【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 專題三高考中的數(shù)列問題強(qiáng)化訓(xùn)練 理 北師大版(1).DOC

專題三高考中的數(shù)列問題1公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為sn，且3a1，a2，a3成等差數(shù)列，若a11，則s4等于()a20 b0 c7 d40答案a解析記等比數(shù)列an的公比為q，其中q1，依題意有2a23a1a3，2a1q3a1a1q20.即q22q30，(q3)(q1)0，又q1，因此有q3，s420，選a.2等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a5a6a4a718，則log3a1log3a2log3a10等于()a12 b10 c8 d2log35答案b解析等比數(shù)列an中，a5a6a4a7，又因為a5a6a4a718，a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3(a5a6)5log3910.3若正項數(shù)列an滿足lg an11lg an，且a2 001a2 002a2 003a2 0102 013，則a2 011a2 012a2 013a2 020的值為()a2 0131010 b2 0131011c2 0141010 d2 0141011答案a解析由條件知lg an1lg anlg 1，即10，所以an為公比是10的等比數(shù)列因為(a2 001a2 010)q10a2 011a2 020，所以a2 011a2 0202 0131010，選a.4已知數(shù)列an滿足an12222n1，則an的前n項和sn_.答案2n12n解析an12222n12n1，sn(21222n)nn2n12n.5把一數(shù)列依次按第一個括號內(nèi)一個數(shù)，第二個括號內(nèi)兩個數(shù)，第三個括號內(nèi)三個數(shù)，第四個括號內(nèi)一個數(shù)，循環(huán)分為(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為_答案392解析將三個括號作為一組，則由501632，知第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號，即第50個括號中應(yīng)是兩個數(shù)又因為每組中含有6個數(shù)，所以第48個括號的最末一個數(shù)為數(shù)列2n1的第16696項，第50個括號的第一個數(shù)應(yīng)為數(shù)列2n1的第98項，即為2981195，第二個數(shù)為2991197，故第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為195197392.故填392.題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題例1在等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn2an10，證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列nbn的前n項和tn.思維啟迪(1)設(shè)出數(shù)列an的通項公式，結(jié)合已知條件列方程組即可求解；(2)由(1)寫出bn的表達(dá)式，利用定義法證明；(3)寫出tn的表達(dá)式，考慮用錯位相減法求解(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組，解得.所以an12(n1)22n10.(2)證明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，所以4.所以bn是首項為4，公比為4的等比數(shù)列(3)解由nbnn4n，得tn14242n4n，4tn142(n1)4nn4n1，得3tn4424nn4n1n4n1.所以tn.思維升華(1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，若數(shù)列bn是一個公差為d的等差數(shù)列，則abn(a0，a1)就是一個等比數(shù)列，其公比qad；反之，若數(shù)列bn是一個公比為q(q0)的正項等比數(shù)列，則logabn(a0，a1)就是一個等差數(shù)列，其公差dlogaq.數(shù)列an的前n項和為sn，若a12且snsn12n(n2，nn)(1)求sn；(2)是否存在等比數(shù)列bn滿足b1a1，b2a3，b3a9？若存在，求出數(shù)列bn的通項公式；若不存在，說明理由解(1)因為snsn12n，所以有snsn12n對n2，nn成立即an2n對n2，nn成立，又a1s121，所以an2n對nn成立所以an1an2對nn成立，所以an是等差數(shù)列，所以有snnn2n，nn.(2)存在由(1)知，an2n對nn成立，所以有a36，a918，又a12，所以有b12，b26，b318，則3，所以存在以b12為首項，以3為公比的等比數(shù)列bn，其通項公式為bn23n1.題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合問題例2已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項和為sn，點(n，sn)(nn)均在函數(shù)yf(x)的圖像上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得tn對所有nn都成立的最小正整數(shù)m.思維啟迪(1)先求出函數(shù)f(x)，再利用n，sn的關(guān)系求an.(2)可以利用裂項相消法求出tn.通過tn的取值范圍確定最小正整數(shù)m.解(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因為點(n，sn)(nn)均在函數(shù)yf(x)的圖像上，所以sn3n22n.當(dāng)n2時，ansnsn13n22n3(n1)22(n1)6n5；當(dāng)n1時，a1s13122615，所以an6n5(nn)(2)由(1)得bn，故tn(1)()()(1)因此，要使(1)對nn恒成立，則m必須且僅需滿足，即m10.所以滿足要求的最小正整數(shù)為10.思維升華數(shù)列與函數(shù)的綜合一般體現(xiàn)在兩個方面：(1)以數(shù)列的特征量n，an，sn等為坐標(biāo)的點在函數(shù)圖像上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；(2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題已知數(shù)列an的前n項和為sn，對一切正整數(shù)n，點pn(n，sn)都在函數(shù)f(x)x22x的圖像上，且過點pn(n，sn)的切線的斜率為kn.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)qx|xkn，nn，rx|x2an，nn，等差數(shù)列cn的任一項cnqr，其中c1是qr中的最小數(shù)，110c10115，求cn的通項公式解(1)點pn(n，sn)都在函數(shù)f(x)x22x的圖像上，snn22n(nn)當(dāng)n2時，ansnsn12n1，當(dāng)n1時，a1s13滿足上式，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)對f(x)x22x求導(dǎo)可得f(x)2x2.過點pn(n，sn)的切線的斜率為kn，kn2n2，qx|x2n2，nn，rx|x4n2，nnqrr.又cnqr，其中c1是qr中的最小數(shù)，c16，cn的公差是4的倍數(shù)，c104m6(mn)又110c10cn成立思維啟迪(1)先求an，再構(gòu)造等比數(shù)列求bn；(2)不等式cn1cn恒成立，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解(1)由已知，得sn2sn1(sn1sn)1，所以an2an11(n1)又a2a11，所以數(shù)列an是以a12為首項，1為公差的等差數(shù)列所以ann1.又bn124(bn2)，所以bn2是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列所以bn4n2.(2)因為ann1，bn4n2，所以cn4n(1)n12n1.要使cn1cn恒成立，需cn1cn4n14n(1)n2n2(1)n12n10恒成立，即34n3(1)n12n10恒成立所以(1)n12n1恒成立當(dāng)n為奇數(shù)時，即2n1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n1時，2n1有最小值1，所以2n1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n2時，2n1有最大值2.所以2，結(jié)合可知2cn成立思維升華數(shù)列中有關(guān)項或前n項和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；求項或前n項和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解(2013天津)已知首項為的等比數(shù)列an的前n項和為sn(nn)，且2s2，s3,4s4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：sn(nn)(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為2s2，s3,4s4成等差數(shù)列，所以s32s24s4s3，即s4s3s2s4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比數(shù)列an的通項公式為ann1(1)n1.(2)證明由(1)知，sn1n，sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，sn隨n的增大而減小，所以sns1.當(dāng)n為偶數(shù)時，sn隨n的增大而減小，所以sns2.故對于nn，有sn.(時間：80分鐘)1已知數(shù)列an的前n項和為sn，且滿足：an2snsn10(n2，nn)，a1，判斷與an是否為等差數(shù)列，并說明你的理由解因為ansnsn1(n2)，又因為an2snsn10，所以snsn12snsn10(n2)，所以2(n2)，又因為s1a1，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列所以2(n1)22n，故sn.所以當(dāng)n2時，ansnsn1，所以an1，而an1an.所以當(dāng)n2時，an1an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列an不是一個等差數(shù)列綜上，可知是等差數(shù)列，an不是等差數(shù)列2設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bn，記snk，證明：sn1.(1)解由題設(shè)1，即是公差為1的等差數(shù)列，又1，故n.所以an1.(2)證明由(1)得bn，snk1(m25m)對所有的nn恒成立的整數(shù)m的取值集合(1)證明依題意，得a29a110100，故10.當(dāng)n2時，an19sn10，an9sn110，兩式相減得an1an9an，即an110an，10，故an為等比數(shù)列，且ana1qn110n(nn)，lg ann.lg an1lg an(n1)n1，即lg an是等差數(shù)列(2)解由(1)知，tn33(1).(3)解tn3，當(dāng)n1時，tn取最小值.依題意有(m25m)，解得1mm2，m，kn)，使得b1、bm、bk成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的m、k的值；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則snna1d.由已知，得即，解得所以ana1(n1)dn(nn)(2)假設(shè)存在m、k(km2，m，kn)，使得b1、b