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高等代數(shù)習(xí)題課正交矩陣的性質(zhì)講課 楊忠鵬制作 林志興楊忠鵬2003 06 05 習(xí)題課正交矩陣的性質(zhì) 一 正交矩陣的定義及簡單性質(zhì) 二 有限維歐氏空間里的正交矩陣 三 正交矩陣的特征根 一 正交矩陣的定義及簡單性質(zhì) 問題 正交矩陣之和 1定義 若稱A為正交矩陣 2運(yùn)算性質(zhì) 正交矩陣之積為正交陣 正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交陣 正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣 數(shù)乘正交矩陣 A為正交矩陣 A為正交矩陣 A為正交矩陣 3正交矩陣的判定 的關(guān)系如何 元素與其余子式 代數(shù)余子式 當(dāng)某時(shí) 的上界 問題 的上界 二 有限維歐氏空間里的正交矩陣 空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 A為正交矩陣A的行 列 向量組是n維行 列 向量 1矩陣 則 2n維歐氏空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 矩陣滿足 則為標(biāo)準(zhǔn)正交基A為正交矩陣 A是正交變換A為正交矩陣 則 標(biāo)準(zhǔn)正交基 若 3A為n維歐氏空間的線性變換 是一組 A A為第二類的 若 A為第一類的 旋轉(zhuǎn) 若 4n維歐氏空間的正交變換的分類 使 即 對角矩陣 向量 即A在下的矩陣為實(shí) 存在標(biāo)準(zhǔn)正交基是A的特征 A為對稱變換 則 標(biāo)準(zhǔn)正交基 且A 5A為n維歐氏空間的線性變換 為一組 1在不同的教材上曾出現(xiàn)下面的命題 三 正交矩陣的特征根 正交矩陣的特征根的模等于1 正交矩陣的實(shí)特征根為1或 1 正交變換的特征根為1或 1 可得 即 注意此時(shí)由 1 和 2 對 1 兩邊取共軛轉(zhuǎn)置 2 1 的證明 設(shè)為維非零復(fù)向量 為復(fù)數(shù) 且 2正交矩陣A的特征根 共軛出現(xiàn)的 當(dāng)時(shí) 由 3 知A的非實(shí)的復(fù)特征根是成對 這里為矩陣A的所有特征根 iii ii i 3 特征多項(xiàng)式 正交矩陣的特征根 這里 為非負(fù)整數(shù) 且 非實(shí)特征根 負(fù)特征根 4 正特征根 ii 可設(shè) 非實(shí)特征根為成對共軛與出現(xiàn) 且 實(shí)特征根為1或 1 i 分類 3正交矩陣A的行列式 是 1作為A的特征根的重?cái)?shù) 5 即 在 4 之下 或 1 簡單證明 由定義給出 4正交矩陣的三類特征根 特征根為1或 1 n為奇數(shù)時(shí) 與的奇偶性相反 且至少有1個(gè) n為偶數(shù)時(shí) 與的奇偶性相同 5n維歐氏空間中的正交變換A特征根的存在情況 若A有特征根 則特征根1的重?cái)?shù)與n的奇偶性相同 相同 A必以 1為特征根且重?cái)?shù)為奇數(shù) 特征根1的重?cái)?shù)與n的奇偶性 A為第二類的即 若A有特征根 則特征根 1的重?cái)?shù)為偶數(shù) 特征根1的重?cái)?shù) 與n的奇偶性相同 A為第一類的即 才是A的特征根 約定當(dāng)不是特征根時(shí) 其重?cái)?shù)為0 注意此時(shí)A與在標(biāo)正基下的正交矩陣A的對應(yīng)關(guān)系 A的實(shí)特征根 設(shè)A是33正交陣且證明A的特征多項(xiàng)式為 這里 證明第二類正交變換一定以 1作為它的一個(gè)特征值 特征值 證