（計算數(shù)學專業(yè)論文）有理曲線與曲面的μ基理論及應用.pdf

摘要 肛基是源于動曲線與動曲面理論、用以研究曲線與藍面性質(zhì)的代數(shù)工具因其特 殊的代數(shù)與幾何性質(zhì)，成為聯(lián)結睦線與曲面參數(shù)表示與隱式表示之間的橋梁 本文中我們將首先討論基于j ，基的平面有理益線與空間有理曲線奇點的理論及 計算特別地對平面有理曲線我們將從由曲線兒基構造的b p z 伽t 矩陣的s 】n i t l l 標 準型入手詳細討論平面有理曲線奇點樹的計算方法，并給出相應的理論證明對空間 有理曲線我們將首次提出軸動平面的概念并給出其判斷方法另外通過分析所有 伴隨空間有理曲線的動平面我們給出空間有理曲線上奇點和l f 基的聯(lián)系并研究所 有低次空間有理曲線及某些特殊類型的高次空間有理睦線的奇點類型和數(shù)目上界。同 時給出相應的奇點算法隨后我們將討論廣受關注的空間有理曲線的隱式方程問題 在第五章中，我們將同調(diào)代數(shù)理論與z z 基理論相結合，詳細分析三次及四次空間有理 曲線的動曲面理想生成元，為一般空間有理曲線的動曲面理想生成元的研究開辟可能 的道路而在第六章中我們集中討論空間有理曲線在不同層次定義下的隱式方程問 題，并對部分曲線給出其隱式方程最后，我們將詳細討論有理直紋面自交線軌跡的 計算并運用“基的主子結式序列首次給出有理直紋面自交線軌跡的方程表達 關鍵詞：平面有理曲線空間有理曲線，有理直紋面，動曲線曲面，p 基，奇點自交 線，動曲線動豳面理想集論理想論生成元 v a b s t r a c t t 1 1 et e c h l l i q u eo f 弘一1 ) a s e si s0 r i g i n a t e df r o n lt h et b e o n ( fn 10 、i n gl i n e ：弓a 1 1 dn j 0 、i n g p l a n e s ，z b a s e 8p 1 o v i d eac o n n e c t i o nb e i t w e e nt h ep a r a n l e t r i cf 0 r l n sa 1 1 di n l l ) l i c i tf 0 l 。n l s o f ( ：u l 。v e sa 1 1 ds u r f a c e sr l u et ot h e i rs p f i a la l g e h r a ca 1 1 dg e o l l l p t r j ( p r o p e i r t i e s 、0s h a l 】e x p l o r et b et h e o r ya n dc o n l p t l t a t i n n a lm e t b o d j = ；o ft h ps i n g t l l a r i t i p so f r a t i o n a lp l a n a rc u r 、e sa n dr a t i o n a ls p a ( 。ec m 、它sf r o n l ，一b a s e s f b rr a t j o n a lp l a n a r ( u l 、申s ：w es h a l ll 惜et h es n l n hf t j l l l io fi1 1 eb t i z j u tm a “。i xc o n s t l l 沁c d lf 1 q n la “- b a 萄s f ( j 1 t h er a t i o n a lp j a n a r ( u 1 弋et oc t ) i 】：1 p t t t et h es i l l g u l a l b t r p e 憾o ft h er a t i o n a lp l a n a r ( u r v e f b rr a t i ( ) n a ls 1 ) a e ec l l r v e s ，w es h a l li 1 1 t 1 o ( 1 u c et 1 1 ec o l l c e p to fa x i a lm 1 ) 、i n g1 ) l 乏l i l e s ， a n de x a m i n etb e1 e l a t i o l l s l l j pb e t 、7 l j e e i lt 1 1 es i n g l l 】a r i t i e sa n d ，上一1 ) a s e so fr a t i 0 1 1 a 1s 1 ) a c e c u l 、r e st l u o i l g l la l jt h em ( ) 、i 1 1 9p l a u e st h a tf o l l o wt b er a t i o n a ls p a c ec u n 叩s 、ka 1 8 0 g i 、豫a n a l y s i sf b rt h et y l ) e sa n du p p e rb o u n d 8o ft h en u n l b e r 8o fs i n g l i l a r i ti e so nl o w d e g r e er a t i o n a l 印a c ec u “e sa n ds o m es p e c j a lt y p eo fh i 曲d e g r e er a t i o u a ls p 駙ec u l v e s ： c 0 1 r e ： ；1 ) 0 1 1 d i n ga i g o r i t h m sa r ea l s op r e s e n t e d l 砒e 1 o nt h e 謝d es t u d i 州p r o b l e n lo f i m p l i c i t i z i d gr a t i o n a ls p a c ec t l r 、e sl sd i s ( ：u s s e d 08 h a l lf j r ：ta p l ) j yt h et e 出n i q u eo f - 1 ) a s 郫a n dl o c 甜c o h o n l 0 1 0 9 yt os t u d yt b em i n i m a 】g e n e l a t ( r sf o rt b em o 訂玎gs t l r f 微e i d e a l 8o fr a t i o n a lc u b i cs p a c ec u r 、屯sa n d1 a t i o n a lq l t a r t i cs p a c ee u n e s ，乏 n dt h e ns t u ( j y c 1 1 ei 1 1 】p l j c i 乞e q u a t i o n so fr a t i o n a ls p a c ec u r v e st m d e rd i f f 電l r e n td e f i n i t i o n 8o fi 1 1 1 p l i c j t e q u a t i ( ) 1 1 s f i n a l 】yw es 1 1 8 l le x p l o r ea j g ( ) r i t h i n sr ) rc o m p u t i n gs e l f i n t e r s e c ti 0 1 1c u n e s o fr a t i o n a lr u l e ds u l 。f ： l c e s u et 啪t 1 1 ep 1 i n c i l ) a is u b r e s u l t a n ts e q u p n c e s ( f 肛- b a s e s t oc o m p u t et h ep a r a n l e t r i ce q u a t i o mo ft h es e l f - i n t e r s e e t i o n ( t l r v e so fr a t i o n a l1 1 j l e ( 1 s l u ? f 8 ，( ：e s k e y w o r d s ： r a i o i l a li ) l a n a rn 瑾v e ，r 撕0 1 1 a ls p 8 c ec u r v e ，r a t i o n a ir t d “l(fā)s m f a c e ，m o v - i n gc u r 憎s u r f 如e ，b a s 倦，s i n g u l a r i 啊s e l f _ i n t e r s e c t i o nc u r v e ? n lo 、i n gc u r v e n l o v i n g s u r f 敏：ei d e a l ? i d p a l t h e ( ，r e t i c s e t t h e o r e f i c 驢n e r a t o r s v 1 中國科學技術大學學位論文原創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學位論文，是本人在導師指導下進行研究工作所取得的 成果。除已特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含任何他人已經(jīng)發(fā)表或 撰寫過的研究成果。與我一同工作的同志對本研究所做的貢獻均已在論文中作 了明確的說明。 作者簽名：啦 簽字r 期：哆灶 中國科學技術大學學位論文授權使用聲明 作為申請學位的條件之一，學位論文著作權擁有者授權中國科學技術大學 擁有學位論文的部分使用權，即：學校有權按有關規(guī)定向國家有關部門或機構 送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱，可以將學位論文編入有 關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編學位論 文。本人提交的電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。 保密的學位論文在解密后也遵守此規(guī)定。 匝簽開口保密( 年) 作者簽名：! 盈蒸進蘭 料醐：礙量生 導師簽名： 簽字日期： 致謝 在本文完成之際我衷心感謝我的導師陳發(fā)來教授在我攻讀博士期 間的悉心指導從2 0 0 4 年我進入研究生階段起陳發(fā)來教授給予我計算 機輔助幾何設計領域的啟蒙，并為我蹣跚學步的學術研究指明了方向陳 老師對學術的嚴謹態(tài)度和對學生的嚴格要求將使我永遠受益 我深深感謝r o ng o l d m a n 教授在我赴美學習的兩年中對我的傾力 培養(yǎng)每每憶起g c ，1 d m a n 教授的平易近人和對學生的關心總有感動涌 于心間在我兩年赴美期間，我的每稿論文( 、o k h n a n 教授都逐字改過 將要做的會議報告也幫我反復練習郵箱中近干封g ( ，l d i n 8 n 教授關于學 術問題的郵件和案頭厚厚的教授改過的手稿將使我終生懷念在萊斯大學 的求學時光 感謝鄧建松教授在我攻讀博士期間的盡心督促與幫助，以及在學術 上對我的耐心指導與交流鄧老師帶領我們做科研之余也伴我們共同度 過了在實驗室充滿歡樂和汗水的每一天在我們彷徨時給與我們督促與 鼓勵。是我們科研路上的良師益友 同時要特別感謝d 州d ( ：( ) x 教授在本文第五章完成過程中對我的耐 心指導與關于同調(diào)代數(shù)理論的傳授：感謝h a o h a ow a n g 教授在本文第 四章。第五章第二節(jié)與第六章的傾力合作：感謝l a u l e n tb u s e 教授在本 文第三章關于b e z o l l t 矩陣乘積分解的寶貴建議 特別感謝史曉冉同學對本文的細心勘誤與寶貴建議。感謝李瑩同學 和王旭輝同學長期以來對我的幫助 最后感謝我的父親母親在我成長過程中付出的汗水與艱辛，感謝父 親母親始終不曾懈怠的督促與鼓勵伴隨我走過求學路上的每一天 第一章緒論 1 1c a g d 中曲線與曲面的表示 計算機輔助幾何設計f ( ：o l n p l l t e ra i d e dg e o l l l e 仃i cd e ：! ；i g l l1 簡稱c a g d ) 主要研究 曲線與曲面的表示與逼近以及幾何體的計算與操作雖然人類對于曲線與曲面理念的 運用最早可追溯到古羅馬時代的造船業(yè)，但直到1 9 4 4 年r l i u l i i l g 的專著“a na 】、t i c a l g “m l e t l yw j t l ja 1 ) 1 ) l 渤t i o l lt oa i l ( r a t ”首次將傳統(tǒng)的繪圖方法轉(zhuǎn)換為數(shù)值算法計 算機輔助幾何設計的系統(tǒng)理論研究方才萌芽：而1 9 了4 年在美國猶他大學的會議標志 著計算機輔助幾何設計作為一門學科的正式建立 上世紀五六十年代。法國c i t e r o e n 汽車公司的工程師p a u ld ef a g e td pc a s t e l i a n 和其競爭者r 舢a(chǎn) u l t 汽車公司的工程師p i e r r eb e ! z i e r 先后獨立提出用控制多邊型定義 和操作曲線與藍面的理念b e z 論1 藍線和d e c a s t e l j a u 算法隨之產(chǎn)生，并被廣泛應用于 計算機圖形學f ( ( j l n l ) u t e rg r a p l l i ( - s ) 中平滑藍線模型的建立此后，b 樣條( b s p l i n e ) 和非均勻有理b 樣條( n u r b s l 相繼產(chǎn)生b 樣條克服了b e i z e l 曲線不能進行局部 操作的缺點，而n u r b s 進一步對控制點賦予了權重從而實現(xiàn)了曲線拼接的高度連 續(xù)性這兩種形式逐漸發(fā)展成為c a d c a m 工業(yè)中標準的曲線與曲面形式此后，三 角曲面片，細分曲面等多種曲面形式得到了廣泛細致的研究基于這一系列的曲線與 曲面形式，人們逐漸提出了插值、逼近、求交、擬合等幾何操作與運算方法 4 1 】 參數(shù)形式與隱式形式是( ! a g d 中曲線與曲面的兩種主要表示方式例如b e i z e r 曲線與曲面、b 樣條曲線與睦面均為在c a g d 中廣泛應用的參數(shù)曲線與曲面；而橢 圓、雙曲線及橢球面、馬鞍面等二次曲線與曲面通常采用隱式表達參數(shù)形式與隱式 形式有其各自不同的優(yōu)勢與不足因此在幾何計算及造型中，人們通常根據(jù)具體問題 選擇更加便利的曲線與曲面的表示方式由參數(shù)形式人們便于實現(xiàn)曲線與曲面的繪制 與控制，卻不易判斷曲線或曲面的邊界或內(nèi)外部；而相應地，從隱式表示出發(fā)曲線與 曲面的繪制變得困難，但判斷給定曲線或藍面的邊界或內(nèi)外部非常簡單對于兩條曲 線或兩個曲面的求交問題，若我們同時具有其中一個曲線或曲面的參數(shù)形式以及另 外一個曲線或曲面的隱式方程。則問題立即得到簡化基于以上原因，人們需要對同 一曲線或曲面在其參數(shù)表示與隱式表示間做相互轉(zhuǎn)換，即參數(shù)方程的隱式化與隱式方 程的參數(shù)化值得指出的是，任何參數(shù)表示的曲線或曲面一定可以隱式化。而隱式表 示的曲線或曲面并不一定可以參數(shù)化 關于隱式曲線和曲面的參數(shù)化已有大量的研究成果例如a b h y a n k a r 與b a j a j 依次研究了二次曲線與曲面、三次曲線與曲面、虧格為零的平面代數(shù)曲線以及空間代 數(shù)曲線的參數(shù)化問題【5 - 8 】；h o 喲隨后運用整基( i n t e 鏟a 1 1 ) a s i s ) 給出了平面代數(shù)曲線 的高效參數(shù)化算法 4 9 】；s c k c h o 系統(tǒng)性地討論了代數(shù)曲面的參數(shù)化問題【6 6 - 6 9 】 1 2 0 0 9 年 第一章緒論 中國科學技術大學博士學位論文第2 頁 1 2 曲線與曲面的隱式化 同時，參數(shù)曲線與曲面的隱式化問題也長期以來受到計算幾何學界的廣泛關注 傳統(tǒng)的曲線與曲面隱式化方法主要有結式方法、g r 6 b n e r 基方法和吳方法等但這些 方法各自在高效性或適用性上有不足而近年來s e d e r h 唱、c 0 x 與陳發(fā)來提出了全新 的動曲線( 1 1 1 0 v i l l gc l l l 、e s ) 與動曲面( n l o v i n gs i l r f a c 郎) 隱式化方法在下一節(jié)中我 們將集中回顧豳線與曲面隱式化問題的研究歷程 1 2曲線與曲面的隱式化 1 9 ( 8 年d 泌o n 提出了由三個多項式中消去兩個變元的結式方法f 3 4 1 該方法在 相當長的時期內(nèi)成為曲面隱式化的標準方法】9 8 3 年s e d e r b e l g 將d i x o n 結式運用 于分片代數(shù)曲面的隱式化中f 7 4 1 隨后c b i o n h 與g o 】d n l a n 深入研究了雙變元及多 變元的結式理論f 2 2 ，2 3 1 ；c k o n l l 、z h a n g 與g o l d l n a n 探討了基于牛頓多邊形的結式 隱式化方法f 2 訃并給出了b e z o u t 結式及d i x o n 結式的快速算法f 2 4 1 然而結式方 法在曲線或曲面具有基點的情況下失效對此，m l ( 1 ( 1 1 a 與c a l l l l v 提出了尋找d i x o n 結式的最大子式的隱式化方法協(xié)5 1 但該子式往往含有多余因子c 1 1 i ( m h 與g ( l ( i n l a l l 提出的攝動法可用于消除該多余因子f 2 1 1 c r 曲n e r 基方法也是曲線與曲面隱式化的重要方法之一g r 曲n e l 基理論最早由 g 喲b n e r 的學生b u c h b e r g e r 于1 9 6 5 年提出，隨后成為計算代數(shù)幾何中的重要理論工 具關于g r 6 b n e r 基理論的發(fā)展和基于g r 6 b 1 1 e r 基方法的曲線與曲面的隱式化問題 參見f l 。1 3 1 從理論角度講，g 拍1 ) 1 1 e r 基可以實現(xiàn)任意次數(shù)及維數(shù)的曲線與曲面的隱式 化，而不需要對基點的存在與否分情況討論；然而在實際應用中，g r 6 b n e r 基方法因 其近于指數(shù)級的算法復雜度而難以實現(xiàn) 第三種曲線與曲面的隱式化方法是吳文俊提出的吳特征列方法f 8 4 1 ，簡稱吳方法 但通過吳方法得到的曲線與曲面的隱式方程可能含有不在該曲線或曲面上的低維分 支對此，李子明提出了基于吳投影定理的曲線與曲面的隱式化方法f 5 9 1 但該方法的 投影過程非常耗時且會生成大量的復雜多項式王東明繼而提出將投影過程并入消元 過程的分解算法【7 9 使隱式化效率有所提高，但如何簡化該過程生成的復雜多項式， 從而得到較簡形式的隱式方程仍然是未解決的問題 鑒于上述曲線與曲面隱式化方法的不同缺陷，s e d e l b e r g 、c o x 與陳發(fā)來提出了全 新的動曲線與動曲面隱式化方法 1 2 1動曲線與動曲面方法 1 9 9 5 年，s e d e r b e r g 與陳發(fā)來提出了一種全新的曲線與曲面的隱式化方法一動 曲線與動曲面方法【7 6 】該方法可追溯到牛頓利用兩族直線相交來構造二次曲線的思 想如圖2 4 1 所示，兩直線族對應直線的交點形成了一條二次曲線 2 ( 嘲年 第一聿緒論 中國科學技術大學博士學位論文第3 頁 1 2 曲線與曲面的黲式化 在動曲線和動曲面方法中通過推廣直線族的表示，可以把曲線、曲面的隱式方程 表示為一個階數(shù)相對低的行列式，行列式的每個元素是二次( 或一次) 函數(shù)因而在曲 線與曲面的隱式化方面動曲線與動曲面方法較之傳統(tǒng)的g r 6 b n e l ?；椒ê徒Y式方法 有更高的效率【】6 7 5 7 7 1 更為重要的是，當曲面具有基點時：這種算法使得隱式方程 的表示仍然有效而且更加簡化但運用動曲線和動曲面理論計算曲線與眭面的隱式 方程時如何選取合適的動曲線和動曲面使得相應的隱式化行列式不恒為零仍是有待 解決的問題 圖1 2 1 兩直線族相交成二次曲線 1 2 2有理曲線與曲面的f f 基 l z 基是新近出現(xiàn)在幾何造型領域中用以研究曲線與曲面性質(zhì)的代數(shù)工具基概 念源于動曲線與動曲面理論。因其特殊的代數(shù)與幾何性質(zhì)，成為聯(lián)結曲線和曲面參數(shù) 表示和隱式表示之間的橋梁，從而為幾何造型提供了極大的方便 1 5 1 曲線和曲面的，基實際上是曲線和曲面所定義的s y z y g y 模的一組基s y z y g 、r 模 理論在代數(shù)幾何和交換代數(shù)中已經(jīng)被研究超過了一個世紀，因此可以認為口基理論是 s y z ) ? g y 模理論在計算機輔助幾何設計和幾何建模領域的新應用 目前平面有理曲線、空間有理曲線及有理直紋面的基算法已經(jīng)相對完善2 8 - 3 0 ，7 3 ，8 6 】，但對于一般有理曲面肛基定義方面還有一些問題。例如次數(shù)最小的定義 并不是很明確；另外此時計算相應s y z y g y 模的基也是比較困難的問題對此3 6 1 中對于一般的有理睦線與曲面的“基給出了多項式矩陣分解的算法這也是目前唯一 的可以在任何情形下計算曲線和曲面n 基的方法( 次數(shù)不一定最低) ；但該算法效率 仍然比較低，且在如何計算最低次的曲面口基、計算復雜性方面尚待進一步研究 曲線與曲面的 基不僅可以給出高效的曲線、曲面隱式化方法也為研究藍線與 瞳面的幾何性質(zhì)( 如正則重新參數(shù)化、奇點、拐點) 提供了新的途徑在c a g d 領 域。已有大量基于弘基理論的曲線與曲面研究結果出現(xiàn)例如，【2 7 1 給出了高階奇異 有理曲線的更緊湊的隱式方程表示；【3 0 】應用直紋面的p 基對直紋面進行重新參數(shù) 2 0 0 9 年中國科學技術大學博士學位論文 第一章緒論 第4 頁 1 3 小結 化：【3 2 】f 8 0 】分別給出了基于弘基的平面有理曲線與空間有理曲線上奇點的高效計算 方法f 5 2 】給出了基于p 基的有理直紋面上自交線的算法而在代數(shù)幾何領域，利用 p 基理論研究曲線與曲面也成為逐漸受到關注的課題【1 1 1 8 ，1 ) 】 1 3小結 本章中我們回顧了( ? a g d 中曲線與曲面的兩種重要的表示方式：參數(shù)形式與 隱式形式目前關于隱式曲線與曲面的參數(shù)化和參數(shù)曲線與曲面的隱式化已有大量 的研究成果而隱式化問題成為人們更為關注的課題傳統(tǒng)的隱式化方法有結式方 法、g r 確n e r 基方法及吳方法等。但這些方法均在高效性與適用性上存在各自的不 足1 9 9 5 年s e ( 1e 1 b e l g 與陳發(fā)來提出的動曲線與動曲面方法大大提高了參數(shù)曲線與 曲面的隱式化效率而口基是隨動曲線與動曲面理論之后出現(xiàn)在幾何造型領域中用以 研究曲線與曲面性質(zhì)的代數(shù)工具，因其特殊的代數(shù)與幾何性質(zhì)成為聯(lián)結曲線和曲面 參數(shù)表示和隱式表示之間的橋梁，從而為幾何造型提供了極大的方便【1 5 | 我們首先在第二章中準備后面章節(jié)所需的理論背景在第三、四章中，我們將依 次討論基于“基的平面有理曲線和空間有理曲線的奇點理論和計算：對平面有理曲 線，我們將詳細討論曲線上奇點樹的計算方法并給出詳細的理論證明并且從“基途 徑給出代數(shù)幾何上平面有理瞌線虧格為零的新證明；對空間有理曲線我們將運用口 基給出所有低次空間有理曲線及部分特殊類型的高次空間有理曲線上奇點的類型和數(shù) 目上界，并且給出相應的奇點算法在第五、六章中，我們將討論廣受關注的空間有理 曲線的隱式方程問題：在第五章中我們將運用同調(diào)代數(shù)理論結合肛基詳細分析低次 空間有理曲線的動曲面理想生成元。為一般空間有理曲線動曲面理想生成元的研究開 辟可能的道路；而在第六章中，我們集中討論空間有理曲線在各種定義下的隱式方程 問題，并對部分曲線給出其隱式方程在最后一章中我們將詳細討論有理直紋面自 交線軌跡的計算，并運用“基首次給出有理直紋面自交線軌跡的方程表達 第二章基礎知識 本章中我們介紹后續(xù)各章所要用到的預備知識 2 1 理想、簇及h i l b e r t 零點定理 令k 為域k h 。，】為域k 上關于變量3 。1 一z 。的7 7 元多項式環(huán)本文 中我們的研究均在特征為零的域k 上進行如實數(shù)域璁、復數(shù)域e 等 定義2 1 1 扛杉令，卜五。為多項式環(huán)k 【r 1 一。，】上的多項式，則集合 v ( ： ，) = “1 ? n n ) 瑟： ( 0 1 。：( h ) = o ：1 m ) 稱為由多項式 ，j 厶定義的仿射簇以歷? 拋7 e 砂 定義2 1 2 印彳，集合ck h ，?！糠Q為多項式環(huán)k h ，：r ，】上的理想r i d e n 矽， 如果 0 ， 2 若，9 ，。則，+ 9 ， 了若，且九囂【c l ：z 。j 。則_ 2 。廠， 定義2 1 3 口令 ，工。k p l 一以，】則理想 稱為由多項式 ，厶生成的理想 定義2 1 4 口彰令l ? c 霹1 為仿射簇，則理想 i ( i 廠) = ，k f 上1 ，?！浚簩τ谒? n 1 ，j 口。) 1 ，均有， 1 ：，) = o ) 稱為對應仿射簇y 的理想 定義2 1 5 p 設，k 【z 17 ，】為理想，則理想，的根理想r m 出ff 如叫為集 合 以= ，：存在正整數(shù) l 1 使得，m ，) 5 、rjl a h p k 廣c 廳危 n 。 r l = 、v f ， 2 0 0 9 年中國科學技術大學博士學位論文 第二章基礎知識 第6 頁 2 2 模、自由模 命題2 1 6f 歷f 鈀仃強零點定理，肛若k 為代數(shù)閉域，則對于理想，k 【a l 。，z ”】 有 i ( v ( 聊= 以 本文中的理論分析大多在齊次多項式環(huán)k f ，。，】與射影空間雌上進行，于 是我們需要如下相應的定義及性質(zhì) 定義2 1 - 7 口彳，令 ，? ，k 【。o j 以l 為齊次多項式， 則集合 v ( ? ， 。) = ( 口o ，? 訂1 ，) 雌：工( m j 一? 仉；) = o 1 冬 s ，n 稱為由齊次多項式 ，：厶定義的射影簇仞吻e e 汛，et ，c l 婦t 5 j 定義2 1 8 加多項式環(huán)k 【黝，】中的理想稱為齊次的，若對于任意，r ? ，的齊次部分五也均在j 中， 命題2 1 9 乒彳，令醚為代數(shù)閉域，且令j 為多項式環(huán)k 1 - 一，z ”】中的的齊次理 想若1 7 = v ( ，) 是曜中的非空射影簇， 則 2 2 模、自由模 i ( v ( = 以 定義2 2 1 令r 為舍單位元的交換環(huán)非空集m 稱為月模，若上定義了兩種運 算7 7 l ，內(nèi)元素的加法運算、及r 中元素與m 中元素的乘法運算，且這兩種運算滿 足： 7 構成阿貝爾加法群，即五，內(nèi)元素的加法運算滿足交換律和結合律，且對任意 ，均有一，a f 從而，+ ( 一，) = 0 1 ，； 2 蟪任意q r 、9 m 均衣q ，u 七g 、= q 七n 9 ； 7 對任意0 ? 6 r ，a ，均有( 口+ 6 ) ，= n ，+ 吁； 彳對任意n ，6 冗，射，均有曲( ，) = n ( 6 ，) ； 曩令f 為冗的單位元，則對任意，有l(wèi) ，= ， 因此，我們可直接把模m 視為環(huán)r 上的向量空間，我們有時也將r 模m 簡稱 為模m 2 9 年中國科學技術大學博士學位論文 第二章基礎知識 第7 頁 h 2 3 結式 定義2 2 2 設 ，為冗模，的子集f 稱為模 ，的生成集，若對于任意， ，。 均有 ，工f n 1 ，o ，曰使得廠= ( t 1 + ，n ， 若f 為有限集，剮 f 稱為 ，的有限生成集進一步地，若對于任意廠 ，= ( t l + ：( l ，。 的表 示方式是唯一的，則f 成為模j ，的基 定義2 2 3 若模a ，存在有限生成集，則稱為有限生成模；進一步地，若模1 j f 存 在基p ，則稱為自由模 2 3 結式 定義2 3 1 口令戶( 8 ) ? q ( s ) 分別為多項式環(huán)酞h 上的n 次和m 次多項式。且 p ( s ) = p 。8 ”+ p 一1 $ ”一1 + + 伽，q ( s ) = ，。亭”+ ( f m 一1 $ ”卜1 + + 咖 則多項式p ( s ) 與q ( s ) 的勖阮e s 把r 矩陣為 s 州p tq ) = 扔lp n 一1 p o a ，一1 吼l g ，月舔，一l q o 多項式i p ( s ) 和q ( s ) 的勖如，e s f e r 結式為r e s ( p tq ) = d e t ( s y l ( p q ) ) ( 2 3 1 ) 定義2 3 2 盤刃令p ( s ) ，q ( s ) 分別為多項式環(huán)r h 上的 次和m 次多項式，且 7 l m 設 p ( s j = 2 k 礦+ p n l s 鉗一1 + + 伽，q ( 5 ) = 口，。s m + 口m l s 7 n 一1 + + 細 則多項式p ( s ) 與q ( s ) 的b e ：o 講矩陣( b j ) 的定義為： l n i l l p 一l 一力 最= 仞t 一如劬+ 1 + 七一幻一知+ 1 + 靜) ， 玉= m a x ( o 。f j ) 其中吼= o 。f = 7 n + l ，n 多項式p ( s ) 與q ( 8 ) 的b e z d 缸結式為其口e 加讓t 矩陣 ( b 0 ) 的行列式 2 0 f j g 年 第二章基礎知識 中國科學技術大學博士學位論文第8 頁 2 4 動曲線與動曲面 引理2 3 3 鬣刃設，( s ) 和夕( s ) 分別為，n 次和，1 次的多項式( 扎n 1 ) 記廠! 夕的 b e z d “矩陣為b ( ，夕) 則。，和9 的最大公因子為r 次當且僅當 1 鋤k ( b ( ，9 ) ) = ，2 一 定義2 3 4 弘令p ( ? ) ，q ( 。r ) 袋【丁】：且7 ，= d p g ( p ) ”2 = f 1 p g ( q ) ： p ( a ) = j ) o 。+ p 1 礦一1 + + j k ，q ( a ) = 磯i a 州+ q l z 7 n 一1 + + g 。 則p ( a ) 和q ( 丁) 的第f 個主子結式系數(shù)p s c ，( p q ) 是下面矩陣的行列式? n + 一量 協(xié)l p n 一毋+ m l ： p o 脅l 一 仍n 一捌+ 一1 口m 一 其中i ( 1 ：，n ) ，且對于f n ，歹 ，7 7 有a = 劬= o 引理2 3 5 刎令p ( r ) ，q ( a ) r k j ，且n = d e g ( p ) m = d e g ( q ) ： 尸( 丁) = p o ，。+ 刀13 - n 一1 + + ，k ，q 扛) = g o z 竹。+ 口l a ：m 一1 + + g ，n 令p s c f ( p ，q ) 為關于p i q 的第t 個主子結式系數(shù)那么 啡剛= t 錯讎籃暑砷- l 糾釧 ( 2 3 2 ) 2 4 動曲線與動曲面 令r 舊為實系數(shù)多項式環(huán)一條動直線( m o v i n gl m e ) 是指一族與參數(shù)t 相對應 的直線： 己( z ，掣， ；) ：= a ) a ：+ b ( f ) 耖+ c ( f ) t ) = o ，( 2 4 1 ) z 一 一 ，f ， m ilj、，、rj 2 f f j 9 年 第二章基礎知識 中國科學技術大學博士學位論文第。頁 玨4 動曲線與動曲面 其中4 ( 班b ( f ) c ( f ) 璁”有時我們也將動直線( 2 4 1 ) 記為l ( f ) = ( - ( 班b ( f ) ! f ( t ) ) 動直線( 2 4 1 ) 的次數(shù)定義為多項式4 ( f ) b ( f ) ：c ( f ) 的最高次數(shù) 我們稱動直線l ( f ) 伴隨( f o l l u w ) 平面有理曲線p ( f ) = ( 口( n6 ( ) ，( ，( ) ) 若 l ( ) p ( f ) = 。 ) 口( f ) + b ( f ) 6 ( ) + f ( z ) c ( f ) 三o ( 2 4 2 ) 式( 2 = 2 ) 的幾何意義為，對于任意給定的參數(shù)值“直線l ( 總經(jīng)過點p f 該情 形下? 我們也稱動直線l ( f ) 為平面有理曲線p ( ，j 的齡z 、g 、t 類似地令r k ，j 為關于參數(shù)s f 的實系數(shù)多項式環(huán)一個動平面( a f o 、i n gp h j p ) 是 指一族與參數(shù)s t 相對應的平面： 三( 以。：u ：s f ) ：= ( s ，f ) c + b ( s f ) ! ，+ c ( s t ) ：+ d ( s 。t ) “，= ( ( 2 4 3 ) 其中- ( s ) b ( s ，nc ( $ ：班d ( s ，f ) 璁b 曩我們也可記動平面( 2 4 3 ) 為l f ) = f 。4 ( s 于) b f ) ：c ( $ ，) ，d ( s 州我們稱動平面l ( s ，f ) 伴隨( f 0 1 1 0 w ) 曲面p ( $ ：) = ( n ( s ? f ) ， 6 f s jf ) ：c ( $ 。t ) 。d ( s ，啪，若 l ( s ：) p ( s ) = a ( s z ) c ( s 于) + b ( $ ，f ) 易( s ，f ) + c ( s ) c ( 8 ，f ) 十d ( s ，f ) d ( 8 ) 蘭0 ( 2 4 4 ) 式( 2 4 4 ) 的幾何意義為，對于任意給定的參數(shù)對( $ o ，平面l ( s ( i - f o ) 總經(jīng)過曲面上 的點p ( s r i 幻) 該情形下，動平面l f s ) 也稱為有理曲面p ( s ：t ) 的s y z y 舒： 我們可分別將動直線和動平面的概念推廣到動曲線( m f ) 、i n g ( ! t m ) 和動曲面 ( l o 、i 1 1 9s 1 l l 敝- e ) 一條動曲線( mo 、i n gc u n e ) 是指一族與參數(shù)f 相對應的曲線： ( x ：f ) ：= 乃( x ) ( 2 4 5 ) j = o 其中x = ( z ，秒：“，) j ( x ) 為關于x 的齊次多項式動曲線( x ：t ) 伴隨( f o l l o w ) 平面 有理曲線p ( ) = ( n ( f l ) 加( ”，c ( f ) ) ，若 己( p ( 帥) = 厶( a ( 蚰( 啦( ) ) 蘭o j = ) 一個動曲面( m o v j l 瞎s u r f k e ) 是指一族與參數(shù)( s ，t ) 相對應的曲面： ( x ；s ，芒) ：= k ( x ) ，t ) = o ， ( 2 4 6 ) f = 1 其中x = ( z ：l 0 ，彬) ， f ( x ) = 0 為一組隱式曲面，( s t ) ， = 1 ，? 盯為一組b l e n d i n g 函數(shù)動曲面l ( x ；s ，f ) 伴隨( f o l l ( ) w ) 有理益面p ( s ，t ) = ( n ( s ，) 6 ( s ，f ) c ( s ，f ) d ( s ：) ) ，若 l ( p ( s ，f ) m f ) 蘭o 2 0 0 9 年 第二章基礎知識 中國科學技術大學博士學位論文第1 0 頁 籃5 有理曲線與曲面的p 基 動曲線與動衄面方法可用于曲線與曲面的隱式化對7 1 次平面有理曲線p ( t ) 我 們可用如下方法求得其隱式方程 定理2 4 1 ，7 形存在 個線性無關的7 2 一1 次動直線 f j = ( n j j ，6 玎，c “) 為常向量： = o ，j 一1 伴隨7 次平面有理曲線p ( 令x = ( z 封，t r ) ，且定義 ，( x ) = 厶1 0 x 厶 竹一1 x 一1 。o x l ，一1 療一1 x 則，( x ) = 0 為曲線p ( t ) 的隱式方程 類似地，對有理曲面p ( s ，f ) 的隱式化，我們有 定理2 4 2 俐令x = ( z ，y 。，u ，) 若有礦個動曲面 丘腰：s t ) = 嗽x ) ) = o ，j ；= l ? ，礦 i = l 伴隨曲面p ( s ，f ) ? 定義 ，( x ) = 若，( x ) o ，則，( x ) = o 為曲面p ( s ，) 的隱式方程 2 5 有理曲線與曲面的基 2 5 1平面有理曲線的p 基 佗次平面有理曲線p ( s ) 的參數(shù)方程為 p ( s ) = ( n ( s ) ( s ) ：c ( s ) ) ， 其中口( s ) ，6 ( s ) 。c ( s ) r 【s 】且m a x ( d e g ( n ) ，d e g ( 6 ) d e g ( c ) ) = 住同時本文中我們將假 設g c d ( 口，6 ，c ) = 1 ，且q ( s ) ，6 ( s ) ，c ( 8 ) 線性無關 我們記所有伴隨平面有理曲線p ( s ) 的動直線組成的集合為m p ，則嗨是二維 自由模f 1 5 】我們稱a 勾為平面有理曲線p ( 占) 的s y z y g y 模平面有理曲線的基由 如下定義給出 2 f w 鵬年 第二章基礎知識 中國科學技術大學博士學位論文第l l 頁 5 2 石有理曲線與曲面的，基 定義2 5 1 肛彤 動直線p ( s ) q ( s ) 為平面有理曲線p 0 ) 的一組p 基，若 j p ( s ) ：q ( $ ) 為模m p 的一組基，即任意動直線l ( $ ) m j ，均可寫成 l s ) = 7 j l ( 8 ) p ( s ) + j j 2 ( $ ) q ( $ ) 其中7 7 l ，：( 6 ) r 【5 j j 且 7 p ( ，) q f s ) 是一紐具有最低次數(shù)的m 0 的基即若假設d e g f p ) sd 鴨f q ) ? 則對于 任意一組m j ，的基西( 8 ) 百( s ) ( 設d 唱( 參) d e g ( 面) ) ? 必有d 唱( p ) sd e g f 聲) d p g ( q ) d e g ( 萄) 注記2 5 2 設p ( s ) q ( s ) 為平面有理曲線p ( $ ) 的，基令x = ( r ，私，“，) 剃我們也 常稱p ( s ：z t r ) = p ( s j x 口( $ ：z ，耖。t c ，) = q ( s ) x 為曲線p ( $ ) 的弘基 任意平面有理曲線都存在基【1 5 平面有理曲線的弘基算法見【2 8 1 下面我們 列出平面有理曲線“基的常用性質(zhì) 命題2 5 3 ，2 影設p ( s ) q ( 8 ) 為平面有理曲線p ( s ) 的一組肛基，則 j p ( s ) q ( s ) 是酞 s 】一線性無關的 2 對于任意參數(shù)值s 1 ) ：p ( s o ) o 且q ( 8 0 ) 0 7 對于任意參數(shù)值s o j 向量p ( $ o ) 和q ( s o ) 均線性無關 彳p ( s ) q ( s ) = 七p ( $ ) ，其中角為非零常數(shù) 5 d e g ( p ) + d e g ( q ) = d e g ( p ) 岔r 檔。( p x ：q x ) = o 為曲線p ( s ) 的隱式方程，其中x = 和，耵，) 注記2 5 4 關于結式r e s ，( p ，口) 的定義參見本文第二章 值得指出的是，平面有理曲線的基并不唯一，但其次數(shù)d e g ( p ) = p 與d e g ( q ) = n 一肛是一定的：這里n 為曲線p ( s ) 的次數(shù)事實上我們有如下結論 命題2 5 5 膽髟設p ( s ) ，q ( s ) 為平面有理曲線p ( 8 ) 的一組弘基若d e g ( p ) = d e g ( q ) ， 則對于滿足耐一聲7 0 的常數(shù)臼，7 ，6 p = ( 1 = p + 廖q 和百= ，p + 6 q 也是曲線p ( s ) 的一組p 基? 若d e g f p ) 斟在每個對應點q 的參數(shù)處均線性無關因此由( 3 3 1 6 ) 有 墻( f ，g ) = k ( fg ) ( 3 3 1 7 ) 口 由引理3 3 1 5 ：為證明定理3 3 1 4 我們可以用另一組幾何意義明顯的幫z y 盯代 替f ，基p ，q 不失一般性：假設奇點q = ( o ，0 ，1 ) 則平面有理鹽線p ( 8 ，卅具有如下參數(shù)方程： p ( s ，讓) = ( 口( s ? 札) 危( s ，札) ，6 ( s ，u ) ，2 j ( s 。t ) ，c ( s ，釘) ) ，( 3 3 1 8 ) 這里g 州( ，c ) = g c d ( a j6 ) = 1 ，且 為奇點q 的逆公式此外：若g c d ( n ，1 ) 1 我們 可通過坐標變換使得鏟d ( n ， ) = 1 顯然，參數(shù)方程( 3 3 1 8 ) 有如下一組s y z y 鰓：