高中數學第二章平面向量2.3從速度的倍數到數乘向量學案北師大版.docx

2.3 從速度的倍數到數乘向量知識梳理1.向量數乘（1）定義：一般地，實數與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作a.a的長度與方向規(guī)定如下：|a|=|a|；當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當=0時，a=0.（2）向量數乘的運算律設、是實數，則有(a)=()a；(+)a=a+ a；(a+b)=a+b.（3）向量數乘的幾何意義：a的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向擴大或縮小|倍.2.向量的線性運算（1）向量的加法、減法和向量數乘的綜合運算，叫做向量的線性運算.若一個向量c是由另一些向量的線性運算得到的，我們就說這個向量c可以用另一些向量線性表示.（2）向量的線性運算也叫向量的初等運算.它們的運算法則在形式上很像實數加、減法、乘法滿足的運算法則，但它們在具體含義上是不同的.不過由于它們在形式上相類似，因此，實數運算中的去括號、移項、合并同類項等變形方法在向量的線性運算中都可以使用.3.向量共線的判定定理和性質定理判定定理：如果a=b，則ab；性質定理：如果ab（b0），則一定存在一個實數，使得a=b.4.平面向量基本定理如果e1和e2是平面內的兩個不共線的向量，那么該平面內的任一向量a，存在唯一的一對實數a1，a2，使a=a1e1a2e2.我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為e1，e2，a1e1a2e2叫做向量a關于基底e1，e2的分解式.5.直線的向量參數方程式已知A、B是直線l上任意兩點，O是l外一點，則對于直線l上任一點P，存在實數，使=(1-t)+t,這個等式又稱為直線l的向量參數方程式.知識導學1.一個向量用其他向量的線性運算來表示是解決這一類問題的關鍵，注意轉化與化歸的思想應用.2.靈活、適當地選擇一組平面向量基底來表示其他未知向量是正確解決向量問題的前提.3.在解決問題時，一定要自覺作出草圖來尋找解題思路，重視數形結合思想的運用.疑難突破1.向量共線定理有何應用？剖析：學習了平行向量基本定理后，對定理的應用陷入茫然.其突破方法是對平行向量基本定理的結論的理解不夠徹底.下面分三方面來討論.（1）判定定理的結論是ab，那么用平行向量基本定理可以證明兩向量共線.例如：設=a，=b，=（a+b）,求證：.證明：由題意得=b-a，=-=（b+a）-b=（a-b），=-.由此可見，證明向量ab，只需找到滿足a=b的實數的一個值即可.（2）判定定理的結論是ab，則有當=a，=b時，有O、A、B三點共線，即用平行向量基本定理可以證明三點共線.例如：設=a，=b，=（a+b）,求證：A、B、C三點共線.證明：由題意得=b-a.=-=（a+b）-b=（a-b）,=.A、B、C三點共線.由此可見，三點共線問題通常轉化為向量共線問題.（3）判定定理的結論是ab，當a和b所在的直線分別是直線m和n時，則有直線m、n平行或重合,即用平行向量基本定理可以證明兩直線平行.例如：如圖2-3-1，已知ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，并且AD=xAB，AE=xAC,0x1.圖2-3-1求證：DEBC且DE=xBC.證明：AD=xAB，AE=xAC，=x，=x.=-=x(-)=x.DEBC且DE=xBC.由此可見，證明兩直線平行轉化為證明它們的方向向量共線.（4）性質定理的結論是a=b，則有|a|=|b|，當=a，=b時，|=|，從而OA=OB,即用平行向量基本定理可以證明兩平行線段間的長度關系.例如：如圖2-3-2，平行四邊形OACB中，BD=BC，OD與BA相交于E.圖2-3-2求證：BE=BA.證明：設E是線段BA上的一點，且BE=BA.設=a，=b，則=a，=b+a.=-b，EA=a-，3=EA,3(-b)=a-.= (a+3b)= (b+a).=.O、E、D三點共線，即E，E重合.BE=BA.由此可見，證明兩平行線段的長度關系轉化為證明這兩條線段構成的向量共線.2.如何正確認識平面向量基本定理？剖析：疑點是平面向量基本定理是關于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是從定理的條件和結論來分析.平面向量基本定理實質上就是向量線性運算知識的推廣和延伸，即平面內任一向量a都可分解成兩個不共線向量e1，e2（基底）的唯一線性組合形式1e12e2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依據，是向量坐標運算的基礎，理解該定理能很好的掌握平面向量的各種知識，幫助我們解決向量問題.例如：（經典回放）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則等于（ ）A.(+),(0,1) B.(+