曹瑞彬--初等數(shù)論.doc

競賽中數(shù)論選講(揚(yáng)州)啟東中學(xué) 曹瑞彬例1設(shè)nN+，f(n)=n(n2-1)(n2-5n+26)，求證：120|f(n)。 例2設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，證明 例3試證：A=不是整數(shù)。例4對(duì)于正整數(shù)n與k，定義：F(n，k)=求證：F(n，1)|F(n，k)。例5求同時(shí)滿足下條件的一組整數(shù)a、b， (1)ab(a+b)不能被7整除；(2) (a+b)7-a7-b7能被77整除。例6證明：對(duì)于任一正整數(shù)n，存在一個(gè)正整數(shù)滿足下列性質(zhì)： (1)它有n位數(shù)；(2)它的每位數(shù)字都不是零；(3)它能被其各位數(shù)字之和整除。 例7給定大于1的自然a、b、n，An-1和An是a進(jìn)制數(shù)，Bn-1和Bn是b進(jìn)制數(shù)，An-1、An、Bn-1、Bn定義為： An=(xnxn-1x)a，An-1=(xn-1xn-2x0)a，Bn=(xnxn-1x)b，Bn-1=(xn-1xn-2x0)b，其中xn0，xn-10。證明：當(dāng)ab時(shí)，有。 例8給定正整數(shù)n，已知砝碼重量(克)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺(tái)天平可以稱出質(zhì)量為1，2，3，n克的所有物品。（1） 求k的最小值f(n)；（2） 當(dāng)且僅當(dāng)n取什么值時(shí)，上述f(n)塊砝碼的組成方式是唯一確定的？并證明你的結(jié)論。例9定義函數(shù)：f：N+N+如下：f(1)=1，f(3)=3，且對(duì)nN，有f(2n)=f(n)，f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)，f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)，問有多少個(gè)nN+，且n2009，使f(n)=n。例10設(shè)整數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，記d=a2011+b2011+c2011。證明：|d|不是素?cái)?shù)。 例11設(shè)a、b、c、d為正整數(shù)，證明：a4b+d-a4c+d被240整除。 例12 已知數(shù)列an，其中a1=1，a2=2，an+2=試證：對(duì)一切nN*，an0（1988年全國高中競賽試題）例13 設(shè)E=1，2，3，200，G=a1，a2，a100E且G具有下列兩條性質(zhì)： 對(duì)任何1i1，證明：111不是完全平方數(shù)。例16已知a0=0，a1=1，an+1=8an-an-1，n=1，2，求證：在數(shù)列an中沒有形如35(、為正整數(shù))的項(xiàng)。例17 數(shù)列xn為1,3，5，滿足遞推關(guān)系：xn+2=xn+1+2xn，nN*。數(shù)列yn為7,17，55，滿足遞推關(guān)系：yn+2=2yn+1+3yn，nN*。證明：這兩個(gè)數(shù)列沒有相同的項(xiàng)。例18證明：對(duì)任意整數(shù)，存在一個(gè)次多項(xiàng)式具有如下性質(zhì)：（1）均為正整數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)，及任意個(gè)互不相同的正整數(shù)，均有 例19. 記m為不超過實(shí)數(shù)m 的最大整數(shù)設(shè)x 、y 均為正實(shí)數(shù)，且對(duì)所有的正整數(shù)n ，都有xny= n 1成立證明：xy =1，且y是大于1的無理數(shù)例20.設(shè)k，l是給定的兩個(gè)正整數(shù)，證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)mk，使得C與l互素21.設(shè)f(x)是周期函數(shù)，T和1是f(x)的周期且0T1證明：( I ) 若T為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)p，使是f(x)的周期；(II)若T為無理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無理數(shù)的數(shù)列an滿足1anan10(n1，2，)，且每個(gè)an(n1，2，)都是f(x)的周期 例22. 求出所有小于10的正整數(shù)M，使得5整除2009M+M2009。例23證明：數(shù)列1,31