泰勒公式的物理意義.doc

泰勒公式下面的圖形在0點(diǎn)附近多么相似：泰勒公式的由來：下面對教科書中為什么不使用n次羅比達(dá)法則進(jìn)行說明：令rx= f0a0+ f0a1+f0a2+ +fn0an-f(x)其中an= xnn!求 時(shí)使用羅比達(dá)法則，分子分母求n次導(dǎo)得limx0r(x)xn= limx0fn0-fn(x)n!問題是f(x)在0點(diǎn)處是不是n階可導(dǎo)并連續(xù)。如果連續(xù)那么上式的極限存在并為0，如果不連續(xù)那么不可以用這種方法求出這個(gè)極限。教科書上都利用到n-1次羅比達(dá)法則，最后利用n次可導(dǎo)。物理意義：可以想象函數(shù)f(t)表達(dá)了物體的位移(從青島開往北京的火車?)假設(shè)知道了初始位移 s0初始速度 v初始加速度 a那么多項(xiàng)式pt= s0+vt+ at22!p(t)與f(t)至少在初始位置，位移、速度、加速度都一樣，未來呢？火車f(t)駛過家門，只捕捉到了它的一瞬間，之后只能猜測它是以p(t)運(yùn)行了拉格朗日余項(xiàng)有了上面的物理意義，我們就可以這樣分析泰勒公式在t0時(shí)刻采樣f(t)的位移、速度、加速度我們用p(t)用同樣的位移、速度、加速度來復(fù)現(xiàn)f(t)的運(yùn)動(dòng)直到t1時(shí)刻。那么p(t1)與f(t1)相比，位移相差多少？在不同的采樣點(diǎn)t0采樣，并估算出t1時(shí)刻的位移，將于實(shí)際的位移f(t1)存在偏差，設(shè)為r(t0)。可以想象t0離t1時(shí)刻越近就越準(zhǔn)確。r(t0)對t0求變化率，就能得到采樣點(diǎn)不同對結(jié)果有什么影響：dr()dt0=-fn+1n!(t1-t0)n其中(t0, t1)當(dāng)采樣點(diǎn)變動(dòng)時(shí)，由于f(n)(t0)都被采樣了，將不對偏差有任何影響，而是更高形式的運(yùn)動(dòng)f(n+1)(t0)造成的影響。詳細(xì)的推導(dǎo)可以參考數(shù)學(xué)分析的教材！各種運(yùn)動(dòng)形式的曲線單位速度f(t) = t單位加速度ft= t22! 見下圖圖中可以發(fā)現(xiàn)，越高級的運(yùn)動(dòng)形式在短時(shí)間不會(huì)有很大的作用，不過時(shí)間長了影響會(huì)非常劇烈。拉格朗日余項(xiàng)的物理解釋這里先把公式清楚的寫出來:ft= ft0+ ft0t-t0+ + fnt0n!(t-t0)n+fn+1(n+1)!(t-t0)n 左側(cè)f(t)是本來的運(yùn)動(dòng)右側(cè)ft0+ ft0t-t0+ + fnt0n!(t-t0)n是估計(jì)的運(yùn)動(dòng)二者在t時(shí)刻的位移相差fn+1n+1!(t-t0)n+1 ，這是我們忽略的更高層次的運(yùn)動(dòng)形式例如：f(t) = 1 + tp(t) = 1位移偏差的原因是由速度引起的，因?yàn)閜(t)沒有考慮速度的因素ft= 1+t+ t22!p(t) = 1 + t位移產(chǎn)生的偏差是由加速度引起的，因?yàn)閜(t)并沒有考慮加速度更進(jìn)一步如果采樣點(diǎn)變多，逼近多項(xiàng)式p(