概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用(第二版)習(xí)題解答.pdf

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 1 第 1 章 隨機(jī)變量及其概率 1 寫出下列試驗(yàn)的樣本空間 1 連續(xù)投擲一顆骰子直至 6 個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)兩次 記錄 投擲的次數(shù) 2 連續(xù)投擲一顆骰子直至 6 個(gè)結(jié)果中有一個(gè)結(jié)果接連出現(xiàn)兩次 記錄投擲的次數(shù) 3 連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn) 觀察正反面出現(xiàn)的情況 4 拋一枚硬幣 若出現(xiàn) H 則再拋一次 若出現(xiàn) T 則再拋一顆骰 子 觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果 解解 1 7 6 5 4 3 2 S 2 4 3 2 S 3 TTTHTTHTHHS 4 6 5 4 3 2 1 TTTTTTHTHHS 2 設(shè)BA 是兩個(gè)事件 已知 125 0 5 0 25 0 ABPBPAP 求 ABBAPABPBAPBAP 解解 625 0 ABPBPAPBAP 375 0 ABPBPBASPBAP 875 0 1 ABPABP 5 0 625 0 ABPABBAPBAPABSBAPABBAP 3 在100 101 999 這 900 個(gè) 3 位數(shù)中 任取一個(gè) 3 位數(shù) 求 不包含數(shù)字 1 個(gè)概率 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 2 解解 在 100 101 999 這 900 個(gè) 3 位數(shù)中不包含數(shù)字 1 的 3 位數(shù) 的個(gè)數(shù)為648998 所以所求得概率為 72 0 900 648 4 在僅由數(shù)字0 1 2 3 4 5 組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全 體三位數(shù)中 任取一個(gè)三位數(shù) 1 求該數(shù)是奇數(shù)的概率 2 求該 數(shù)大于 330 的概率 解解 僅由數(shù)字0 1 2 3 4 5 組成且每個(gè)數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全 體三位數(shù)的個(gè)數(shù)有100455 個(gè) 1 該數(shù)是奇數(shù)的可能個(gè)數(shù)為 48344 個(gè) 所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為 48 0 100 48 2 該數(shù)大于 330 的可能個(gè)數(shù)為48454542 所以該數(shù)大于 330 的概率為 48 0 100 48 5 袋中有 5 只白球 4 只紅球 3 只黑球 在其中任取 4 只 求下列 事件的概率 1 4 只中恰有 2 只白球 1 只紅球 1 只黑球 2 4 只中至少有 2 只紅球 3 4 只中沒有白球 解解 1 所求概率為 33 8 4 12 1 3 1 4 2 5 C CCC 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 3 2 所求概率為 165 67 495 201 4 12 4 4 1 8 3 4 2 8 2 4 C CCCCC 3 所求概率為 165 7 495 35 4 12 4 7 C C 6 一公司向M個(gè)銷售點(diǎn)分發(fā) Mnn 張?zhí)嶝泦?設(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給 每一銷售點(diǎn)是等可能的 每一銷售點(diǎn)得到的提貨單不限 求其中某一 特定的銷售點(diǎn)得到 nkk 張?zhí)嶝泦蔚母怕?解解 根據(jù)題意 MnnXPXPXPXPXP 0611 0 0 1 XPXP 4 設(shè)有一由n個(gè)元件組成的系統(tǒng) 記為 Gnk 這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)n個(gè)元件中至少有 k 0 nk 個(gè)元件正常工作時(shí) 系統(tǒng)正常工作 現(xiàn)有一 5 3G系統(tǒng) 它由相互獨(dú)立的元件組成 設(shè) 每個(gè)元件的可靠性均為 0 9 求這一系統(tǒng)的可靠性 解解 對于 5 3G系統(tǒng) 當(dāng)至少有 3 個(gè)元件正常工作時(shí) 系統(tǒng)正常工作 而系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X 服從二項(xiàng)分布 B 5 0 9 所以系統(tǒng)正常工作的概率為 99144 01 09 0 5 3 5 5 5 3 k kkk k CkXP 5 某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品 生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡 以至產(chǎn)品成為次品 設(shè)次品率為 0 001 現(xiàn) 取 8000 件產(chǎn)品 用泊松近似 求其中次品數(shù)小于 7 的概率 設(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立 解解 根據(jù)題意 次品數(shù) X 服從二項(xiàng)分布 B 8000 0 001 所以 XP 2 已知隨機(jī)變量 X 且有5 0 0 XP 求 2 XP 解解 1 0487 0 9513 0 1 15 1 15 XPXP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 14 2 根據(jù)5 01 0 1 0 eXPXP 得到2ln 所以 1534 0 2 2ln1 5 01 1 0 1 2 eXPXPXP 7 一電話公司有 5 名訊息員 各人在 t 分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù) 2 tX 設(shè)各人收到訊息與否相互獨(dú) 立 1 求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個(gè)訊息員未收到訊息的概率 2 求在給定的一分鐘內(nèi) 5 個(gè)訊息員恰 有 4 人未收到訊息的概率 3 寫出在一給定的一分鐘內(nèi) 所有 5 個(gè)訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率 解解 在給定的一分鐘內(nèi) 任意一個(gè)訊息員收到訊息的次數(shù) 2 X 1 1353 0 0 2 eXP 2 設(shè)在給定的一分鐘內(nèi) 5 個(gè)訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用 Y 表示 則Y B 5 0 1353 所以 00145 0 1353 0 1 1353 0 4 44 5 CYP 3 每個(gè)人收到的訊息次數(shù)相同的概率為 0 5 10 0 5 2 32 2 k k k k k e k e 8 一教授當(dāng)下課鈴打響時(shí) 他還不結(jié)束講解 他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi) 以 X表示鈴響 至結(jié)束講解的時(shí)間 設(shè) X的概率密度為 他其 10 0 2 xkx xf 1 確定k 2 求 3 1 XP 3 求 2 1 4 1 XP 4 求 3 2 XP 解解 1 根據(jù) 3 1 1 0 2 k dxkxdxxf 得到3 k 2 27 1 3 1 3 3 1 3 3 1 0 2 dxxXP 3 64 7 4 1 2 1 3 2 1 4 1 33 2 1 4 1 2 dxxXP 4 27 19 3 2 13 3 2 3 1 3 2 2 dxxXP 9 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 他其 100 0 003 0 2 xx xf 求t 的方程0452 2 XXtt 有實(shí)根的概率 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 15 解解 方程0452 2 XXtt有實(shí)根表明0 45 44 2 XX 即045 2 XX 從而要求4 X或者1 X 因?yàn)?001 0 003 0 1 1 0 2 dxxXP 936 0 003 0 4 10 4 2 dxxXP 所以方程有實(shí)根的概率為 0 001 0 936 0 937 10 設(shè)產(chǎn)品的壽命 X 以周計(jì) 服從瑞利分布 其概率密度為 他其 0 0 100 200 2 x e x xf x 1 求壽命不到一周的概率 2 求壽命超過一年的概率 3 已知它的壽命超過 20 周 求壽命超過 26 周的條件概率 解解 1 00498 0 1 100 1 200 1 1 0 200 2 edxe x XP x 3 25158 0 100 100 20 26 2026 200 276 20 200 26 200 2 2 e dxe x dxe x XP XP XXP x x 11 設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度 X 以C 計(jì) 為隨機(jī)變量 其概率密度為 他其 21 0 4 9 1 2 x x xf 1 某種化學(xué)反應(yīng)在溫度 X 1時(shí)才能發(fā)生 求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率 2 在 10 個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室中 各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會(huì)發(fā)生時(shí)相互獨(dú)立的 以 Y 表示 10 個(gè)實(shí) 驗(yàn)室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室的個(gè)數(shù) 求 Y 的分布律 3 求 2 YP 2 XP 解解 1 2 1 2 27 5 4 9 1 1 dxxXP 2 根據(jù)題意 27 5 10 BY 所以其分布律為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 16 10 2 1 0 27 22 27 5 10 10 kCkYP kk k 3 2998 0 27 22 27 5 2 82 2 10 CYP 5778 0 1 0 1 2 YPYPYP 12 1 設(shè)隨機(jī)變量 Y 的概率密度為 YYP 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 他其 42 20 0 8 8 1 x x xxf 求分布函數(shù) xF 并求 31 xP 3 1 XXP 解解 1 根據(jù) 2 4 0 2 0 2 0 1 1 0 0 1 C dyCydydyyf 得到2 1 C 1 10 01 1 2 12 0 2 0 2 12 0 2 0 2 0 0 0 1 1 0 0 10 1 y y y y dyydy dyydy dy dyyfyF y y y 1 10 01 1 1 2 02 06 0 1 2 0 0 2 F F YP YP YP YP YYP 2 4 42 20 0 88 1 88 1 8 1 0 2 0 4 2 2 02 0 x x x x dx x dx dx x dx dx dxxfxF x x x 4 42 20 0 1 16 8 0 2 他其 0 0 0 42 yxCe yxf yx 試確定常數(shù)C 并求 2 XP YXP 1 yx dxdyyxf 可得 8 1 0 4 0 2 0 42 00 0 C dyedxeCdyCedxdxdyyxf yxyx yx 所以8 C 4 0 4 2 2 0 42 22 428 2 edyedxedyedxdxdyyxfXP yxyx x 3 2 1 2428 0 42 0 4 0 2 0 42 0 dxeedyedxedyedxdxdyyxfYXP xx x yx x yx yx 22 1 0 4 1 0 2 1 0 42 1 01 1 428 1 edyedxedyedxdxdyyxfYXP x yx x yx yx 16 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 在由曲線1 2 22 xxyxy所圍成的區(qū)域G均勻分布 1 求 X Y 的概率密度 2 求邊緣概率密度 yfxf YX 解解 1 根據(jù)題意 X Y 的概率密度 yxf必定是一常數(shù) 故由 6 1 1 2 2 2 1 0 yxfdyyxfdxdxdyyxf x x G 得到 他其 0 6 Gyx yxf 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 19 2 他其 0 1036 2 2 2 2 xxdy dyyxfxf x x X 他其 0 0 0 2 1 3 yx e x yxf yx 1 求 YX關(guān)于X的邊緣概率密度 xfX 2 求條件概率密度 xyf XY 寫出當(dāng)5 0 x時(shí)的條件概率密度 3 求條件概率 5 0 1 XYP 解解 1 其他 0 0 22 0 2 1 3 xe x dye x dyyxfxf xyx X 2 當(dāng)0 x時(shí) 其他 0 0 yxe xf yxf xyf xy X XY 特別地 當(dāng)5 0 x時(shí) 其他 0 0 5 0 5 0 5 0 ye xyf y XY 3 5 0 1 5 0 1 5 0 5 0 5 0 1 edyedyxyfXYP y XY 19 1 在第 14 題中求在0 X的條件下Y的條件分布律 在1 Y 的條件下X的條件分布律 2 在 16 題中求條件概率密度 xyf XY yxf YX 5 0 xf YX 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 20 解解 1 根據(jù)公式 0 0 0 XP XiYP XiYP 得到在0 X的條件下Y的條件分布律 為 Y 012 0 XYP 5 121 31 4 類似地 在1 Y的條件下X的條件分布律為 X 012 1 YXP4 1710 173 17 2 因?yàn)?他其 0 6 Gyx yxf 他其 0 1036 2 2 2 2 xxdy xf x x X 他其 0 15 0 1 6 5 00 2 6 yy yyy yfY 所以 當(dāng)10 x時(shí) 其他 0 2 2 22 2 xyx x xf yxf xyf X XY 當(dāng)5 00 y時(shí) 其他 0 2 2 1 yxy yy yf yxf yxf Y YX 當(dāng)15 0 y時(shí) 其他 0 1 1 1 xy y yf yxf yxf Y YX 當(dāng)5 0 y時(shí) 其他 0 15 0 5 01 1 x yxf YX 20 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 在由曲線xyxy 2 所圍成的區(qū)域G均勻分布 1 寫出 X Y 的概率密度 2 求邊緣概率密度 yfxf YX 3 求條件概率密度 xyf XY 并寫出當(dāng)5 0 x時(shí)的條件概率密度 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 21 解解 1 根據(jù)題意 X Y 的概率密度 yxf必定是一常數(shù) 故由 3 1 1 2 1 0 yxfdyyxfdxdxdyyxf x x G 得到 他其 0 3 Gyx yxf 2 他其 0 10 33 2 2 xxxdy dyyxfxf x x X 他其 他其 0 10 3 0 103 2 2 yyy ydx dxyxfyf y y Y 3 當(dāng)10 x時(shí) 其他 0 1 2 2 xyx xx xf yxf xyf X XY 特別地 當(dāng)5 0 x時(shí)的條件概率密度為 其他 0 2 24 1 122 4 5 0 y yf XY 21 設(shè) YX是二維隨機(jī)變量 X的概率密度為 他其 0 20 6 2 x x xfX 且當(dāng) 20 xxX時(shí)Y的條件概率密度為 其他 0 10 2 1 1 y x xy xyf XY 1 求 YX聯(lián)合概率密度 2 求 YX關(guān)于Y的邊緣概率密度 3 求在yY 的條件下X的條件概率密度 yxf YX 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 22 Y 解解 1 他其 10 20 0 3 1 yx xy xyfxfyxf XYX 2 其他0 10 1 3 2 3 1 2 0 yydx xy dxyxfyfY 3 當(dāng)10 y時(shí) 其他 0 20 1 2 1 x y xy yf yxf yxf Y YX 22 1 設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為 Y 101 k p 2 1 2 又設(shè) 21 Y Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 且 21 Y Y都與Y有相同的分布律 求 21 Y Y的聯(lián)合分布律 并求 21 YYP 2 問在 14 題中YX 是否相互獨(dú)立 解解 1 由相互獨(dú)立性 可得 21 Y Y的聯(lián)合分布律為 2121 jYPiYPjYiYP 1 0 1 ji 結(jié)果寫成表格為 2 1 1 0 1 22 21212121 YYPYYPYYPYYP 2 14 題中 求 出邊緣分 布律為 X 012 iXP 00 100 080 060 24 10 040 200 140 38 20 020 060 300 38 jYP 0 160 340 501 Y1Y2 101 1 4 2 2 1 4 2 02 1 2 1 2 1 1 4 2 2 1 4 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 23 很顯然 0 0 0 0 YPXPYXP 所以YX 不是相互獨(dú)立 23 設(shè)YX 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 1 0 UX Y的概率密度為 解解 根據(jù)題意 X的概率密度為 其他0 101 x xfX 所以根據(jù)獨(dú)立定 YX 的聯(lián)合概率密度為 其他 2 10 10 0 8 yyx ydxdxdxdyyxfYXP 24 設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律 X 2 1013 k p1 51 61 51 1511 30 求1 2 XY的分布律 解解 根據(jù)定義立刻得到分布律為 Y 12510 k p1 57 301 511 30 25 設(shè)隨機(jī)變量 1 0 NX 求XU 的概率密度 解解 設(shè)UX 的概率密度分別為 ufxf UX U的分布函數(shù)為 uFU 則 當(dāng)0 u時(shí) 0 uXPuUPuFU 0 ufU 當(dāng)0 u時(shí) 1 2 uuXuPuXPuUPuFU 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 24 2 22 2 u XUU eufuFuf 所以 0 0 0 2 2 2 u u e uf u U 26 1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 其他0 0 xe xf x 求XY 的概率密度 2 設(shè)隨機(jī)變量 1 1 UX 求2 1 XY的概率密度 3 設(shè)隨機(jī)變量 1 0 NX 求 2 XY 的概率密度 解解 設(shè)YX 的概率密度分別為 yfxf YX 分布函數(shù)分別為 yFxF YX 則 1 當(dāng)0 y時(shí) 0 yXPyYPyFY 0 yfY 當(dāng)0 y時(shí) 22 yFyXPyXPyYPyF XY 2 2 2 2 y XYY yeyyfyFyf 所以 0 0 0 2 2 y y ye yf y Y 2 此時(shí) 其他0 112 1 x xfX 因?yàn)?12 12 2 1 yFyXPyXPyYPyF XY 故 1121 1 12 2 yyfyFyf XYY 所以 其他 10 0 1 y時(shí) 2 yXyPyXPyYPyFY 1 2 yyy 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 25 故 2 2 1 2 1 2 y XYY e yy yfyFyf 所以 其他 0 0 2 1 2 ye y yf y Y 27 設(shè)一圓的半徑 X 是隨機(jī)變量 其概率密度為 其他0 208 13 xx xf 求圓面積 A 的概率密度 解解 圓面積 2 XA 設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為 yGyg 則 2 yFyXPyXPyG X 故 2 0 16 3 8 3 2 1 2 1 y y yy y yf y yGyg 所以 z時(shí) 222 zYXPzZPzFZ 2 2 2 2 222 2 0 2 2 2 0 1 2 1 z z r zyx erdreddxdyyxf 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 26 故 其他 0 0 2 2 22 z e z zFzf z ZZ 29 設(shè)隨機(jī)變量 1 1 UX 隨機(jī)變量 Y 具有概率密度 1 1 2 y yfY y 設(shè) X Y相互獨(dú)立 求YXZ 的概率密度 解解 因?yàn)?其他0 0 xe xf x X 其他0 0 2 yye yf y Y 0 X Y相互獨(dú)立 求YXZ 的概率密度 解解 根據(jù)卷積公式 得 z z z XYZ ezdyyedyyzfyfzf 2 3 0 3 2 0 z 所以YXZ 的概率密度為 其他0 0 2 2 3 zez yf z Y 31 設(shè)隨機(jī)變量 X Y都在 0 1 上服從均勻分布 且 X Y 相互獨(dú)立 求YXZ 的概率密度 解解 因?yàn)?X Y都在 0 1 上服從均勻分布 所以 其他0 101 x xfX 其他0 101 x yfY 根據(jù)卷積公式 得 dyyzfyfzf XYZ 他其 20 0 0 2 3 3 yx e yxf x 1 求邊緣概率密度 yfxf YX 2 求 max YXZ 的分布函數(shù) 3 求概率 12 1 他其 0 032 3 3 2 0 3 xedye dyyxfxf xx X 他其 他其 0 202 1 0 202 3 0 3 y ydxe dxyxfyf x Y 2 max YXZ 的分布函數(shù)為 max zFzFzYPzXPzYzXPzYXPzZPzF YXZ 因?yàn)?0 1 0 0 3 xe x xF x X 2 20 0 1 2 0 2 1 20 1 2 0 0 3 3 ze ze z z zFzFzF z z YXZ 3 2 33 4 1 2 1 4 1 2 1 1 12 1 eeFFZP ZZ 33 1 一條繩子長為l2 將它隨機(jī)地分為兩段 以X表示短的一段的長度 寫出X的概率密度 2 兩條繩子長度均為l2 將它們獨(dú)立地各自分成兩段 以Y表示四段繩子中最短的一段的長度 驗(yàn)證 Y的概率密度為 他其 0 0 2 2 lylyl yfY 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 28 Y 解解 1 根據(jù)題意 隨機(jī)變量 0 lUX 所以概率密度為 其他0 0 1 lx l xfX 2 設(shè)這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為 21 X X 則它們都在 0 l上服從均勻分布 min 21 XXY 其分布函數(shù)為 ly l y yFyFyF XXY 0 1 1 1 11 2 21 所以密度函數(shù)為 他其 0 0 2 2 lylyl yFyf YY 34 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y的聯(lián)合分布律為 1 求 max YXU 的分布律 2 求 min YXV 的分布律 3 求YXW 的分布律 X 012 01 121 61 24 11 41 41 40 21 81 200 31 12000 解解 1 max YXU 的分布律為 3 2 1 0 max kkXkYPkYkXPkYXPkUP 如 2 2 2 2 2 kkXkYPkYkXPkYXPkVP 如 2 2 2 2 2 XYPYXPVP000 其余類似 結(jié)果寫成表格形式為 U01 k p27 4013 40 3 YXW 的分布律為 5 4 3 2 1 0 0 kikYiXPkYXPkWP k i 如 12 58 14 124 1 2 2 2 0 i iYiXPWP 其余類似 結(jié)果寫成表格形式為 W 0123 k p1 125 125 121 12 第 2 章習(xí)題解答完畢 第 3 章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 解解 根據(jù)題意 有 1 5 的可能性取到 5 個(gè)單詞中的任意一個(gè) 它 們的字母數(shù)分別為4 5 6 7 7 所以分布律為 X4567 k p 1 51 51 52 5 5 29 77654 5 1 XE 2 解解 個(gè)單詞字母數(shù)還是 這時(shí) 字母數(shù)更 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 30 多的單詞更有可能被取到 分布律為 Y4567 k p 4 295 296 2914 29 29 175 147665544 29 1 YE 3 解解 根據(jù)古典概率公式 取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)分別為0 1 2 臺的概率分別為 11 6 3 12 3 10 0 C C p 22 9 3 12 2 10 1 2 1 C CC p 22 1 3 12 1 10 2 2 2 C CC p 所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 2 1 2 22 1 1 22 9 0 11 6 臺 E 4 解解 根據(jù)題意 有 1 6 的概率得分超過6 而且得分為 7 的概率為 兩個(gè) 1 6 的乘積 第一次 6 點(diǎn) 第 2 次 1 點(diǎn) 其余類似 有 5 6 的概 率得分小于6 分布律為 Y12345789101112 k p 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 得分的數(shù)學(xué)期望為 12 49 121110987 36 1 54321 6 1 點(diǎn) E 5 解解 1 根據(jù) X 可得 6 6 5 5 65 XP ee XP 因 此計(jì)算得到6 即 6 X 所以 XE 6 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 31 2 根據(jù)題意 按照數(shù)學(xué)期望的公式可得 2 1 1 2 1 22 1 1 1 2ln61 1 66 1 1 k k k k k k kk kkXkPXE 因此期望存在 利用了11 1 1 1ln 0 x n x x n n n 不符書上答案 6 解解 1 一天的平均耗水量為 0 3 0 3 0 3 2 0 3 2 2 3 2 0 39 x x x x exddx xe ed x dx ex dxxxfXE 620 0 3 dxe x 百萬升 2 這種動(dòng)物的平均壽命為 10 50 25 1 5 2 5 2 dx xx xdxxdFXE 年 7 解解 1 0 62 1 0 52 1 7 1 42 xdxdxxxdxxxfXE 1 0 7 1 0 7 1 0 7 1 0 6 1 0 62 1 2 1 2 1 2 1 14 1 7dxxxxxxddxxxxx 1 4 8 解解 2ln23 ln2 11 2 2 1 2 2 1 2 xxdxxxdxxxfXE 9 解解 1 0 2 0 1 2 1 2 3 1 2 3 dxx x dxx x dxxxfXE 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 32 0 1 2 3 1 2 3 1 0 2 0 1 2 dxx x dxx x 對第一個(gè)積分進(jìn)行變量代換yx 10 解 4 0 4 4 1 2 sin 2 sin k kkk ppC kX E 221 1 4 1 1 2133 4 311 4 ppppppCppC 不符書上答案 11 解解 R 的概率密度函數(shù)為 其他 0 0 1 axa xf 所以 24 1 6 3 0 3 a dr a r VE a 12 解解 4 3 0 4 0 3 02 3 0163 0 dxedxexdxxfxgXgE xx 584200 9 1 2 1 e 不符書上答案 13 解解 因?yàn)?2 1 niXi 的分布函數(shù)為 1 1 10 0 0 x xx x xF 所以可以 求出 n YY 1 的分布函數(shù)為 1 1 10 1 1 0 0 min y yy y yF n 1 1 10 0 0 max y yy y yF n n YY 1 的密度函數(shù)為 其他 0 10 1 1 min yyn yf n k時(shí) 1 1 k k dx x kdx x k dxxxfXE k k k k 2 當(dāng)1 k時(shí) dx x XE 1 即 XE不存在 3 當(dāng)2 k時(shí) 2 2 1 22 k k dx x k dxxfxXE k k 所以 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 kk k k k k kXEXEXD 4 當(dāng)2 k時(shí) dx x dxxfxXE 2 22 2 所以 XD不存在 21 解解 1 根據(jù) 14 題中結(jié)果 得到 56 94 32 114 3 YEXEXYEYXCov 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 36 Y 因?yàn)? 4 2 0 22 k kXPkXE 28 27 2 0 22 k kYPkYE 所以 28 9 2 2 XEXEXD 112 45 2 2 YEYEYD 5 5 YDXD YXCov XY 2 根據(jù) 16 題結(jié)果可得 75 25 215 2 2 YEXEXYEYXCov 因?yàn)? 124 1 0 3 1 0 22 y RR ydxxdydxdyyxfxXE 5 124 1 0 3 1 0 22 y RR xdxydydxdyyxfyYE 所以 25 1 2 2 XEXEXD 25 1 2 2 YEYEYD 75 2 2 YXCovYDXDYXD 3 2 YDXD YXCov XY 3 在第 2 章 14 題中 由以下結(jié)果 X 012 kXP 00 100 080 060 24 10 040 200 140 38 20 020 060 300 38 kYP 0 160 340 501 得到 14 1 XE 34 1 YE 8 1 XYE 9 1 2 XE 34 2 2 YE 所以 2724 0 YEXEXYEYXCov 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 37 6004 0 2 2 XEXEXD 5444 0 2 2 YEYEYD 4765 0 5717 0 2724 0 YDXD YXCov XY 22 解解 根據(jù)題意有 2 YXCovYDXDYXD 2 YDXDYDXD XY 116 6 1 249 3 4 2 3 4 43 YXCovYDXDYXD 6 9 YXCovYDXD 516 6 1 6369 23 解解 1 因?yàn)?321 XXX相互獨(dú)立 所以 168 4 4 2 332 2 2 2 32 2 1 2 32 2 1 XXXXEXXEXEXXXE 16 8 168 2 332 2 2 2 332 2 2 XEXEXEXEXXXXE 171601 2 根據(jù)題意 可得 3 1 2 1 22 iiii XEXDXEXE 3 2 1 i 4244 2 233121 2 3 2 2 2 1 2 321 XXXXXXXXXEXXXE 4 2 4 4 233121 2 3 2 2 2 1 XEXEXEXEXEXEXEXEXE 2 1 1 2 1 1 3 1 3 4 3 1 24 解解 因?yàn)? 2 1 0 x xRR xdydxdxdyyxxfXE 0 1 0 x xRR ydydxdxdyyxyfYE 0 1 0 x xRR xydydxdxdyyxxyfXYE 所以 0 YEXEXYEYXCov 即 驗(yàn)證了 X Y 不相關(guān) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 38 又因?yàn)?他其 0 1021 xxdy dyyxfxf x x X 他其 他其 0 15 01 5 001 0 101 011 1 1 yy yy ydx ydx dxyxfyf y y Y 顯然 yfxfyxf YX 所以驗(yàn)證了 X Y 不是相互獨(dú)立的 25 解解 引入隨機(jī)變量定義如下 個(gè)盒子個(gè)球未落入第第 個(gè)盒子個(gè)球落入第第 ii ii Xi 0 1 則總的配對數(shù) n i i XX 1 而且因?yàn)?n XP i 1 1 所以 1 n nNX 故所以 1 1 n nXE 第 4 章正態(tài)分布 1 1 設(shè) 1 0 NZ 求 24 1 ZP 37 224 1 ZP 24 137 2 ZP 2 設(shè) 1 0 NZ 且9147 0 aZP 0526 0 bZP 求ba 解解 1 8925 0 24 1 24 1 ZP 0986 0 8925 0 9911 0 24 1 37 2 24 1 37 2 37 2 24 1 ZPZPZP 0986 0 37 2 1 24 1 1 37 2 24 1 24 1 37 2 ZP 2 37 1 9147 0 aZP 所以37 1 a 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 39 10526 0 bZPbZP 所以 62 1 9474 0 bZP 即62 1 b 2 設(shè) 16 3 NX 求 84 XP 50 XP 解解 因?yàn)?16 3 NX 所以 1 0 4 3 N X 2957 0 5987 0 8944 0 25 0 25 1 4 38 4 3 4 34 84 CXP 解解 1 因?yàn)? 6 2 6 6 25 25 CCC CXCPCXP 所以得到9772 0 6 C 即0 2 6 C 0 12 C 2 因?yàn)?1 0 2 3 N X 所以95 0 2 3 1 C CXP 即 95 0 2 3 05 0 2 3 CC 或者 從而645 1 2 3 C 29 0 C 4 已知美國新生兒的體重 以 g 計(jì) 575 3315 2 NX 1 求 25 439075 2587 XP 2 在新生兒中獨(dú)立地選 25 個(gè) 以 Y 表示 25 個(gè)新生兒的體重小 于 2719 的個(gè)數(shù) 求 4 YP 解解 根據(jù)題意可得 1 0 575 3315 N X 1 575 331575 2587 575 331525 4390 25 439075 2587 XP 8655 0 8962 0 1 9693 0 2648 1 87 1 或0 8673 2 1492 0 04 1 1 575 33152719 2719 XP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 40 根據(jù)題意 1492 0 25 BY 所以 6664 0 8508 0 1492 0 4 25 4 0 25 k k kk CYP 5 設(shè)洗衣機(jī)的壽命 以年計(jì) 3 2 4 6 NX 一洗衣機(jī)已使用了5 年 求其壽命至少為 8 年的條件概率 解解 所要求的概率為 1761 0 8212 0 8554 0 1 92 0 1 06 1 1 3 2 4 65 1 3 2 4 68 1 5 8 5 8 XP XP XXP 6 一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為 12 歐的電阻器 而實(shí)際上裝的電阻 器的電阻值 以歐計(jì) 服從均值為 11 9 歐 標(biāo)準(zhǔn)差為 0 2 歐的正態(tài) 分布 求 1 兩只電阻器的電阻值都在 11 7 歐和 12 3 歐之間的概 率 2 至少有一只電阻器大于 12 4 歐的概率 設(shè)兩電阻器的電 阻值相互獨(dú)立 解解 設(shè) 兩 個(gè) 電 阻 器 的 電 阻 值 分 別 記 為 隨 機(jī) 變 量 YX則 04 0 9 11 NX 04 0 9 11 NY 1 3 127 11 3 127 11 3 127 11 3 127 11 YPXPYXP 2 2 0 9 11 7 11 2 0 9 11 3 12 6699 0 8185 0 1 2 22 2 至少有一只電阻器大于 12 4 歐的概率為 2 2 0 9 11 4 12 1 4 12 4 12 1 4 12 4 12 1 YPXPYXP 0124 09938 01 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 41 7 一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X 以小時(shí)計(jì) 服從均值160 均方差為 的正態(tài)分布 若要求80 0 200120 XP 允許 最大 為多少 解解 根據(jù)題意 1 0 160 N X 所以有 80 0 1 40 2 160120 160200 200120 XP 即 28 1 9 0 40 從而25 31 28 1 40 故允許 最大不超過 31 25 8 將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi) 調(diào)節(jié)器整定 在Cd 液體的溫度X 以C 計(jì) 是一個(gè)隨機(jī)變量 且 5 0 2 dNX 1 若90 d 求X小于 89 的概率 2 若要求保持液體的溫度至少為 80 的概率不低于 0 99 問d至 少為多少 解解 因?yàn)?5 0 2 dNX 所以 1 0 5 0 N dX 1 0228 0 2 1 2 5 0 9089 89 XP 2 若要求99 0 80 XP 那么就有99 0 5 0 80 1 80 d XP 即01 0 5 0 80 d 或者 326 2 99 0 5 0 80 d 從而326 2 5 0 80 d 最后得到163 81 d 即d至少應(yīng)為 81 163 9 設(shè)YX 相互獨(dú)立 且X服從數(shù)學(xué)期望為150 方差為 9 的正態(tài)分 布 Y服從數(shù)學(xué)期望為 100 方差為 16 的正態(tài)分布 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 42 1 求YXW 1 YXW 2 2 2 3 YXW 的分布 2 求 6 242 YXP 解解 根據(jù)題意 16 100 9 150 NYNX 1 根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布 本書 101 頁定理2 的性質(zhì) 立刻得到 25 250 1 NW 52 200 2 NW 4 25 125 3 NW 2 因?yàn)?25 250 1 NW 4 25 125 3 NW 所以 1 0 5 250 N YX 1 0 2 5 1252 N YX 因此0694 0 48 1 1 5 250 6 242 6 242 YXPYXP 5 2 5 5 2 5 1 2 22 0456 0 10 1 某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈 螺栓直徑 以mm計(jì) 2 0 10 2 NX 墊圈直徑 以 mm 計(jì) 2 0 5 10 2 NY YX 相互獨(dú)立 隨機(jī)地取一 只螺栓 一只墊圈 求螺栓能裝入墊圈的概率 2 在 1 中若 2 0 10 2 NX 5 10 2 NY 問控制 至多為 多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于 0 90 解解 1 根據(jù)題意可得 08 0 5 0 NYX 螺栓能裝入墊圈的概率 為9616 0 77 1 08 0 5 0 0 0 YXPYXP 2 04 0 5 0 2 NYX 所以若要控制 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 43 282 1 90 0 04 0 5 0 0 0 2 YXPYXP 即要求282 1 04 0 5 0 2 計(jì)算可得3348 0 表明 至多為 0 3348 才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于 0 90 11 設(shè)某地區(qū)女子的身高 以 m 計(jì) 025 0 63 1 2 NW 男子身高 以 m 計(jì) 05 0 73 1 2 NM 設(shè)各人身高相互獨(dú)立 1 在這一地區(qū)隨 機(jī)選一名女子 一名男子 求女子比男子高的概率 2 在這一地 區(qū)隨機(jī)選 5 名女子 求至少有 4 名的身高大于 1 60 的概率 3 在這一地區(qū)隨機(jī)選 50 名女子 求這 50 名女子的平均身高達(dá)于 1 60 的概率 解解 1 因?yàn)?003125 0 1 0 NWM 所以 0367 0 9633 0 1 79 1 003125 0 1 00 0 WMPMWP 2 隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于 1 60 的概率為 8849 0 2 1 025 0 63 1 60 1 1 60 1 WP 隨機(jī)選擇的 5 名女子 身高大于 1 60 的人數(shù)服從二項(xiàng)分布 8849 0 5 B 所以至少有 4 名的身高大于 1 60 的概率為 8955 0 8849 0 8849 0 1 8849 0 55 5 44 5 CC 3 設(shè) 這 50 名女 子的身 高分別 記為隨 機(jī)變量 501 WW 50 1 50 1 i i WW 則 50 025 0 63 1 50 1 2 50 1 NWW i i 所以這 50 名女子的平 均身高達(dá)于 1 60 的概率為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 44 1 49 8 50 025 0 63 1 60 1 1 60 1 WP 12 1 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 2 NX 已 知20 0 16 XP 90 0 20 XP 求 和 2 ZYX 相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 求 7623 ZYXP 解解 1 由 84 0 20 0 16 16 XP 得到 84 0 16 282 1 90 0 20 20 XP 得到 282 1 20 聯(lián)立 84 0 16 和 282 1 20 計(jì)算得到8850 1 5834 17 2 由ZYX 相 互 獨(dú) 立 且 都 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 得 到 49 0 623NZYX 故所以 1587 0 1 1 7 07 7623 7623 X PXPXP i i 16 以 1001 XX 記 100 袋額定重量為25 kg 的袋裝肥料的真實(shí)的 凈重 100 2 1 1 25 iXDkgXE ii1001 XX 服從同一分布 且 相互獨(dú)立 100 1 100 1 i i XX 求 25 2575 24 XP的近似值 解解 根據(jù)題意可得 100 1 25 XDkgXE 由獨(dú)立同分布的中心 極限定理可得 5 2 5 2 1 0 2525 25 1 0 25 1 0 2575 24 25 2575 24 X PXP 9876 01 5 2 2 17 有 400 個(gè)數(shù)據(jù)相加 在相加之前 每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它 的 數(shù) 其 末 位 為10 7 設(shè) 舍入 誤 差 相 互獨(dú) 立 且 在區(qū) 間 105 0 105 0 77 服從均勻分布 求誤差總和的絕對值小于 6 105 0 的概率 例如 45 345678419 舍入到 45 3456784 解解 以 4001 XX 記這 400 個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差 400 1 400 1 i i XX 則 4800 10 0 14 XDXE 利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得 10125 0 10125 0 105 0 886 400 1 XPXP i i 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 47 4800 10 10125 0 4800 10 4800 10 10125 0 14 8 1414 8 n n n n XP 就要求 645 1 95 0 16 0 5 492 0 n n 即645 1 16 0 5 492 0 n n 從而 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 48 025 2450232964 2004 0 2 nn 解出95 304 n或者201 n 舍去 所以最少要安裝 305 部電話 19 一射手射擊一次的得分X是一個(gè)隨機(jī)變量 具有分布律 X8910 k p 0 010 290 70 1 求獨(dú)立射擊 10 次總得分小于等于 96 的概率 2 求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率 解解 根據(jù)題意 69 9 XE 2339 0 69 9 13 94 2 XD 1 以 101 XX 分別記 10 次射擊的得分 則 2776 0 59 0 339 2 9 9696 339 2 9 9696 339 2 9 96 96 10 1 10 1 i i i i X PXP 2 設(shè)在 900 次射擊中得分為 8 分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量Y 則 01 0 900 BY 由DeMoivre Laplace 定理 計(jì)算得 8790 0 17 1 1 99 0 01 0 900 01 0 9005 06 1 6 YP 第 4 章習(xí)題解答完畢 第 5 章樣本及抽樣分布 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 49 1 設(shè)總體 X 服從均值為 1 2 的指數(shù)分布 4321 XXXX是來自總體的容 量為 4 的樣本 求 1 4321 XXXX的聯(lián)合概率密度 2 2 17 0 15 0 21 x 所以 1 聯(lián)合概率密度為 43214321 xfxfxfxfxxxxg 2 4321 16 xxxx e 0 4321 XXXX 2 21 X X的聯(lián)合概率密度為 2 21 2 xx e 所以 2 1 7 0 2 2 1 5 0 1 2 1 5 0 2 1 7 0 21 22 21 2121 224 2 17 0 15 0 dxedxedxdxeXXP xxxx 4 24 121 eeee 3 2 1 4 1 4 1 i i XEXE 16 1 2 1 4 1 16 1 2 4 1 i i XDXD 4 4 1 2121 XEXEXXE 由獨(dú)立性 4 1 2 1 4 1 2 1 5 0 5 0 2 2 22 2 2 2 21 2 21 XEXEXXEXEXEXXE 8 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 XEXD 5 2 2 2 2 121 22 2121 4 1 XEXEXXEXXEXXD 16 3 16 1 4 1 4 1 4 1 4 1 16 1 2 2 21 2 1 XEXDXEXD 2 設(shè)總體 100 75 NX 321 XXX是來自X的容量為 3 的樣本 求 1 85 max 321 XXXP 2 9075 8060 31 XXP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 50 3 2 3 2 2 2 1 XXXE 4 321 XXXD 32 321 XXXD 5 148 21 XXP 解解 1 85 85 85 85 max 321321 XXXPXXXP 3 1 3 1321 10 7585 10 75 85 85 85 85 X PXPXPXPXP 5955 0 8413 0 1 33 2 9075 8060 9075 8060 3131 XPXPXXP 10 7590 10 75 10 7575 10 7580 10 75 10 7560 9075 8060 31 31 X P X PXPXP 10 7590 10 75 10 7575 10 7580 10 75 10 7560 31 X P X P 0 5 1 5 0 5 0 0 5 1 5 0 5 0 6503 04332 0383 04332 0383 0 5 09332 0 1 5 0 2 5 09332 0 1 5 0 2 本題與答案不符 3 323 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 75100 XEXDXEXEXEXXXE 11 108764 1 4 108764 1 1 611 321 22 321321 XEXXXEXXXEXXXD 9611 10662 9 75108764 1 1400 9 4 32 321321 XDXDXDXXXD 5 因?yàn)?200 150 21 NXX 所以 4443 0 5557 0 1 10 2 1 200 150148 148 21 XXP 3 設(shè)總體 5 X 321 XXX是來自X的容量為 3 的樣本 求 1 3 2 1 321 XXXP 2 1 21 XXP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答 51 解解 1 因?yàn)?321 XXX相互獨(dú)立 所以 6 125 2 25 5 3 2 1 3 2 1 55 5 321321 ee eXPXPXPXXXP 000398 0 12 e15625 15 2 0 1 1 0 1 212121 XXpXXpXXP 105555 1055 eeeee 4 1 設(shè)總體 3 6 52 2 NX 3621 XXX 是來自X的容量為 36 的樣 本 求 8 53 8 50