高中數(shù)學培優(yōu)專題講座之一.doc

博學而篤志 高二數(shù)學組 主講：呂向陽切問而近思高中數(shù)學培優(yōu)專題講座之一：數(shù)列通項公式的求法 各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。二、公式法若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式求解。例2已知數(shù)列的前項和滿足求數(shù)列的通項公式。點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并三、由遞推式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知數(shù)列滿足，求。類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知數(shù)列滿足，求。（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。（3）遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異例5設(shè)數(shù)列：，求.說明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例6已知， ，求。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例7. 已知數(shù)列中，求.類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）例8. 已知數(shù)列中，,，求。類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。例9. 已知數(shù)列中，,，求。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用進行求解。例10. 已知數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.類型7 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當時，,，求,.四、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。例12、數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項公式。說明：這個題目通過對常數(shù)1的分解，進行適當組合，可得等比數(shù)列 a2，從而達到解決問題的目的。例13、數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項公式。例14已知數(shù)列滿足，且，求點評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例15已知數(shù)列滿足， ，求點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型2、通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式，通過對系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。例16、數(shù)列滿足=0，求數(shù)列a的通項公式。例17、數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。例18已知數(shù)列滿足,求解：設(shè)點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型五、特征根法1、設(shè)已知數(shù)列的項滿足,其中求這個數(shù)列的通項公式。作出一個方程則當時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.2、對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。3、如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。(2006.重慶.文.22)（本小題滿分12分）數(shù)列求數(shù)列的通項公式. 例22已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？說明：形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型。(取倒數(shù)法)例23：六、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺.1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例24： 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項an.例25： 數(shù)列中前n項的和，求數(shù)列的通項公式.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.例26： 設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項公式an.3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.例28： 數(shù)列中，前n項的和，求.4