定積分及其應(yīng)用 文獻(xiàn)綜述.doc

咸陽師范學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))文獻(xiàn)綜述題目：定積分及其應(yīng)用 學(xué)生姓名：馬永升 系 別：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級：2008級 學(xué) 號：0806014322 本(專) 科：本科 指導(dǎo)教師：李艷艷定積分及其應(yīng)用摘要：定積分在幾何、物理、初等數(shù)學(xué)以及在其他方面的應(yīng)用。討論了應(yīng)用定積分在圖形面積、立體圖形體積、求數(shù)列極限、求變速直線運(yùn)動的路程、求變力所做的功的方法。關(guān)鍵詞：定積分；幾何；物理；初等數(shù)學(xué) 極限是數(shù)學(xué)分析的一個重要概念，若有數(shù)列是某個可積函數(shù)特殊的一列積分和，那么計(jì)算此數(shù)列的極限科以轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分，這是計(jì)算這類數(shù)列極限的一個簡便、有效的方法。例如：求的值。解 = （1） 式是函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間a,b上的一個積分和，它是把0,1分成n等份。i取的左端點(diǎn)（即i=）構(gòu)成的積分和，由定積分定義可得 = 許多教師在講此內(nèi)容時將例題一帶而過，導(dǎo)致大部分學(xué)生做習(xí)題不知從何下手，基礎(chǔ)較好的學(xué)生也只是模仿例題，但對該方法理解不深。一 定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1利用定積分求平面圖形的面積。一般地，有上、下兩條連續(xù)曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b（ab）所圍的平面圖形如圖（1）所示，它的面積計(jì)算公式為xyY=f2(x)Y=f1(x)abo A=。 （1） (1)設(shè)曲線C有參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t (2)給出，在上y(t)連續(xù)可微且(t)0（對于y(t)連續(xù)可微且0的情形可類似討論）。記a=x(ab或b0，ax3a)所圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積是多少？如圖2，斜線區(qū)域即為題意所指的區(qū)域, 根據(jù)旋轉(zhuǎn)體體積的求法，可將區(qū)域OPQB的旋轉(zhuǎn)體積減去區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積，即為所求 解：我們首先來求區(qū)域APQB的旋轉(zhuǎn)體積：=|=4a而區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積為一個圓柱的體積，其半徑為a，高為2a，故應(yīng)為：所以區(qū)域PCQ的旋轉(zhuǎn)體積為（3）二 定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理學(xué)中應(yīng)用,可以說是定積分最重要的應(yīng)用之一,正是由于微積分的發(fā)展,使得物理學(xué)中精確測量,計(jì)算成為可能,從而使物理學(xué)得到長足的發(fā)展, 定積分的應(yīng)用主要是在力學(xué)中例如:有一個方向恒定的變力F對一個物體做功,若這個變力對物體的作用距離為S ， F為S的函數(shù)F=f(s),則有變力F所做的功為 (其中a,b為變力F的起始與末尾值)例5 質(zhì)量為m的擺錘系于繩的下端,繩長為,上端固定如圖(4)所示,一水平變力F從零逐漸增大緩慢的作用在（4）擺錘上,使擺錘雖力F在移動,但在所有時間內(nèi)均無限地接近力平衡,一直到繩子與豎直直線成角的位置，試計(jì)算變力F所做的功。解； 由題意得，在任意位置上（由角位置表示），擺錘無限的接近于力平衡，所以可由擺錘所受合力極近于零作計(jì)算。在水平方向與豎直方向分別有： 式中T是擺錘所受繩的拉力，于是有 當(dāng)擺錘在位置上沿圓弧作微小位移時，力所做的微功為將 代入，得：所以在擺錘從初始位置（=0）到位置（=0）的過程中，F(xiàn)力對擺錘所作的總功是： 作變速直線運(yùn)動的物體在時間區(qū)間上所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的積分，即。例6已知一輛汽車的速度時間的函數(shù)關(guān)系為：（單位：）求（1）汽車行駛的路程；（2）汽車行駛的路程；（3）汽車行駛的路程.解 （1）S1=；（2）S2=S1+30*30+=100+900+=100+900+(1875+4500+12003600)=1225; (3) ；1、定積分在數(shù)學(xué)應(yīng)用的現(xiàn)狀：對定積分在幾何應(yīng)用中的探索，使定積分理論在實(shí)際問題中得以應(yīng)用，在幾何學(xué)中許多幾何問題都可以用定積分來解決.通過利用定積分微元法，展示定積分式應(yīng)用的簡便性與技巧性本文所參考的文獻(xiàn)包括高等教育出版社出版的數(shù)學(xué)分析上下冊，和高等數(shù)學(xué)上下冊.目前的這兩種教材在某些地方還不是很完善.例如在利用定積分求平面圖形面積的時候，有的公式?jīng)]有直接給出，僅僅是通通過例題體現(xiàn)的.而有的公式雖然給出了，但是容易和其他的公式混淆，書上沒有明確說明它們的區(qū)別，怎么用及為什么.而我所參考的高等數(shù)學(xué)同步精講上冊正好補(bǔ)充了教材的不足之處.方便了以后的學(xué)習(xí)和研究.2、主要研究成果：應(yīng)用定積分及微元思想解決了很多幾何方面的問題.幾何問題在實(shí)際生活中無處不在,而且相當(dāng)一部分的幾何問題是復(fù)雜的，我們用一般的方法很難解決.例如求解一些不規(guī)則的圖形面積等.利用定積分微元法能直觀且方便的解決問題.我所參考的文獻(xiàn)高等數(shù)學(xué)同步精講上冊結(jié)合目前所學(xué)的數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)教材基本上給出了定積分在幾何應(yīng)用中的所有一些情況及解法.3、發(fā)展趨勢：定積分在求解幾何問題中有很廣泛的應(yīng)用.有時遇到某些較難的幾何問題時運(yùn)用定積分的微元思想是很方便的.目前一些教材中要求學(xué)生理解并掌握定積分微元思想方法，即“分割、近似代替、求和、取極限”，并會用定積分求一些平面圖形的面積；同時“理解定積分微元思想方法”也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與重點(diǎn)所在.說它為重點(diǎn)是因?yàn)樗幍臍v史地位和它應(yīng)用的廣泛性所決定的；說它是難點(diǎn)主要是因?yàn)檫@種思想方法不同于前面學(xué)習(xí)過的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等基本的思想方法，在學(xué)生的頭腦中并沒有與之相聯(lián)系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，只有將頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)加以改組和順應(yīng)；同時，從歷史上看，人類從對微積分的認(rèn)識到掌握微積分理論，經(jīng)過了千年歷史，所以在短短幾節(jié)課內(nèi)達(dá)到深刻理解這種思想方法，的確是不容易的，所以，它一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在4、存在問題：目前一些通用教材的“定積分的應(yīng)用”主要內(nèi)容是在幾何學(xué)和物理學(xué)上的應(yīng)用.定積分在幾何學(xué)的應(yīng)用中一直存在著一個問題,它在教與學(xué)兩個方面都容易出現(xiàn)錯誤.例如定積分在求平面圖形面積中的應(yīng)用時常常會發(fā)生選取公式的錯誤.所以在解決實(shí)際問題時應(yīng)該具體問題具體分析,不能直接套用某個公式,這樣才會順利的解決問題.