【步步高】高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案 理 新人教A版 .doc

學(xué)案12函數(shù)模型及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.2.了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用自主梳理1三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，) 上的單調(diào)性增長(zhǎng)速度圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨n值變化而不同2.三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較(1)指數(shù)函數(shù)yax (a1)與冪函數(shù)yxn (n0)在區(qū)間(0，)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會(huì)小于xn，但由于yax的增長(zhǎng)速度_yxn的增長(zhǎng)速度，因而總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)有_(2)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)與冪函數(shù)yxn (n0)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì)_yxn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xx0時(shí)有_由(1)(2)可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在(0，)上，總會(huì)存在一個(gè)x0，使xx0時(shí)有_3函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例的基本題型(1)給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決問(wèn)題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題4函數(shù)建模的基本程序自我檢測(cè)1下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是()avexbv100ln xcvx100dv1002x2某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為l15.06x0.15x2和l22x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為()a45.606b45.6c45.56d45.513(2010陜西)某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為()aybycydy4(2011湘潭月考)某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量c與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖象正確的是()5一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09 mg/ml，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)_小時(shí)，才能開(kāi)車？(精確到1小時(shí))探究點(diǎn)一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型例1(2011陽(yáng)江模擬)某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y48x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？變式遷移1某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí)，可全部租出當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時(shí)，能租出多少輛車？(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？探究點(diǎn)二分段函數(shù)模型例2據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于m地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線段oc上一點(diǎn)t(t,0)作橫軸的垂線l，梯形oabc在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò)的路程s(km)(1)當(dāng)t4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)；(3)若n城位于m地正南方向，且距m地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到n城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到n城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由變式遷移2某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過(guò)4噸時(shí)，每噸為1.80元，當(dāng)用水超過(guò)4噸時(shí)，超過(guò)部分每噸3.00元某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi)探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)模型例3諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加假設(shè)基金平均年利率為r6.24%.資料顯示：1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額約為19 800萬(wàn)美元設(shè)f(x)表示第x(xn*)年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，依次類推)(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬(wàn)美元”是否為真，并說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：1.031 291.32)變式遷移3(2011商丘模擬)現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過(guò)1010個(gè)？(參考數(shù)據(jù)：lg 30.477，lg 20.301)1解答應(yīng)用問(wèn)題的程序概括為“四步八字”，即(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義2考查函數(shù)模型的知識(shí)表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)利用函數(shù)模型的單調(diào)性比較數(shù)的大??；(2)比較幾種函數(shù)圖象的變化規(guī)律，證明不等式或求解不等式；(3)函數(shù)性質(zhì)與圖象相結(jié)合，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解答一些綜合問(wèn)題 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是() x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61a.y2xbylog2xcy(x21)dy2.61cos x2擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)f(m)1.06(0.5m1)(單位：元)，其中m0，m表示不大于m的最大整數(shù)(如3.72)3，44)，當(dāng)m0.5,3.1時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是()a1.06,2.12,3.18,4.24b1.06,1.59,2.12,2.65c1.06,1.59,2.12,2.65,3.18d1.59,2.12,2.653(2011秦皇島模擬)某商店出售a、b兩種價(jià)格不同的商品，由于商品a連續(xù)兩次提價(jià)20%，同時(shí)商品b連續(xù)兩次降價(jià)20%，結(jié)果都以每件23元售出，若商店同時(shí)售出這兩種商品各一件，則與價(jià)格不升不降時(shí)的情況比較，商店盈利情況是 ()a多賺約6元b少賺約6元c多賺約2元d盈利相同4國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過(guò)800元的不納稅；超過(guò)800元而不超過(guò)4 000元的按超過(guò)800元部分的14%納稅；超過(guò)4 000元的按全部稿酬的11%納稅已知某人出版一本書，共納稅420元，這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為()a4 000元b3 800元c4 200元d3 600元5(2011滄州月考)生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為c(x)x22x20(萬(wàn)元)一萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為 ()a18萬(wàn)件b20萬(wàn)件c16萬(wàn)件d8萬(wàn)件題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長(zhǎng)率為b,2009年產(chǎn)生的垃圾量為a t，由此預(yù)測(cè)，該區(qū)下一年的垃圾量為_(kāi)t,2014年的垃圾量為_(kāi)t.7(2010金華十校3月聯(lián)考)有一批材料可以建成200 m長(zhǎng)的圍墻，如果用此批材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成場(chǎng)地的最大面積為_(kāi)(圍墻的厚度不計(jì))8已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝，其包裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如下表所示：型號(hào)小包裝大包裝重量100克300克包裝費(fèi)0.5元0.7元銷售價(jià)格3.00元8.4元?jiǎng)t下列說(shuō)法中正確的是_(填序號(hào))買小包裝實(shí)惠；買大包裝實(shí)惠；賣3小包比賣1大包盈利多；賣1大包比賣3小包盈利多三、解答題(共38分)9(12分)(2010湖南師大附中仿真)設(shè)某企業(yè)每月生產(chǎn)電機(jī)x臺(tái)，根據(jù)企業(yè)月度報(bào)表知，每月總產(chǎn)值m(萬(wàn)元)與總支出n(萬(wàn)元)近似地滿足下列關(guān)系：mx，nx25x，當(dāng)mn0時(shí)，稱不虧損企業(yè)；當(dāng)mnxn(2)慢于logaxxnlogax自我檢測(cè)1a由e2，知當(dāng)x增大時(shí)，ex增大更快2b依題意，可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15x)輛，總利潤(rùn)s5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 (x0)當(dāng)x10時(shí)，smax45.6(萬(wàn)元)3b每10個(gè)人可以推選1個(gè)，(xmod 10)6可以再推選一個(gè)，即如果余數(shù)(xmod 10)7相當(dāng)于給x多加了3，所以可以多一個(gè)10出來(lái)4a55解析設(shè)x小時(shí)后，血液中的酒精含量不超過(guò)0.09 mg/ml，則有0.3x0.09，即x0.3.估算或取對(duì)數(shù)計(jì)算，得5小時(shí)后，可以開(kāi)車課堂活動(dòng)區(qū)例1解(1)每噸平均成本為(萬(wàn)元)則4824832，當(dāng)且僅當(dāng)，即x200時(shí)取等號(hào)年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬(wàn)元(2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為r(x)萬(wàn)元，則r(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680(0x210)r(x)在0,210上是增函數(shù)，x210時(shí)，r(x)有最大值為(210220)21 6801 660.年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1 660萬(wàn)元變式遷移1解(1)租金增加了600元，所以未租出的車有12輛，一共租出了88輛(2)設(shè)每輛車的月租金為x元(x3 000)，租賃公司的月收益為y元，則yx50150162x21 000(x4 050)2307 050，當(dāng)x4 050時(shí)，ymax307 050.答當(dāng)每輛車月租金定為4 050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大為307 050.例2解(1)由圖象可知：當(dāng)t4時(shí)，v3412(km/h)，s41224(km)(2)當(dāng)0t10時(shí)，st3tt2，當(dāng)10t20時(shí)，s103030(t10)30t150；當(dāng)20t35時(shí)，s10301030(t20)30(t20)2(t20)t270t550.綜上，可知s(3)t0,10時(shí)，smax102150650，t(10,20時(shí)，smax3020150450650，當(dāng)t(20,35時(shí)，令t270t550650.解得t130，t240.204時(shí)，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過(guò)4噸，即3x4時(shí)，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，yf26.4；當(dāng)x時(shí)，yf1010，得()x108，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得xlg8，x，45.45，x45.45.答經(jīng)過(guò)46小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)超過(guò)1010個(gè)課后練習(xí)區(qū)1b通過(guò)檢驗(yàn)可知，ylog2x較為接近2b當(dāng)0.5m1時(shí)，m0，f(m)1.06；當(dāng)1m2時(shí)，m1，f(m)1.59；當(dāng)2m3時(shí)，m2，f(m)2.12；當(dāng)3m3.1時(shí)，m3，f(m)2.65.3b設(shè)a、b兩種商品的原價(jià)為a、b，則a(120%)2b(120%)223a，b，ab466元4b設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意，得y如果稿費(fèi)為4 000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費(fèi)應(yīng)在8004 000元之間，(x800)14%420，x3 800.5a利潤(rùn)l(x)20xc(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，l(x)有最大值6a(1b)a(1b)5解析由于2009年的垃圾量為a t，年增長(zhǎng)率為b，故下一年的垃圾量為aaba(1b) t，同理可知2011年的垃圾量為a(1b)2t，2014年的垃圾量為a(1b)5 t.72 500 m2解析設(shè)所圍場(chǎng)地的長(zhǎng)為x，則寬為，其中0x0，所以x4.故企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)4臺(tái)電機(jī)(6分)(2)若企業(yè)虧損最嚴(yán)重，則nm取最大值因?yàn)閚mx25xx(x1)2.(9分)所以當(dāng)x1時(shí)，nm取最大值，此時(shí)m.故當(dāng)月總產(chǎn)值為萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)虧損最嚴(yán)重，最大虧損額為萬(wàn)元(12分)10解設(shè)樓房