高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 待定系數(shù)法 理.doc

待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)相等。（表示恒等于）待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。待定系數(shù)法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要方法，它在平面解析幾何中有廣泛的應(yīng)用(一)求直線和曲線的方程例1 過直線x-2y-3=0與直線2x-3y-2=0的交點(diǎn)，使它與兩坐標(biāo)軸相交所成的三角形的面積為5，求此直線的方程【解】 設(shè)所求的直線方程為(x-2y-3)+(2x-3y-2)=0，整理，得依題意，列方程得 于是所求的直線方程為 8x-5y20=0或2x-5y-10=0【解說】 (1)本解法用到過兩直線交點(diǎn)的直線系方程，是待定系數(shù)(2)待定系數(shù)法是求直線、圓和圓錐曲線方程的一種基本方法例2 如圖29，直線l1和l2相交于點(diǎn)m，l1l2，點(diǎn)nl1，以a、b為端點(diǎn)的曲線c上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)n的距離相等若系，求曲線c的方程【解】 如圖29，以l1為x軸，mn的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系由已知，得曲線c是以點(diǎn)n為焦點(diǎn)、l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中點(diǎn)a、b為曲線c的端點(diǎn)設(shè)曲線c的方程為y2=2px，p0(x1xx2，y0)其中，x1、x2分別是a、b的橫坐標(biāo)，p=|mn|從而m、n解之，得p=4，x1=1故曲線c的方程為y2=8x (1x4，y0)(二)探討二元二次方程(或高次方程)表示的直線的性質(zhì)例3 已知方程ax2bxycy2=0表示兩條不重合的直線l1、l2求：(1)直線l1與l2交角的兩條角平分線方程；(2)直線l1與l2的夾角的大小【解】 設(shè)l1、l2的方程分別為mxny=0、qxpy=0，則ax2+bxycy2(mx+ny)(qx+py)從而由待定系數(shù)法，得amq，bmpnq，c=np(1)由點(diǎn)到直線的距離公式，得所求的角平分線方程為 即(m2n2)(qxpy)2=(q2+p2)(mxny)2，化簡、整理，得 (nq-mp)(nqmp)x22(np-mq)xy-(nqmp)y2=0 l1、l2是兩條不重合的直線b2-4ac(mp+nq)2-4mnpq=(mpnq)20即 mp-nq0從而(nqmp)x22(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by20即為所求的兩條角平分線方程(2)顯然當(dāng)mqnp=0，即a+c=0時(shí)，直線l1與l2垂直，即夾角為90當(dāng)mqnp0即ac0時(shí)，設(shè)l1與l2的夾角為，則【解說】 一般地說，研究二元二次(或高次)方程表示的直線的性質(zhì)，用待定系數(shù)法較為簡便(三)探討二次曲線的性質(zhì)1證明曲線系過定點(diǎn)例4 求證：不論參數(shù)t取什么實(shí)數(shù)值，曲線系(4t2t1)x2+(t1)y24t(t1)y-(109t221t+31)=0都過兩個(gè)定點(diǎn)，并求這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)【證明】 把原方程整理成參數(shù)t的方程，得(4x24y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2y2-31=0 t是任意實(shí)數(shù)上式都成立，【解說】 由本例可總結(jié)出，證明含有一個(gè)參數(shù)t的曲線系f(x，y，t)=0過定點(diǎn)的步驟是：(1)把f(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意實(shí)數(shù)，所以t的各項(xiàng)系數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))都等于零，得x、y的方程組；(3)解這個(gè)方程組，即得定點(diǎn)坐標(biāo)2求圓系的公切線或公切圓例5 求圓系x2y2-2(2m1)x-2my4m24m1=0(m0)的公切線方程【解】 將圓系方程整理為x-(2m+1)2(y-m)2=m2(m0)顯然，平行于y軸的直線都不是圓系的公切線設(shè)它的公切線方程為 y=kxb，則由圓心(2m1，m)到切線的距離等于半徑|m|，得從而(1-2k)m-(kb)2m2(1k2)，整理成m的方程，得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0 m取零以外的任意實(shí)數(shù)上式都成立，【解說】 由本例可總結(jié)出求圓系f(x，y，m)=0的公切線方程的步驟是：(1)把圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑；(2)當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kxb，利用圓心到切線的距離等于半徑，求出k、b、m的關(guān)系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成參數(shù)m的方程g(m)=0由于mr，從而可得m的各項(xiàng)系數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))都等于零，得k、b的方程組；(4)解這個(gè)方程組，求出k、b的值；(5)用同樣的方法，可求出x=a型的公切線方程3化簡二元二次方程例6 求曲線9x24y218x-16y-11=0的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線【分析】 把平移公式x=xh，y=yk，代入原方程化簡【解】 (略)例7 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0， xr, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。【注】 在所求函數(shù)式中有兩個(gè)系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關(guān)于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關(guān)于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了關(guān)于參數(shù)y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關(guān)鍵是否可以將函數(shù)化成一個(gè)一元二次方程。例8. 設(shè)橢圓中心在(2,-1)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸較近的端點(diǎn)距離是，求橢圓的方程。【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設(shè)a、b、c后，由已知垂直關(guān)系而聯(lián)想到勾股定理建立一個(gè)方程，再將焦點(diǎn)與長軸較近端點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為ac的值后列出第二個(gè)方程?！窘狻?設(shè)橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|bf|a 解得： 所求橢圓方程是：1也可有垂直關(guān)系推證出等腰rtbbf后，由其性質(zhì)推證出等腰rtbof，再進(jìn)行如下列式： ，更容易求出a、b的值?！咀ⅰ?圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動(dòng)體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉(zhuǎn)換成表達(dá)式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關(guān)于ac的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設(shè)方程（或幾何數(shù)據(jù)）幾何條件轉(zhuǎn)換成方程求解已知系數(shù)代入。例9. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1223n(n1)(anbnc)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論。 （89年全國高考題）【分析】是否存在，不妨假設(shè)存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n1、2、3列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O(shè)存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：,解得，于是對n1、2、3，等式1223n(n1)(3n11n10)成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設(shè)對nk時(shí)等式成立，即1223k(k1)(3k11k10)；當(dāng)nk1時(shí)，1223k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是說，等式對nk1也成立。綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。【注】建立關(guān)于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個(gè)特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時(shí)，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進(jìn)行。本題如果記得兩個(gè)特殊數(shù)列12n、12n求和的公式，也可以抓住通項(xiàng)的拆開，運(yùn)用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得s1223n(n1)(12n)2(12n)(12n)2(3n11n10)，綜上所述，當(dāng)a8、b11、c10時(shí)，題設(shè)的等式對一切自然數(shù)n都成立。例10. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的矩形盒子，問x為何值時(shí)，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實(shí)際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的研究。【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(302x)cm，底邊寬為(142x)cm，高為xcm。 盒子容積 v(302x)(142x)x4(15x)(7x)x ， 顯然:15x0，7x0，x0。設(shè)v(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，則解得：a， b ， x3 。 從而v()(x)x()27576。所以當(dāng)x3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm。【注】均值不等式應(yīng)用時(shí)要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令v(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”?！眷柟叹毩?xí)】：用待定系數(shù)法解證下列各題：1. 設(shè)f(x)m，f(x)的反函數(shù)f(x)nx5，那么m、n的值依次為_。a. , 2 b. ， 2 c. , 2 d. ，22. 二次不等式axbx20的解集是(,)，則ab的值是_。a. 10 b. 10 c. 14 d. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。a. 297 b.252 c. 297 d. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b0的解集是(,)，則ab的值是_。a. 10 b. 10 c. 14 d. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。a. 297 b.252 c. 297 d. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b0，7x0，x0。設(shè)v(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 要使用均值不等式，則解得：a， b ， x3 。 從而v()(x)x()27576。所以當(dāng)x3時(shí)，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm?！咀ⅰ烤挡坏仁綉?yīng)用時(shí)要注意等號成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令v(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項(xiàng)該進(jìn)行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。、鞏固性題組：1. 函數(shù)ylogx的x2,+)上恒有|y|1，則a的取值范圍是_。a. 2a且a1 b. 0a或1a2 c. 1a2或0a2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為_。a. 1 b. 1 c. pq d. 無法確定 3. 如果函數(shù)ysin2xacos2x的圖像關(guān)于直線x對稱，那么a_。a. b. c. 1 d. 14. 滿足c1c2cnc500的最大正整數(shù)是_。a. 4 b. 5 c. 6 d. 75. 無窮等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為sa , 則所有項(xiàng)的和等于_。a. b.