【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué) 第一章1.6.1 垂直關(guān)系的判定目標(biāo)導(dǎo)學(xué) 北師大版必修2 .doc

6.1垂直關(guān)系的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)s重點(diǎn)難點(diǎn)1通過(guò)實(shí)例，掌握直線和直線垂直、直線和平面垂直、平面和平面垂直的定義2掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，并會(huì)利用定理證明垂直關(guān)系3正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的平面角重點(diǎn)：直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義、判定定理及推論難點(diǎn)：直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理在證明題中的應(yīng)用疑點(diǎn)：二面角的平面角的作法.1直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直(2)直線和平面垂直的判定定理文字?jǐn)⑹觯喝绻粭l直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)表示：若a，b，aba，la，lb，則l.圖形表示：作用：線線垂直線面垂直預(yù)習(xí)交流1能夠證明直線l與平面垂直的條件是()l與內(nèi)兩條平行直線垂直；l與內(nèi)兩條相交直線垂直；l與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直；l與內(nèi)任意兩條直線垂直；lm，m；直線m，n確定平面，lm，ln.a b c d提示：c2二面角及其平面角(1)半平面的定義：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面(3)二面角的記法：以直線ab為棱，半平面，為面的二面角，記作二面角ab.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角預(yù)習(xí)交流2以下命題正確的個(gè)數(shù)是()一個(gè)二面角的平面角只有一個(gè)；二面角的棱必垂直于這個(gè)二面角的平面角所在的平面；分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且垂直于棱的直線所成的角等于二面角的大小a0b1c2d3提示：b3平面與平面垂直的判定(1)兩個(gè)平面互相垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面和平面垂直的判定定理文字?jǐn)⑹觯喝绻粋€(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直符號(hào)表示：.圖形表示：作用：線面垂直面面垂直預(yù)習(xí)交流3如何理解平面和平面垂直的判定定理？提示：(1)本質(zhì)：證面面垂直證線面垂直(2)關(guān)鍵：尋找其中一個(gè)平面的垂線(3)找平面垂線的方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若不存在則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決，而作輔助線則應(yīng)有理論依據(jù)，并有助于證明，不能隨意添加1線面垂直的判定如圖，在abc中，abc90，d是ac的中點(diǎn)，s是abc所在平面外一點(diǎn)，且sasbsc.(1)求證：sd平面abc；(2)若abbc，求證：bd平面sac.思路分析：題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，abbc，d是ac的中點(diǎn)，要證(1)需在平面abc內(nèi)找兩條相交直線與sd垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系，要證(2)，需設(shè)法在平面sac內(nèi)找兩條相交直線與bd垂直，而(1)的結(jié)論可利用證明：(1)因?yàn)閟asc，d是ac的中點(diǎn)，所以sdac.在rtabc中，adbd，由已知sasb，所以adsbds，所以sdbd.又acbdd，所以sd平面abc.(2)因?yàn)閍bbc，d為ac的中點(diǎn)，所以bdac.由(1)知sdbd，因?yàn)閟dacd，所以bd平面sac.1已知四棱錐pabcd的底面是菱形，且abc60，papc2，pbpd.若o是ac與bd的交點(diǎn)，求證：po平面abcd.證明：papc，pdpb，且o是ac和bd的中點(diǎn)，poac，pobd.又acbdo，po平面abcd.2如圖，ab是圓o的直徑，c是圓周上異于a，b的任意一點(diǎn)，pa平面abc.(1)圖中共有多少個(gè)直角三角形？(2)若ahpc，且ah與pc交于h，求證：ah平面pbc.(1)解：由pa平面abc，可得paac，paab，pabc，又由題設(shè)知bcac.由bcac，bcpa，paaca得bc平面pac，pc平面pac，bcpc.故圖中有4個(gè)直角三角形：pac，pab，abc，pcb.(2)證明：由(1)知bc平面pac，ah平面pac，bcah.又ahpc，bcpcc，ah平面pbc.1.利用直線和平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論2利用直線和平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高、菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法2面面垂直的判定如圖，pa垂直于矩形abcd所在的平面，adpa2，cd2，e，f分別是ab，pd的中點(diǎn)(1)求證：af平面pce；(2)求證：平面pce平面pcd.思路分析：(1)要證af平面pce，只需證明af平行于平面pce內(nèi)的一條直線即可，取pc的中點(diǎn)g，則該直線為ge.(2)要證明平面pce平面pcd，只需證明ge平面pcd，而由(1)知geaf，故只需證明af平面pcd即可證明：(1)取pc的中點(diǎn)g，連接fg，eg，f為pd的中點(diǎn)，e為ab的中點(diǎn)，fgcd，且fgcd，aecd，且aecd，fgae，且fgae，四邊形aegf為平行四邊形，afge.ge平面pec，af平面pce，af平面pce.(2)paad2，afpd.pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又adcd，paada，cd平面pad.af平面pad，afcd.pdcdd，af平面pcd，ge平面pcd.ge平面pec，平面pce平面pcd.1如圖，在底面為直角梯形的四棱錐pabcd中，adbc，abc90，pa平面abcd，acbde，ad2，ab2，bc6.求證：平面pbd平面pac.證明：pa平面abcd，bd平面abcd，bdpa.又tanabd，tanbac，abd30，bac60，aeb90，即bdac.又paaca，bd平面pac.bd平面pbd，平面pbd平面pac.2如圖，棱柱abca1b1c1的側(cè)面bcc1b1是菱形，b1ca1b，求證：平面ab1c平面a1bc1.證明：因?yàn)閭?cè)面bcc1b1是菱形，所以b1cbc1.又b1ca1b，且a1bbc1b，所以b1c平面a1bc1.又b1c平面ab1c，所以平面ab1c平面a1bc1.利用面面垂直的判定定理證明面面垂直，關(guān)鍵是先證線面垂直，再證線在另一個(gè)平面內(nèi)，最終得到面面垂直具體方法是：線線垂直線面垂直面面垂直3綜合問(wèn)題如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，p為側(cè)棱sd上的點(diǎn)(1)求證：acsd；(2)若sd平面pac，求二面角pacd的大小；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱sc上是否存在一點(diǎn)e，使得be平面pac？若存在，求seec的值；若不存在，試說(shuō)明理由思路分析：(1)要證acsd，可先證明ac平面sbd.(2)要求二面角pacd的大小，可先找出二面角的平面角，再進(jìn)行計(jì)算(3)是一探索性問(wèn)題，可先假設(shè)存在點(diǎn)e，再根據(jù)線面、面面的平行關(guān)系進(jìn)行推理論證(1)證明：連接bd，設(shè)ac交bd于o，連接so.由題意知soac.在正方形abcd中，acbd，所以ac平面sbd，得acsd.(2)解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則sd=a，又od=a，所以sdo=60.連接op，由(1)知ac平面sbd，所以acop，且acod，所以pod是二面角pacd的平面角由sd平面pac，知sdop，所以pod=30，即二面角pacd的大小為30.(3)解：在棱sc上存在一點(diǎn)e，使be平面pac.由(2)可得pd=a，故可在sp上取一點(diǎn)n，使pn=pd.過(guò)n作pc的平行線與sc的交點(diǎn)即為e.連接bn，在bdn中，知bnpo.又由于nepc，故平面ben平面pac，這得be平面pac.由于snnp21，故seec21.如圖，在六面體abcdefg中，平面abc平面defg，ad平面defg，abac，ed dg，efdg，且abaddedg2，acef1.(1)求證：bf平面acgd；(2)求二面角aegd的正切值(1)證明：設(shè)dg的中點(diǎn)為m，連接am，fm，則由已知條件易證四邊形defm是平行四邊形，mfde，且mfde.平面abc平面defg，平面abed分別交平面abc，平面defg于ab，de，abde，又abde，mfab，且mfab，四邊形abfm是平行四邊形，即bfam.又bf平面acgd，am平面acgd，故bf平面acgd.(2)解：連接ae，ag，eg，ad平面defg，addg，adde.adeddg，aeag.取eg的中點(diǎn)h，連接ah，dh，有aheg，dheg，則ahd是二面角aegd的平面角在rtadh中，由addedg2，得dh.tanahd，故二面角aegd的正切值為.1.二面角的平面角的作法(1)垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過(guò)這個(gè)平面和二面角兩個(gè)面的交線得出平面角；(2)垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；2根據(jù)線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系探討點(diǎn)的位置，解題的思路是從特殊位置入手，一般是中點(diǎn)或線段的端點(diǎn)處另外，對(duì)于解答題，在解答后面小題時(shí)可注意應(yīng)用前面小題的結(jié)論1給出下列四個(gè)命題：若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線其中正確的命題共有()a1個(gè) b2個(gè)c3個(gè) d4個(gè)解析：中兩條直線若不相交，則直線與平面不一定垂直；錯(cuò)誤；由線面垂直的定義知正確；由于梯形的兩腰所在直線是相交的，故正確；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則該直線與梯形所在平面不一定垂直，從而不一定垂直于兩腰所在直線，錯(cuò)誤答案：b2經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)作與此平面垂直的平面，則這樣的平面()a只能作一個(gè) b只能作兩個(gè)c可以作無(wú)數(shù)個(gè) d可作一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)解析：當(dāng)兩點(diǎn)所在直線垂直于平面時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)；否則，有且僅有1個(gè)答案：d3如圖，已知pa垂直于abc所在平面，且abc90，連接pb，pc，則圖形中互相垂直的平面有()a一對(duì) b兩對(duì) c三對(duì) d四對(duì)解析：平面pab平面abc；平面pac平面abc；平面pab平面pbc.答案：c4如圖，四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，點(diǎn)e在線段ad