2.1 第1課時 正弦定理 學(xué)案(北師大版必修5).doc

金太陽新課標資源網(wǎng) 第二章解 三 角 形 本章概述課程目標1.雙基目標（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量學(xué)、力學(xué)、運動學(xué)以及幾何計算等有關(guān)的實際問題.2.情感目標（1）通過對任意三角形邊角關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、猜想、論證能力及分析問題和解決問題的能力.（2）通過解決一些實際問題，培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)知識既來源于生活，又服務(wù)于生活.（3）正弦定理、余弦定理的探索和驗證、使用計算器進行近似計算等.一方面，同學(xué)們借助技術(shù)手段，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動，可以培養(yǎng)同學(xué)們的探索精神和創(chuàng)新精神；另一方面，借助計算器可以解決計算量大的問題，也可以根據(jù)實際需要進行近似計算，有利于激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.重點難點重點：運用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，運用這兩個定理解決一些測量以及與幾何計算有關(guān)的實際問題.難點：正、余弦定理的推導(dǎo)以及運用正、余弦定理解決實際問題.方法探究1.注重知識形成的過程，通過從特殊到一般，再從一般到特殊的過程，引導(dǎo)我們從猜想、驗證到證明等環(huán)節(jié)自主研究，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.2.注重數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力.3.學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題（1）重視數(shù)學(xué)思想方法的運用.解三角形作為幾何度量問題，要突出幾何背景，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用，具體解題時， 要注意函數(shù)與方程思想的運用.（2）加強新舊知識的聯(lián)系.本章知識與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊、角關(guān)系有密切聯(lián)系.同時要注意與三角函數(shù)、平面向量等知識的聯(lián)系，將新知識融入已有的知識體系，從而提高綜合運用知識的能力.（3）提高數(shù)學(xué)建模能力.利用解三角形解決相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是讀懂題意，找出量與量之間的關(guān)系，根據(jù)題意作出示意圖，將實際問題抽象成解三角形模型.1正弦定理與余弦定理 第1課時正 弦 定 理知能目標解讀1.通過對特殊三角形邊長和角度關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，并初步學(xué)會這種由特殊到一般的思想方法來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律.2.掌握用向量法證明正弦定理的方法，并能用正弦定理解決一些簡單的三角形相關(guān)的度量問題.3.學(xué)會用三角函數(shù)及計算器求解一些有關(guān)解斜三角形的近似計算問題.重點難點點撥重點：正弦定理的證明及利用正弦定理解題.難點：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，判定三角形解的情況.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三邊與對應(yīng)角的正弦之間的關(guān)系式.結(jié)合正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.2.正弦定理的證明正弦定理的證明，教材上通過構(gòu)造向量投影相等的方法進行了證明.除此之外，還可以運用向量法和三角函數(shù)定義法給予證明.方法一：建立直角坐標系，借助三角函數(shù)的定義進行證明.在如圖所示的直角坐標系中，點B,C的坐標分別是 B（ccosA,csinA）,C(b,0).于是SABC=bcsinA.同理SABC還可以表示成absinC和acsinB.從而可得=.方法二：如圖所示：當ABC為銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CD=bsinA,CD=asinB,所以bsinA=asinB,即;同理可得=.所以.如下圖所示，當ABC為鈍角三角形時，設(shè)A為鈍角，AB邊上的高為CD，則CD=asinB,CD=bsin(180A)=bsinA.所以asinB=bsinA,即;同理.所以.當ABC為直角三角形時，上式也成立.方法三:如下圖所示：過A作單位向量j垂直于.由+=，兩邊同乘以單位向量j,得j（+）=.則j+j=j.j|cos90+|cos(90-C)=| j|cos(90-A).asinC=csinA.=.同理，過C作j垂直于，得=,=.二、利用正弦定理解三角形的類型（1）已知兩角與一邊，用正弦定理，有解時，只有一解.（2）已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理，可能有兩解、一解或無解，在ABC中，已知a,b和A時，解的情況如下：.A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAabbsinAababab解的個數(shù)一解兩解無解一解無解三、三角形常用面積公式（1）S=aha（ha表示邊a上的高）；（2）S=absinC=bcsinA=acsinB； (3)S=r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).四、應(yīng)用正弦定理的解題規(guī)律1.正弦定理揭示了任意三角形邊角之間關(guān)系的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具.同時在三角形中與三角函數(shù)、平面向量有密切的聯(lián)系.2.利用正弦定理可以解決兩類解三角形問題：一類是已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；另一類是已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角.3.解題時，要注意“三角形內(nèi)角和為180”、“在一個三角形中，大邊對大角”等平面幾何性質(zhì)的運用.4.要注意正弦定理的變式在解題中的應(yīng)用，在解題時體會分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.知能自主梳理正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的相等，即=.答案正弦的比思路方法技巧命題方向正弦定理的理解例1有關(guān)正弦定理的敘述：正弦定理只適用于銳角三角形；正弦定理不適用于直角三角形；在某一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值；在ABC中，sinA：sinB：sinC=a：b：c.其中正確的序號是.分析緊扣正弦定理進行推理判斷.答案解析正弦定理適用于任意三角形,故均不正確；由正弦定理可知,三角形一旦確定,則各邊與其所對角的正弦的比就確定了,故正確；由比例性質(zhì)和正弦定理可推知正確.說明公式、定理的適用條件與公式、定理本身同樣重要.變式應(yīng)用1滿足sinA：sinB：sinC=1：2：3的ABC是否存在？ 解析假設(shè)滿足條件的ABC存在，并設(shè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c.則由正弦定理知.又sinA：sinB： sinC=1：2：3,a：b：c=1：2：3.則,=2a,c=3a,a+b=c.與三角形中兩邊之和大于第三邊矛盾.故滿足sinA：sinB：sinC=1：2：3的ABC不存在.命題方向正弦定理的應(yīng)用例2在ABC中，已知A=45,B=30,c=10,求b.分析先利用三角形內(nèi)角和定理求角C，再利用正弦定理求邊b.解析A+B+C=180,C=105,sin105 =sin(45+60)（+）=,b=c=5().說明本題屬于已知兩角與一邊求解三角形的類型，此類問題的基本解法是：（1）若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，最后由正弦定理求第三邊；（2）若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊.變式應(yīng)用2已知ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=c=+，且A=75，則b=（）A.2B. C.4-2.4+2答案A解析由a=c=可知，C=A75，B=30,sinB=.又sinA=sin75=sin(30+45) =sin30cos45+cos30sin45=+=.由正弦定理，得b=故選A.例3（2012儋州高二檢測）在ABC中，a=1, b=,A=30,求邊c的長.分析由正弦定理求sinB判斷B的范圍確定B的值求邊c解析由,得sinB=.aA=30B為60或120.(1)當B60時，C180603090.此時，c=2(2)當B120時，C1801203030.此時，c=a=1.說明利用正弦定理解三角形，若已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍.變式應(yīng)用3本例中，若a=3,A=60,其他條件不變，則B是多少度？解析由,得sinB=sinA=，得B=30或150，又ab,AB,而A60,B=30.探索延拓創(chuàng)新命題方向求三角形的面積例4在ABC中，B=30,AB=2,AC=2,求ABC的面積.分析首先要討論三角形解的個數(shù)，然后利用三角形的面積公式求解.解析由正弦定理，得,sinC=.ABAC,CB=30,即C有兩解.C=60或120.當C=60時，A=90,SABC=ABACsinA=22sin90=2;當C=120時，A=30,SABC=ABACsinA=22sin30=.綜上可知，ABC的面積為2或.說明利用三角形的面積公式S=absinC=bcsinA=acsinB即可求出三角形的面積，同時要注意解的個數(shù).變式應(yīng)用4在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a,b,c,已知A=，b=1,ABC的外接圓半徑為1，則ABC的面積S=.答案解析由正弦定理=2R,a=,sinB=,ab,AB,B=,C=.SABC=.名師辨誤做答例5在ABC中，若tanA：tanB=a2：b2,試判斷ABC的形狀.誤解由正弦定理得，,a2：b2=sin2A：sin2B,tanA：tanB=a2：b2,.sinA0,sinB0,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,來2A=2B,A=B.故ABC是等腰三角形.辨析在ABC中，若sin2A=sin2B,則2A=2B或2A+2B=,誤解中漏掉2A+2B=這一情況.正解由正弦定理得，,a2：b2=sin2A：sin2B,tanA：tanB=a2：b2,.sinA0,sinB0,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=，A=B或A+B=,故ABC是等腰三角形或直角三角形.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.一個三角形的內(nèi)角分別為45與30，如果45角所對的邊長是4，則30角所對的邊長為（）A.2 B.3 C.2 D.3答案C解析設(shè)所求邊長為x,由正弦定理得，=,x=2,故選C.2.已知ABC中，a=1,b=,A=30,則B=（）A. B. C. 或D. 或答案C解析由 ,得sinB=,sinB= =,B=或.3.已知ABC的三個內(nèi)角之比為A：B：C=3：2：1，那么對應(yīng)的三邊之比a：b：c等于（）A.3：2：1B. ：2：1C. ：1D.2：1答案DA：B：C=3：解析A+B+C=180A=90,B=60,C=30.a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：=2：1.二、填空題4.在ABC中，若b=1,c=,C=,則a=.答案1解析由正弦定理，得=,sinB=.C為鈍角，B必為銳角，B=,A=,a=b=1.5.在ABC中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，若A=105，B=45，b=2，則c=.答案2解析由已知，得C=180-105-45=30. =c=2.三、解答題6.在ABC中，已知A=45，B=30，c=10，求b.解析A+B+C=180,C=105.=,b=,又sin105=sin(6045)+=,b=5().課后強化作業(yè)一、選擇題1.在ABC中，下列關(guān)系中一定成立的是（）A.absinAB.a=bsinAC.absinAD.absinA答案D解析由正弦定理，得,a=,在ABC中，00),從而解出a=x,b=x,c=x.a：b：c=7：5：3.sinA：sinB：sinC=7：5：3.3.已知銳角ABC的面積為3，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A.75B.60C.45D.30答案B解析由題意，得43sinC3,sinC=,又0Cb,A=150,故應(yīng)有一解；對于C,absinA,故無解；對于D，csinBbb,A=60,B為銳角.cosB= =.7.在ABC中，a=10,B=60,C=45,則c等于 ()A.10+B.10（-1）C.10（+1）D.10答案B解析由已知得A=75,sinA=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=,c=10(-1).8.已知ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有兩解，則x的取值范圍是（）A.x2B.x2C.2x2D.2x2解析由題設(shè)條件可知xsin4522x2.二、填空題9.在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A,a=,b=1,則c=.答案2解析由正弦定理得sinB=sinA=,又b=1a=,BA=,而0B,B=,C=,由勾股定理得c=2.10.在ABC中，A=60,C=45,b=2.則此三角形的最小邊長為.答案2-2解析A=60，C=45，B=75,最小邊為c,由正弦定理，得,=,又sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=+,c=2-2.11.ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c.若a=b,A=2B,則cosB=.答案解析由正弦定理，得 =,a=b可轉(zhuǎn)化為=.又A=2B，=,cosB=.12.在ABC中，已知tanB=,cosC=,AC=3,求ABC的面積.答案6+8解析設(shè)在ABC中AB、BC、CA的邊長分別為c、a、b.由tanB=,得B60，sinB=，cosB=.又cosC=,sinC=.由正弦定理，得c=8.又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+,SABC=bcsinA=38(+)=6+8.三、解答題13.在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A、C及邊c.解析由正弦定理得，sinA= =，ab,AB=45,A為銳角或鈍角（或asinBba），A=60或A=120，當A=60時，C=180-45-60=75，sin75=sin(45+30)= +=,c=，當A=120時，C=180-45-120=15，sin15=sin(45-30)= ,c= =，A=60,C=75,c，或A=120，C=15，c=.14.在ABC中，a、b、c分別是三個內(nèi)角A、B、C的對邊，若a=2,C=,c