高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品13直線與圓的方程 備注【高.doc

第13講 直線、圓的方程備注：【高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品共42講 全部免費 歡迎下載】一【課標(biāo)要求】1直線與方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；（3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；2圓與方程回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。二【命題走向】直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關(guān)問題，可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。預(yù)測2010年對本講的考察是：（1）2道選擇或填空，解答題多與其他知識聯(lián)合考察，本講對于數(shù)形結(jié)合思想的考察也會是一個出題方向；（2）熱點問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程三【要點精講】1傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為。2斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在過兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900）。4直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點，k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不能同時為零直線的點斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標(biāo)軸的直線及過原點的直線。5圓的方程圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。特殊地，當(dāng)時，圓心在原點的圓的方程為：。圓的一般方程，圓心為點，半徑，其中。二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：、項項的系數(shù)相同且不為0，即；、沒有xy項，即B=0；、。四【典例解析】圖題型1：直線的傾斜角例1（2008四川理，4）直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移個單位，所得到的直線為( A )（）（）（）（）【解】：直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰（），（D） 又將向右平移個單位得，即 故選A；【點評】：此題重點考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問題；【突破】：熟悉互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，過原點的直線無常數(shù)項；重視平移方法：“左加右減”；點評：本題重點考查直線的傾斜角、斜率的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的能力例2(上海文，18)過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（ ）（A） 0條 （B） 1條 （C） 2條 （D） 3條【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B?！敬鸢浮緽題型2：斜率公式及應(yīng)用例3全國文16）若直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是 其中正確答案的序號是 .（寫出所有正確答案的序號）【解析】解：兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或?！敬鸢浮浚?）已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)ylog2x的圖象交于C、D兩點。（1）證明點C、D和原點O在同一條直線上。（2）當(dāng)BC平行于x軸時，求點A的坐標(biāo)解析：（1）如圖，實數(shù)x，y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分（包括邊界），而表示點（x，y）與原點連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點坐標(biāo)為，此時，所以的最大值是。 點評：本題還可以設(shè)，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費周折。（2）證明：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題設(shè)知x11，x21，點A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.因為A、B在過點O的直線上，所以，又點C、D的坐標(biāo)分別為（x1，log2x1），（x2，log2x2）由于log2x13log8x1，log2x23log8x2，所以O(shè)C的斜率和OD的斜率分別為。由此得kOCkOD，即O、C、D在同一條直線上。由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1log8x2，解得 x2x13將其代入，得x13log8x13x1log8x1.由于x11，知log8x10，故x133x1，x1，于是點A的坐標(biāo)為（，log8）.點評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和分析問題的能力點評：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的方法求最值等。但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。題型3：直線方程例4已知直線的點斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。 解析：（1）將移項、展開括號后合并，即得斜截式方程。 （2）因為點（2，1）、（0，）均滿足方程，故它們?yōu)橹本€上的兩點。 由兩點式方程得： 即 （3）由知：直線在y軸上的截距 又令，得 故直線的截距式方程點評：直線方程的四種特殊形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時，要根據(jù)問題的條件、結(jié)論，靈活恰當(dāng)?shù)剡x用公式，使問題解得簡捷、明了。例5直線經(jīng)過點P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設(shè)所求直線的方程為， 直線過點P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 點評：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種： （1）從點的坐標(biāo)或中直接觀察出來； （2）由斜截式或截距式方程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a?？傊谇笾本€方程時，設(shè)計合理的運算途徑比訓(xùn)練提高運算能力更為重要。解題時善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。題型3：直線方程綜合問題例5（重慶理，1）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）A相切 B相交但直線不過圓心 C直線過圓心D相離【解析】圓心為到直線，即的距離，而，選B?！敬鸢浮緽【點評】：此題重點考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離；【突破】：數(shù)形結(jié)合，使用點到直線的距離距離公式例6（天津文，14）若圓與圓的公共弦長為，則a=_.【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1.【答案】1（2）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=1相切，點C在l上。（）求動圓圓心的軌跡M的方程；（）設(shè)過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點。（i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；（ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標(biāo)的取值范圍。（）解法一，依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.圖解法二：設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=。化簡得：y2=4x。（）（i）由題意得，直線AB的方程為y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3。所以A點坐標(biāo)為（），B點坐標(biāo)為（3，2），|AB|=x1+x2+2=。假設(shè)存在點C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=。但y=不符合，所以由，組成的方程組無解因此，直線l上不存在點C，使得ABC是正三角形。（ii）解法一：設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由得y=2，即當(dāng)點C的坐標(biāo)為（1，2）時，A、B、C三點共線，故y2。又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=。當(dāng)CAB為鈍角時，cosA=|AC|2+|AB|2，即，即y時，CAB為鈍角當(dāng)|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y|AC|2+|BC|2，即，即。該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是。解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x）2+（y+）2=（）2。圓心（）到直線l：x=1的距離為，所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點G（1，）。當(dāng)直線l上的C點與G重合時，ACB為直角，當(dāng)C與G點不重合，且A、B、C三點不共線時，ACB為銳角，即ABC中，ACB不可能是鈍角。因此，要使ABC為鈍角三角形，只可能是CAB或CBA為鈍角過點A且與AB垂直的直線方程為。令x=1得y=。過點B且與AB垂直的直線方程為y+2（x3）。令x=1得y=。又由解得y=2，所以，當(dāng)點C的坐標(biāo)為（1，2）時，A、B、C三點共線，不構(gòu)成三角形。因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y（y2）。點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。題型4：圓的方程例7（1）已知ABC的三個項點坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圓的方程。 分析：如果設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將三個頂點坐標(biāo)分別代入，即可確定出三個獨立參數(shù)a，b，r，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果注意到ABC外接圓的圓心是ABC三邊垂直平分線的交點，由此可求圓心坐標(biāo)和半徑，也可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：設(shè)所求圓的方程是因為A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是 可解得所以ABC的外接圓的方程是。解法二：因為ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。，線段AB的中點為（5，1），線段BC的中點為，圖41AB的垂直平分線方程為，BC的垂直平分線方程解由聯(lián)立的方程組可得 ABC外接圓的圓心為（1，3），半徑。故ABC外接圓的方程是點評：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)（2）求過A（4，1），B（6，3），C（3，0）三點的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。分析：細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡捷。解析：設(shè)圓的方程為因為三點A（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，將它們的坐標(biāo)分別代入方程，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的一個三元一次方程組： ，解得。所以，圓的方程是。圓心是坐標(biāo)（1，3），半徑為。點評：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法一般地，在選用圓的方程形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便，否則選用一般方程方便些例8若方程。 （1）當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個圓。 （2）當(dāng)在以上范圍內(nèi)變化時，求圓心的軌跡方程。 解析：（1）由， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時， 即時，給定的方程表示一個圓。 （2）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則（為參數(shù)）。消去參數(shù)，為所求圓心軌跡方程。點評：圓的一般方程，圓心為點，半徑，其中。題型5：圓的綜合問題例9如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，給定y軸正半軸上兩點A（0，a），B（0，b）（），試在x軸正半軸上求一點C，使ACB取得最大值解析：設(shè)C是x軸正半軸上一點，在ABC中由正弦定理，有。其中R是ABC的外接圓的半徑?？梢?，當(dāng)R取得最小值時，ACB取得最大值在過A、B兩定點且與x軸正向有交點C的諸圓中，當(dāng)且僅當(dāng)點C是圓與x軸的切點時，半徑最小。故切點C即為所求。由切割線定理，得：所以 ，即點C的坐標(biāo)為時，ACB取得最大值。點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。例10已知O過定點A(0，p)(p0)，圓心O在拋物線x2=2py上運動，MN為圓O截x軸所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=。（1）當(dāng)O點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解析：設(shè)O(x0，y0)，則x02=2py0 (y00)，O的半徑|OA|=，O的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x22x0x+x02p2=0，解得xM=x0 p，xN=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p為定值。（2）M(x0-p，0) ，N(x0+p，0) d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2。當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=p，y0=p時等號成立，+的最大值為2。此時|OB|=|MB|=|NB|（B為MN中點），又OM=ON，OMN為等腰直角三角形，MON=90，則=MON=45。點評：數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法（全國理16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為 ?！窘馕觥吭O(shè)圓心到的距離分別為,則.四邊形的面積【答案】5五【思維總結(jié)】抓好“