第一章 基本概念.doc

第一章 基本概念1.1 集 合1.指出下列各命題的真假.(1); (2); (3); (4);(5); (6); (7); (8);(9); (10); (11); (12).解 命題,(5),(6),(8),(9)和(11)為真命題,其余都是假命題.2.設(shè),求,.解 ; ;.3.設(shè)是兩個(gè)集合,若,證明:.證明 假設(shè).則.因此.4.設(shè)是三個(gè)集合,若,證明:.證明 考察任意的:若,則由可知;若,則由可知.由此可見,.同理可證,.所以.5.證明下列三命題等價(jià):(1);(2);(3).證明 我們有.所以命題(1),(2)和(3)兩兩等價(jià). 6.設(shè)是三個(gè)集合,證明:(1); (2);(3); (4);(5); (6).證明 (1)對(duì)于任意的元素,我們有.所以(2)對(duì)于任意的元素,我們有.所以.(3)對(duì)于任意的元素,我們有.所以.(4)對(duì)于任意的元素,我們有所以.(5)對(duì)于任意的元素,我們有.所以.(6)對(duì)于任意的元素,我們有.所以.7.設(shè),寫出的冪集.解 顯然.所以.8.設(shè)是包含個(gè)元素的有限集,求的冪集所包含元素個(gè)數(shù).解 對(duì)于任意的,的由個(gè)元素組成的子集共有個(gè).所以的冪集所包含元素個(gè)數(shù)為.1.2 映 射1. 設(shè)是一個(gè)正整數(shù),作帶余除法:,.規(guī)定,問:是否為到的映射?單射?滿射? 答 顯然是到的映射.由于,因此不是單射.由于,因此不是滿射.2.(1)設(shè)是到的單射,是到的單射,證明:是到的單射.(2)設(shè)是到的滿射,是到的滿射,證明:是到的滿射.證明 (1)假設(shè)且.由于是到的單射,因此且.由于是到的單射,因此且,即.由此可見,是到的單射.(2)任意給定.由于是到的滿射,因此我們可取,使得.由于是到的滿射,因此我們可取,使得.于是,.由此可見,是到的滿射.3.設(shè),問:(1)有多少個(gè)到的映射?(2)有多少個(gè)到的單射?滿射?雙射?解 (1)令表示到的所有映射組成的集合,表示這三個(gè)元素的所有有重復(fù)和無重復(fù)的排列組成的集合.對(duì)于任意的,令.顯然是到的雙射,并且.所以.也就是說,到的不同映射共有個(gè)A中元素在B中必有對(duì)應(yīng)項(xiàng)，對(duì)于1,2,3有3種選擇，即3*3*3=27.(2)設(shè)如(1)中所說.顯然,對(duì)于任意的,是單射(滿射)當(dāng)且僅當(dāng)是這三個(gè)元素的一個(gè)無重復(fù)的排列.由于這三個(gè)元素的無重復(fù)的排列共有個(gè),所以到的不同單射(滿射)共有6個(gè).4.設(shè)給出三個(gè)到的映射: ; (1)計(jì)算:,;(2)證明:是單射,并分別求出的一個(gè)左逆映射;(3)證明:是滿射,并求出的一個(gè)右逆映射.解 (1)對(duì)于任意的,;(2),若,則;若;則.所以和都是單射.由(1)可知,既是的一個(gè)左逆映射,又是的一個(gè)左逆映射.(3),我們有.所以是滿射.由(1)可知,和都是的右逆映射.5.設(shè)是到的映射,是到的映射.(1)若有左逆映射,問是否都有左逆映射?(2)若有右逆映射,問是否都有右逆映射?解 (1)若有左逆映射,則,從而,是的左逆映射.但是未必有左逆映射.例如,令,定義到的映射和到的映射如下:則有左逆映射;不是單射,從而,沒有左逆映射.(2)若有右逆映射,則,從而,是的右逆映射.但是未必有右逆映射.例如,在上例中,有右逆映射,不是滿射,從而,沒有右逆映射.6.設(shè)都是有限集,且.又是一個(gè)映射,證明:是單射是滿射.證明 由于是到的映射,因此.當(dāng)是單射時(shí),是到的雙射,從而,.這樣,由可知.所以是滿射.當(dāng)是滿射時(shí),對(duì)于每一個(gè),任意定一個(gè)元素,使得,并令.于是,是到的單射.由于,因此是雙射.又因,所以是雙射,從而,是單射.1.3 卡氏積與代數(shù)運(yùn)算1.設(shè),問下列各命題是否正確?(1); (2); (3);(4); (5); (6).答 命題(3),(4)和(6)都正確;其余命題都不正確.2.判斷下列法則是否為有理數(shù)域上的代數(shù)運(yùn)算:(1); (2); (3);(4); (5).解 (1),(3)和(5)中的法則都是有理數(shù)域上的代數(shù)運(yùn)算;其余的法則都不是.3.設(shè)上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,交換律,試完成下列表中的計(jì)算.解 由于適合交換律,因此我們有由于適合結(jié)合律,因此.又因,根據(jù)可以斷言.所以我們有4.在非零實(shí)數(shù)集上普通數(shù)的除法運(yùn)算是否適合結(jié)合律、交換律?答 小學(xué)生都知道,數(shù)的除法運(yùn)算不適合結(jié)合律和交換律,因此無需舉例說明.5.在實(shí)數(shù)集上規(guī)定一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,問這個(gè)代數(shù)運(yùn)算是否適合結(jié)合律、交換律?解 我們有,;,.由此可見,這個(gè)代數(shù)運(yùn)算不適合結(jié)合律和交換律.6.證明定理1.9.注 定理1.9的內(nèi)容如下:(1)設(shè)上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律;到的代數(shù)運(yùn)算對(duì)于適合左分配律,則對(duì)于中任意()個(gè)元素,中任意元素,都有.(2)設(shè)上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律; 到的代數(shù)運(yùn)算對(duì)于適合右分配律,則對(duì)于中任意()個(gè)元素,中任意元素,都有.證明 這里只證明定理1.9(1)成立.由于對(duì)于適合左分配律,因此.假設(shè)當(dāng)()時(shí)有.當(dāng)時(shí),由于適合結(jié)合律,根據(jù)歸納假設(shè),我們有.所以對(duì)于一切正整數(shù),有.7.設(shè)上的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算與由下列運(yùn)算表給出:證明:對(duì)于適合左、右分配律.證明 事實(shí)上,對(duì)于任意的,若或,則;若或,則.總之,我們有,.這就是說,對(duì)于適合左分配律.其次,對(duì)于任意的,若,則;若,則;此外,對(duì)于任意的,有,.這樣一來,注意到適合交換律,可以斷言,.這就是說,對(duì)于適合右分配律.1.4 等價(jià)關(guān)系與集合的分類1.在集合中,規(guī)定二元關(guān)系為.證明:是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并確定相應(yīng)的等價(jià)類. 解 平行線的標(biāo)準(zhǔn)定義是:設(shè)和是同一平面上的兩條直線.若與沒有公共點(diǎn),則稱平行于,記作.根據(jù)這一定義,對(duì)于任何直線,不成立,從而,同一平面上的直線之間的平行關(guān)系不是等價(jià)關(guān)系.但是,顯而易見,本題中,上關(guān)系具有對(duì)稱性和傳遞性.這樣一來,如果再補(bǔ)充規(guī)定:,那么就是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.這時(shí),以為代表的等價(jià)類就是由和該平面上的一切平行于的直線組成的集合.2.在非零復(fù)數(shù)集中,規(guī)定二元關(guān)系為的輻角的輻角. 證明:是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并確定相應(yīng)的等價(jià)類.解 顯而易見,有;.所以是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.以為代表的等價(jià)類就是一切與具有相同輻角的復(fù)數(shù)組成的集合,其幾何意義就是復(fù)平面上以為端點(diǎn)且經(jīng)過的射線. 3.設(shè),在中,規(guī)定二元關(guān)系為.證明:是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并寫出商集.解 顯而易見,是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,其理由不必贅述.,其中,. 注 課本中的答案有誤.以為代表的等價(jià)類不是,應(yīng)是. 4.設(shè),在中,規(guī)定二元關(guān)系為.問:是不是上的等價(jià)關(guān)系,為什么? 答 顯然,.因此不具有對(duì)稱性.所以不是上的等價(jià)關(guān)系. 5.設(shè)表示復(fù)數(shù)域上所有階矩陣所組成的集合,問下列規(guī)定的上的關(guān)系是不是等價(jià)關(guān)系,為什么?若是等價(jià)關(guān)系,寫出各個(gè)等價(jià)類的代表元.(1)階可逆矩陣,使.(2)的秩的秩.(3)(表示的行列式).解 高等代數(shù)中已經(jīng)指出,和都是上的等價(jià)關(guān)系,并且;稱為矩陣之間的等價(jià)關(guān)系.對(duì)于每一個(gè),令表示主對(duì)角線上前個(gè)元素都是、其余元素都是的階矩陣,表示階零矩陣,則.對(duì)于每一個(gè),令表示主對(duì)角線上第個(gè)元素是、主對(duì)角線上其它元素都是、其余元素都是的階矩陣,則.6.設(shè)表示所有階實(shí)對(duì)稱矩陣所組成的集合,問下列規(guī)定的上的關(guān)系是不是等價(jià)關(guān)系,為什么? 若是等價(jià)關(guān)系,寫出各個(gè)等價(jià)類的代表元.(1)階可逆矩陣,使.(2)階正交矩陣,使.解 高等代數(shù)中已經(jīng)指出,都是上的等價(jià)關(guān)系,稱為合同關(guān)系,稱為正交合同關(guān)系.對(duì)于任意的,與具有相同的慣性指標(biāo);與具有相同的實(shí)特征值.對(duì)于任意的整數(shù),令表示主對(duì)角線上前個(gè)元素是、主對(duì)角線上接著的元素都是、其余元素都是的階矩陣,則.對(duì)于任意的實(shí)數(shù),令表示主對(duì)角線上的元素依次為的對(duì)角矩陣,則,其中,當(dāng)且僅當(dāng):適當(dāng)調(diào)換諸的次序和下標(biāo),可使,. 注 課本中關(guān)于等價(jià)類的代表元的敘述有誤.7.設(shè),求的所有可能的分類.解 所有可能的分類如下:;,;,;,;.復(fù) 習(xí) 題 一1.設(shè),是兩個(gè)實(shí)系數(shù)一元多項(xiàng)式,其根的集合分別記作,證明:(1)多項(xiàng)式的根的集合為;(2)多項(xiàng)式的根的集合為.注 本題中應(yīng)設(shè)分別表示,的全體實(shí)數(shù)根組成的集合,否則斷言(2)不成立.例如,當(dāng),時(shí),的全體復(fù)根的集合為.證明 (1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù),我們有或或是的根.所以多項(xiàng)式的全體實(shí)數(shù)根的集合為.(2)對(duì)于任意的實(shí)數(shù),我們有且且是的根.所以多項(xiàng)式的全體實(shí)數(shù)根的集合為.2.設(shè)是兩個(gè)集合,將在中的余與在中的余的并稱為與的對(duì)稱余,記作,即.證明:(1);(2);(3).證明 (1)由于對(duì)于適合分配律,對(duì)于適合分配律,我們有.(2)根據(jù)的定義以及1.1習(xí)題6(6),我們有.(3)根據(jù)(1)和對(duì)合律,我們有.3.證明:(1);(2).證明 (1)對(duì)于任意的元素,我們有.所以.(2)對(duì)于任意的元素,我們有.所以.4.設(shè)是映射,證明:(1);(2);(3),并舉例說明等號(hào)未必成立.證明 (1)對(duì)于任意的,我們有.所以.(2)對(duì)于任意的,我們有.所以.(3)對(duì)于任意的,我們有 .所以.令,.則.于是,但.5.設(shè)與()都是上的關(guān)系,證明:(1);(2)當(dāng)時(shí),;(3);(4).證明 (1)對(duì)于任意的,我們有.所以.(2)當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的,我們有.所以當(dāng)時(shí),.(3)對(duì)于任意的,我們有.所以.(4)對(duì)于任意的,我們有.所以.6.在偶數(shù)環(huán)中,規(guī)定二元關(guān)系為.證明: 是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并確定相應(yīng)的等價(jià)類.解 對(duì)于任意的,我們有,從而,;且且.由此可見,是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.對(duì)于任意的,將以為代表的等價(jià)類記作,則.7.設(shè)是集合上的一個(gè)二元關(guān)系,證明:是上的等價(jià)關(guān)系的充要條件是滿足