高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練（歸納明確考點(diǎn)+課前自測(cè)+教師備選題+誤區(qū)警示+課后實(shí)戰(zhàn)題含詳解及模擬題）《積分與微積分基本定理》理 新人教A版.doc

備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義.1.考查形式多為選擇題或填空題2.考查簡(jiǎn)單定積分的求解如2012年江西t11等3.考查曲邊梯形面積的求解如2012年湖北t3，山東t15，上海t13等4.與幾何概型相結(jié)合考查如2012年福建t6等.歸納知識(shí)整合1定積分(1)定積分的相關(guān)概念在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時(shí)，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(左圖中陰影部分)一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa，xb之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.探究1.若積分變量為t，則f(x)dx與f(t)dt是否相等？提示：相等2一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)唯一嗎？提示：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)則有無窮多個(gè)，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計(jì)算3定積分f(x)g(x)dx(f(x)g(x)的幾何意義是什么？提示：由直線xa，xb和曲線yf(x)，yg(x)所圍成的曲邊梯形的面積2微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且f(x)f(x)，那么f(x)dxf(b)f(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式為了方便，常把f(b)f(a)記成f(x)，即f(x)dxf(x)f(b)f(a)自測(cè)牛刀小試1.dx等于()a2ln 2b2ln 2cln 2 dln 2解析：選ddxln xln 4ln 2ln 2.2(教材習(xí)題改編)一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度和時(shí)間的關(guān)系為v(t)t2t2，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此物體在時(shí)間1,2內(nèi)的位移為()a. b.c. d.解析：選as(t2t2)dt.3(教材習(xí)題改編)直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊梯形的面積為_解析：x2dxx3.答案：4(教材改編題)dx_.解析：由定積分的幾何意義可知，dx表示單位圓x2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，所以dx.答案：5由曲線y，直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析：作出圖象如圖所示解方程組可得交點(diǎn)為a，b，所以陰影部分的面積，dx2ln 2.答案：2ln 2利用微積分基本定理求定積分例1利用微積分基本定理求下列定積分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)x(x1)dx；(4)dx；(5) sin2dx.自主解答(1)(x22x1)dxx2dx2xdx1dxx2x.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)sin x2.(3)x(x1)dx(x2x)dxx2dxxdxx3x2.(4)dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(5) sin2 dxdxdxcos xdxxsin x.求定積分的一般步驟計(jì)算一些簡(jiǎn)單的定積分，解題的步驟是：(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；(4)利用牛頓萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；(5)計(jì)算原始定積分的值1求下列定積分：(1)|x1|dx；(2) dx.解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.利用定積分的幾何意義求定積分例2dx_.自主解答dx表示y與x0，x1及y0所圍成的圖形的面積由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y與x0，x1及y0所圍成的圖形為個(gè)圓，其面積為.dx.在本例中，改變積分上限，求dx的值解：dx表示圓(x1)2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，即半圓的面積，所以dx. 利用幾何意義求定積分的方法(1)當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，定積分很難直接求出時(shí)，可考慮用定積分的幾何意義求定積分(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比較定積分值的大小2(2013福建模擬)已知函數(shù)f(x)(cos tsin t)dt(x0)，則f(x)的最大值為_解析：因?yàn)閒(x)sindtcoscoscos sin xcos x1sin11，當(dāng)且僅當(dāng)sin1時(shí)，等號(hào)成立答案：1利用定積分求平面圖形的面積例3(2012山東高考)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()a.b4c. d6自主解答由y及yx2可得，x4，即兩曲線交于點(diǎn)(4,2)由定積分的幾何意義可知，由y及yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為(x2)dx.答案c若將“yx2”改為“yx2”，將“y軸”改為“x軸”，如何求解？解：如圖所示，由y及yx2可得x1.由定積分的幾何意義可知，由y，yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為f(x)dxdx(x2)dxx. 利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限(3)將“曲邊梯形”的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差(4)計(jì)算定積分，寫出答案3(2013鄭州模擬)如圖，曲線yx2和直線x0，x1，y所圍成的圖形(陰影部分)的面積為()a.b.c.d.解析：選d由x或x(舍)，所以陰影部分面積sdxdx.定積分在物理中的應(yīng)用例4列車以72 km/h的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度a0.4 m/s2，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長(zhǎng)時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)？自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.設(shè)t s后的速度為v，則v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)設(shè)列車由開始制動(dòng)到停止所走過的路程為s，則svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20500.2502500(m)，即列車應(yīng)在進(jìn)站前50 s和進(jìn)站前500 m處開始制動(dòng)1變速直線運(yùn)動(dòng)問題如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程為v(t)dt；如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程為v(t)dt.2變力做功問題物體在變力f(x)的作用下，沿與力f(x)相同方向從xa到xb所做的功為f(x)dx.4一物體在力f(x)(單位：n)的作用下沿與力f(x)相同的方向運(yùn)動(dòng)了4米，力f(x)做功為()a44 jb46 jc48 j d50 j解析：選b力f(x)做功為10dx(3x4)dx10x202646.1個(gè)定理微積分基本定理由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算3條性質(zhì)定積分的性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號(hào)外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行3個(gè)注意定積分的計(jì)算應(yīng)注意的問題(1)若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須分清誰是積分變量；(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限；(3)面積非負(fù)， 而定積分的結(jié)果可以為負(fù). 易誤警示利用定積分求平面圖形的面積的易錯(cuò)點(diǎn)典例(2012上海高考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段abc，其中a(0,0)，b，c(1,0)函數(shù)yxf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_解析由題意可得f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx(10x10x2)dxx3.答案1本題易寫錯(cuò)圖形面積與定積分間的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤2本題易弄錯(cuò)積分上、下限而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)是解析幾何的相關(guān)知識(shí)和運(yùn)算能力不夠致錯(cuò)3解決利用定積分求平面圖形的面積問題時(shí)，應(yīng)處理好以下兩個(gè)問題：(1)熟悉常見曲線，能夠正確作出圖形，求出曲線交點(diǎn)，必要時(shí)能正確分割圖形；(2)準(zhǔn)確確定被積函數(shù)和積分變量1由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()a.b.c.d.解析：選a由得x0或x1，由圖易知封閉圖形的面積(x2x3)dx.2(2012山東高考)設(shè)a0.若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析：由題意dxa2.又，即xa2，即aa2.所以a.答案：一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.dx()aln xln2xb.1c. d.解析：選cdx.2(2012湖北高考)已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()a. b.c. d.解析：選b由題中圖象易知f(x)x21，則所求面積為2(x21)dx2.3設(shè)函數(shù)f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，則x0等于()a1 b.c d2解析：選cf(x)dx(ax2b)dx9a3b，則9a3b3(axb)，即x3，x0.4設(shè)f(x)則f(x)dx()a. b.c. d不存在解析：選c如圖f(x)dxx2dx(2x)dxx3.5以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t秒時(shí)刻的速度v4010t2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為()a. m b. mc. m d. m解析：選av4010t20，t2，(4010t2)dt4028 (m)6(2013青島模擬)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()a. b1c. d.解析：選d結(jié)合函數(shù)圖象可得所求的面積是定積分cos xdxsin x.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7設(shè)asin xdx，則曲線yf(x)xaxax2在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為_解析：asin xdx(cos x)2，yx2x2x2.y2xx2xln 22.曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率ky|x142ln 2.答案：42ln 28在等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1，a4(12x)dx，則該數(shù)列的前5項(xiàng)之和s5等于_解析：a4(12x)dx(xx2)18，因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，故18q3，解得q3，所以s5.答案：9(2013孝感模擬)已知a，則當(dāng)(cos xsin x)dx取最大值時(shí)，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1，a，當(dāng)a時(shí)，sin1取最大值答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10計(jì)算下列定積分：(1) sin2xdx；(2)2dx；(3)e2xdx.解：(1) sin2xdxdx0.(2)2dxdx(24ln 2)ln 3ln 2ln .(3) e2xdxe2xe.11如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值解：拋物線yxx2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積s(xx2)dx.又由此可得，拋物線yxx2與ykx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知s，所以(1k)3，于是k1 1.12如圖，設(shè)點(diǎn)p從原點(diǎn)沿曲線yx2向點(diǎn)a(2,4)移動(dòng)，直線op與曲線yx2圍成圖形的面積為s1，直線op與曲線yx2及直線x2圍成圖形的面積為s2，若s1s2，求點(diǎn)p的坐標(biāo)解：設(shè)直線op的方程為ykx，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，則(kxx2)dx(x2kx)dx，即，解得kx2x32k，解得k，即直線op的方程為yx，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為.1一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其vt曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為_解析：由題圖可知，v(t)因此該物體在 s6 s間運(yùn)動(dòng)的路程為sv(t)dt2tdt2dtdtt22t|(m)答案： m2計(jì)算下列定積分：(1) (3x22x1)dx；(2)dx.解：(1) (3x22x1)dx(x3x2x) 24.(2)dxxdxdxdxx2ln x(e21)(ln eln 1)e2.3求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解：由得交點(diǎn)a(1,1)；由得交點(diǎn)b(3，1)故所求面積sdxdx.4某技術(shù)監(jiān)督局對(duì)一家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)時(shí)，得到了下面的資料：這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律屬于變速直線運(yùn)動(dòng)，且速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式v(t)某公司擬購買一臺(tái)顆粒輸送儀，要求1 min行駛的路程超過7 673 m，問這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀能否被列入擬挑選的對(duì)象之一？解：由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得st2dt(4t60)dt140dtt3(2t260t)140t7 133 (m)2時(shí)，yminf(a)a22.點(diǎn)評(píng)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，要特別注意自變量的取值范圍，同時(shí)還要注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系如本題化為含參數(shù)的二次函數(shù)后，求解最值時(shí)要注意區(qū)分對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系，然后再根據(jù)不同情況分類解決2換元法換元法是指通過引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量，來替換原來的某些變量(或代數(shù)式)，以便使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法在學(xué)習(xí)中，常常使用的換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)最值問題如可用三角換元解決形如a2b21及部分根式函數(shù)形式的最值問題例2設(shè)a，br，a22b26，則ab的最小值是_解析因?yàn)閍，br，a22b26，所以令acos ，bsin ，r.則abcos sin 3sin()，所以ab的最小值是3.答案3點(diǎn)評(píng)在用換元法時(shí)，要特別注意換元后新元的取值范圍如本題換元后中間變量r，這是由條件a，br得到的3不等式法利用不等式法求解函數(shù)最值，主要是指運(yùn)用基本不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法常常使用的基本不等式有以下幾種：a2b22ab(a，b為實(shí)數(shù))，(a0，b0)，ab2(a，b為實(shí)數(shù))例3函數(shù)f(x)(0xt4,00)上的最小值為_解析因?yàn)閒(x)ln x1，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)0tt2時(shí)，t無解；當(dāng)0tt2，即0t時(shí)，f(x)minf；當(dāng)tt2，即t時(shí)，f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，f(x)minf(t)tln t.所以f(x)min答案f(x)min點(diǎn)評(píng)本題是函數(shù)在不定區(qū)間上的最值問題，因此區(qū)間的位置要全部考慮到，不要遺漏5導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上的最大值和最小值應(yīng)為f(x)在(a，b)內(nèi)的各極值與f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用這種方法求函數(shù)最值的方法就是導(dǎo)數(shù)法例5函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值，最小值分別是_，_.解析因?yàn)閒(x)3x23，所以令f(x)0，得x1(舍正)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，易得，f(x)的最大值為3，最小值為17.答案317點(diǎn)評(píng)(1)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的三個(gè)步驟：一是求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，二是求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)，三是比較上述極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小，即得函數(shù)的最值(2)函數(shù)的最大值點(diǎn)及最小值點(diǎn)必在以下各點(diǎn)中取得，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)6數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用的方法這種方法借助幾何意義，以形助數(shù)，不僅可以簡(jiǎn)捷地解決問題，還可以避免諸多失誤，是我們開闊思路、正確解題、提高能力的一種重要途徑例6對(duì)a，br，記max|a，b|函數(shù)f(x)max|x1|，|x2|(xr)的最小值是_解析由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其圖象如圖所示由圖形，易知當(dāng)x時(shí)，函數(shù)有最小值，所以f(x)minf.答案點(diǎn)評(píng)用數(shù)形結(jié)合的方法求解函數(shù)最值問題，其關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件中所隱含的幾何意義，利用這個(gè)幾何意義，就可以畫出圖形，從而借助圖形直觀地解決問題如將本題化為分段函數(shù)的最值問題后，可以用分段求解函數(shù)最值的方法去解二、巧用數(shù)形結(jié)合妙解3類求參數(shù)問題數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，既要分析問題的代數(shù)含義，又要揭示其幾何意義，把“數(shù)”與“形”巧妙地結(jié)合起來，并利用“結(jié)合”尋找解題的思路，使問題得到圓滿解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來解決問題的一種重要思想方法通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，充分利用形的直觀性和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性來思考問題，拓展了思路，這就是數(shù)形結(jié)合的核心價(jià)值通過以下三個(gè)方面體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用1通過基本函數(shù)模型及變式的圖象求參數(shù)的取值范圍或值例1已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()a(1,10)b(5,6)c(10,12) d(20,24)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，再畫出直線yd(0d1)，如圖所示，直觀上知0a1,1b10,10c12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，從而得ab1，則10abc12.答案c點(diǎn)評(píng)通過圖形可以發(fā)現(xiàn)a，b，c所在的區(qū)間，再把絕對(duì)值符號(hào)去掉，就能發(fā)現(xiàn)ab1，這樣利用數(shù)形結(jié)合就可把問題化難為易了2.通過函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的相互關(guān)系求函數(shù)零點(diǎn)和方程的解及參數(shù)的范圍例2已知mr，函數(shù)f(x)x22(m21)x7，g(x)(2m2m2)xm.(1)設(shè)函數(shù)p(x)f(x)g(x)如果p(x)0在區(qū)間(1,5)內(nèi)有解但無重根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)h(x)是否存在m，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，總存在唯一非零實(shí)數(shù)b(ba)，使得h(a)h(b)成立？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)因?yàn)?