2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)函數(shù)與基本初等函數(shù)I2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)理.docx

第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)I 2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 理 1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)0.2冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性(2)冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函數(shù)yax2bxc，xR不可能是偶函數(shù)()(3)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大小()(4)函數(shù)是冪函數(shù)()(5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)()(6)當(dāng)nbc且abc0，則它的圖象可能是()答案D解析由abc0和abc知a0，c0，由c0，排除C.3冪函數(shù)(aZ)為偶函數(shù)，且f(x)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，則a等于()A3 B4 C5 D6答案C解析因?yàn)閍210a23(a5)22，(aZ)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，所以(a5)220，從而a4,5,6，又(a5)22為偶數(shù)，所以只能是a5，故選C.4已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_(kāi)答案1,2解析如圖，由圖象可知m的取值范圍是1,25(教材改編)已知冪函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為_(kāi)；在區(qū)間_上遞減答案(0，)解析設(shè)f(x)xa，則2a，a，即冪函數(shù)的解析式為，單調(diào)減區(qū)間為(0，)題型一求二次函數(shù)的解析式例1(1)(2016太原模擬)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(2,0)且有最小值1，則f(x)_.答案x22x解析設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)對(duì)任意xR恒成立，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，f(x)0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，3a3，a1，所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.思維升華求二次函數(shù)解析式的方法(1)已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a，bR)，xR，若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)0，則f(x)_.(2)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，a()，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域?yàn)?，4，2a24，故f(x)2x24.題型二二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的單調(diào)性例2函數(shù)f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x1在1，)上遞減，滿(mǎn)足條件當(dāng)a0時(shí)，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3,0引申探究若函數(shù)f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間是1，)，則a_.答案3解析由題意知a0時(shí)，f(x)ax22x的圖象開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為x.當(dāng)01，即0a1時(shí)，f(x)ax22x的對(duì)稱(chēng)軸在0,1的右側(cè)，f(x)在0,1上單調(diào)遞減f(x)minf(1)a2.(3)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ax22x的圖象開(kāi)口向下且對(duì)稱(chēng)軸x2xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案(1)(，1)(2)解析(1)f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)(2)2ax22x30在1,1上恒成立當(dāng)x0時(shí)，30，成立；當(dāng)x0時(shí)，a2，因?yàn)?，11，)，當(dāng)x1時(shí)，右邊取最小值，所以a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .思維升華(1)二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想即可完成(2)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個(gè)思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.(1)設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對(duì)于滿(mǎn)足1x0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案解析由題意得a對(duì)1x4恒成立，又22，.(2)已知函數(shù)f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值解函數(shù)f(x)x22x(x1)21，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論，當(dāng)21時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值，即f(x)min1.綜上，當(dāng)21時(shí)，f(x)min1.題型三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例5(1)(2016濟(jì)南診斷測(cè)試)已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過(guò)點(diǎn)，則k等于()A. B1 C. D2(2)若則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C(1,2) D.答案(1)C(2)D解析(1)由冪函數(shù)的定義知k1.又f，所以，解得，從而k.(2)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，)且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1m2m1，得1m2，綜上所述，m的取值范圍是m2.思維升華(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(2016昆明模擬)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，若0ab1，則下列各式正確的是()Af(a)f(b)f()f()Bf()f()f(b)f(a)Cf(a)f(b)f()f()Df()f(a)f()f(b)答案C解析設(shè)冪函數(shù)為f(x)x，將(4,2)代入得，所以該函數(shù)在(0，)上為增函數(shù)，又0ab1，即ab，所以f(a)f(b)f()0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，最大值為f(2)8a14，解得a；6分(3)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，最大值為f(1)1a4，解得a3.9分綜上可知，a的值為或3.10分1函數(shù)f(x)2x2mx3，當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x(，2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為()A3 B13 C7 D5答案B解析函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x2對(duì)稱(chēng)，m8，f(1)28313.2冪函數(shù)(mZ)的圖象如圖所示，則m的值為()A0 B1 C2 D3答案C解析(mZ)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，m24m0，即0m4.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且mZ，m24m為偶數(shù)，因此m2.3已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函數(shù)，若f(a)f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A0，) B(，0C0,4 D(，04，)答案C解析由題意可知函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x2(如圖)，若f(a)f(0)，從圖象觀察可知0a4.4若函數(shù)yx23x4的定義域?yàn)?，m，值域?yàn)椋?，則m的取值范圍是()A0,4 B，4C，) D，3答案D解析二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x且f()，f(3)f(0)4，由圖得m，35若函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0,2上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于()A1 B1C2 D2答案B解析函數(shù)f(x)x2axa的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.6已知二次函數(shù)f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2)D與a值有關(guān)答案C解析該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x，又依題意，得x10，又x1x20，則x1x2，故f(x1)f(x2)7(2016煙臺(tái)模擬)已知冪函數(shù)，若f(a1)f(102a)，則a的取值范圍為_(kāi)答案(3,5)解析冪函數(shù)單調(diào)遞減，定義域?yàn)?0，)，由f(a1)f(102a)，得解得3a5.8當(dāng)0xg(x)f(x)解析如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知，h(x)g(x)f(x)9當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_答案(，5解析方法一不等式x2mx40對(duì)x(1,2)恒成立，mxx24對(duì)x(1,2)恒成立，即m(x)對(duì)x(1,2)恒成立，令yx，則函數(shù)yx在x(1,2)上是減函數(shù)4y5，5(x)4，m5.方法二設(shè)f(x)x2mx4，當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)1，即a2時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)01，即0a2時(shí)，符合題意；當(dāng)0，即af(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)因?yàn)閙2mm(m1)(mN*)，而m與m1中必有一個(gè)為偶數(shù)，所以m2m為偶數(shù)，所以函數(shù)(mN*)的定義域?yàn)?，)，并且該函數(shù)在0，)上為增函數(shù)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，所以即所以m2m2，解得m1或m2.又因?yàn)閙N*，所以m1，又因?yàn)閒(2a)f(a1)，所以解得1a，故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)時(shí)，m1.