(如圖4-4)MP=10，PN=BC=10，且MP=PN。NC=PN-PC=BC-PC=PBBP=AM=t，PC=10-t，NC=t過P作PGDC，垂足為G。在RtPGC中，PG=PCsin60=(10-t)。設MN交DC于F，DCMP，且MP=PN，NFC=NMP=MNP，F(xiàn)C=NC=t。重疊部分MPCF是梯形，S=(t+10)(10-t)=-t2+25當S=0，即-t2+25=0時，解得t1=10，t2=-10(舍去)BN=at，且BN=PN+PB=10+t，at=10+t。將t=10代入at=10+t，解得a=2。五、點圓齊動型例5 (1998年河北省中考壓軸題)如圖5-1所示，一艘輪船以20浬/時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以40浬/時的速度由南向北移動，距臺風中心20浬的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風區(qū)。當輪船到A處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100浬。 (1)若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風？若會，試求輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由；(2)現(xiàn)輪船自A處立即提高航速，向位于東偏北30方向，相距60浬的D港駛?cè)ァ槭古_風到來之前，到達D港，問船速至少應提高多少(提高的船速取整數(shù)，3.6)？解：(1)設途中會遇到臺風，且最初遇到臺風的時間為t小時，此時，輪船位于C處，臺風中心移到E處，連結(jié)CE(如圖5-2)。則有AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20。在RtAEC中，AC2+AE2=EC2，(20t)2+(100-40t)2=(20)2。整理，得t2-4t+3=0=(-4)2-413=40，途中會遇到臺風。解，得t1=1，t2=3。最初遇到臺風的時間為1小時。(2)設臺風抵達D港時間為t小時，此時臺風中心至M點。過D作DFAB，垂足為F，連結(jié)DM。在RtADF中，AD=60，F(xiàn)AD=60，DF=30，F(xiàn)A=30。又(30)2+(130-40t)2=(20)2，整理，得4t2-26t+39=0解之，得t1=，t2=。臺風抵達D港的時間為小時。輪船從A處用小時到D港的速度為6025.5。因此，為使臺風抵達D港之前輪船到D港，輪船至少應提速6浬/時。連續(xù)五年的中考壓軸題都以幾何圖形的運動為