高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 5.4 數(shù)列求和課件.ppt

第五章數(shù)列 5 4數(shù)列求和 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 審題路線圖系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法 1 公式法 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式sn 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 當(dāng)q 1時 sn 當(dāng)q 1時 sn na1 知識梳理 1 答案 2 分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng) 使其轉(zhuǎn)化為幾個等差 等比數(shù)列 再求解 3 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和 正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng) 常見的裂項(xiàng)公式 4 倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加 即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣 5 錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和 即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣 6 并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中 可兩兩結(jié)合求解 則稱之為并項(xiàng)求和 形如an 1 nf n 類型 可采用兩項(xiàng)合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 思考辨析 答案 答案 b 考點(diǎn)自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 c 解析答案 1 2 3 4 5 b 解析答案 1 2 3 4 5 4 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 2n 1 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)sn 2n 1 2 n2 解析答案 1 2 3 4 5 1008 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 解當(dāng)n 1時 a1 s1 1 a1也滿足an n 故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n 分組轉(zhuǎn)化法求和 題型一 解析答案 2 設(shè)bn 1 nan 求數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和 解由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 記數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和為t2n 則t2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 記a 21 22 22n b 1 2 3 4 2n b 1 2 3 4 2n 1 2n n 故數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和t2n a b 22n 1 n 2 解析答案 例1 2 中 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn 引申探究 解析答案 思維升華 解由 1 知bn 2n 1 n n 當(dāng)n為偶數(shù)時 tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 思維升華 某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差 從而求得原數(shù)列的和 這就要通過對數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究 將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化 特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論 思維升華 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n項(xiàng)和sn 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以當(dāng)n為偶數(shù)時 當(dāng)n為奇數(shù)時 例2 2015 湖北 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 前n項(xiàng)和為sn 等比數(shù)列 bn 的公比為q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求數(shù)列 an bn 的通項(xiàng)公式 錯位相減法求和 題型二 解析答案 解析答案 思維升華 用錯位相減法求和時 應(yīng)注意 1 要善于識別題目類型 特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形 2 在寫出 sn 與 qsn 的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式 錯項(xiàng)對齊 以便下一步準(zhǔn)確寫出 sn qsn 的表達(dá)式 3 在應(yīng)用錯位相減法求和時 若等比數(shù)列的公比為參數(shù) 應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 思維升華 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 an an 1 an an 1 2 0 an an 1 0 an an 1 2 n 2 數(shù)列 an 是以3為首項(xiàng) 2為公差的等差數(shù)列 an 3 2 n 1 2n 1 2 已知bn 2n 求tn a1b1 a2b2 anbn的值 解tn 3 21 5 22 2n 1 2n 2tn 3 22 5 23 2n 1 2n 2n 1 2n 1 得tn 3 21 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 6 8 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 解析答案 裂項(xiàng)相消法求和 題型三 解析答案 即a1 3或2 又an為正數(shù) 所以a1 2 解由題意知 令n 1 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 sn 3 sn n2 n 0 則sn n2 n或sn 3 又?jǐn)?shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) 所以sn n2 n sn 1 n 1 2 n 1 所以當(dāng)n 2時 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 所以an 2n 解析答案 解析答案 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 即2sn 1sn sn 1 sn 由題意得sn 1 sn 0 解析答案 返回 審題路線圖系列 審題路線圖系列 四審結(jié)構(gòu)定方案 審題路線圖 解析答案 返回 溫馨提醒 審題路線圖 審題路線圖 解析答案 當(dāng)n 1時 上式也成立 規(guī)范解答 解析答案 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 思想方法感悟提高 非等差 等比數(shù)列的一般數(shù)列求和 主要有兩種思想 1 轉(zhuǎn)化的思想 即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列 這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯位相消來完成 2 不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列 往往通過裂項(xiàng)相消法 錯位相減法 倒序相加法 并項(xiàng)法 數(shù)列的周期性等來求和 方法與技巧 1 直接應(yīng)用公式求和時 要注意公式的應(yīng)用范圍 如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù) 字母 時 應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行討論 2 在應(yīng)用錯位相減法時 注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號 結(jié)論中形如an an 1的式子應(yīng)進(jìn)行合并 3 在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時 要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對稱性 即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng) 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知 an 為等差數(shù)列 其公差為 2 且a7是a3與a9的等比中項(xiàng) sn為 an 的前n項(xiàng)和 n n 則s10的值為 a 110b 90c 90d 110 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知函數(shù)f n n2cos n 且an f n f n 1 則a1 a2 a3 a100等于 a 100b 0c 100d 10200 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析若n為偶數(shù) 則an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首項(xiàng)為a2 5 公差為 4的等差數(shù)列 若n為奇數(shù) 則an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首項(xiàng)為a1 3 公差為4的等差數(shù)列 答案a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 數(shù)列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 則數(shù)列 an 前12項(xiàng)和等于 a 76b 78c 80d 82解析由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1 an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 結(jié)果相加可得s12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 故選b b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 故選b b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 在等差數(shù)列 an 中 a1 0 a10 a11 0 若此數(shù)列的前10項(xiàng)和s10 36 前18項(xiàng)和s18 12 則數(shù)列 an 的前18項(xiàng)和t18的值是 解析由a1 0 a10 a11 0可知d 0 a10 0 a11 0 t18 a1 a10 a11 a18 s10 s18 s10 60 60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 整數(shù)數(shù)列 an 滿足an 2 an 1 an n n 若此數(shù)列的前800項(xiàng)的和是2013 前813項(xiàng)的和是2000 則其前2015項(xiàng)的和為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由an 2 an 1 an 得an 2 an an 1 an an 1 易得該數(shù)列是周期為6的數(shù)列 且an 2 an 1 0 s800 a1 a2 2013 s813 a1 a2 a3 2000 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此可知an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 0 s2015 s5 13 答案 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知數(shù)列 an 中 a1 3 a2 5 且 an 1 是等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解 an 1 是等比數(shù)列且a1 1 2 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若bn nan 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解bn nan n 2n n 故tn b1 b2 b3 bn 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 令t 2 2 22 3 23 n 2n 則2t 22 2 23 3 24 n 2n 1 兩式相減 得 t 2 22 23 2n n 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t 2 1 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an 是正項(xiàng)數(shù)列 所以sn 1 0 所以sn n2 n n n n 2時 an sn sn 1 2n n 1時 a1 s1 2適合上式 所以an 2n n n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 證明由an 2n n n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知數(shù)列2008 2009 1 2008 2009 這個數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和 則這個數(shù)列的前2014項(xiàng)之和s2014等于 a 2008b 2010c 1d 0解析由已知得an an 1 an 1 n 2 an 1 an an 1 故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2008 2009 1 2008 2009 1 2008 2009 由此可知數(shù)列為周期數(shù)列 周期為6 且s6 0 2014 6 335 4 s2014 s4 2008 2009 1 2008 2010 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當(dāng)n 17時 an 0 從而b1 b2 b14 0 b17 b18 b15 a15a16a17 0 b16 a16a17a18 0 故s14 s13 s1 s14 s15 s15 s16 s16 s17 s18 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以b15 b16 a16a17 a15 a18 0 所以s16 s14 故當(dāng)sn取得最大值時n 16 答案16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又an 0 2an 1 anan 1 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7