用matlab編程3.ppt

實驗三求代數(shù)方程的近似根 解 數(shù)學實驗 問題背景和實驗?zāi)康?實驗三 近似求解代數(shù)方程 解方程 代數(shù)方程 是最常見的數(shù)學問題之一 也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一 目前還沒有一般的解析方法來求解非線性方程 但如果在任意給定的精度下 能夠解出方程的近似解 則可以認為求解問題已基本解決 至少可以滿足實際需要 本實驗主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法 對分法 迭代法和牛頓法 同時要求大家學會如何利用Matlab來求方程的近似解 相關(guān)概念 如果f x 是一次多項式 稱上面的方程為線性方程 否則稱之為非線性方程 線性方程與非線性方程 本實驗主要討論非線性方程的數(shù)值求解 基本思想 對分法 將有根區(qū)間進行對分 判斷出解在某個分段內(nèi) 然后再對該段對分 依次類推 直到滿足給定的精度為止 具體步驟 對分法 設(shè)方程在區(qū)間 a b 內(nèi)連續(xù) 且f a f b 0 給定精度要求 若有 f x 則x就是我們所需要的f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)的近似根 Matlab程序見fulu1 m 收斂性分析 對分法收斂性 設(shè)方程的根為x ak bk 又 所以 對分法總是收斂的 但對分法的收斂速度較慢通常用來試探實根的分布區(qū)間 或給出根的一個較為粗糙的近似 根據(jù)上面的算法 我們可以得到一個每次縮小一半的區(qū)間序列 ak bk 在 ak bk 中含有方程的根 迭代法 x 的不動點 f x 0 x x f x 的零點 若收斂 即 假設(shè) x 連續(xù) 則 收斂性分析 迭代法的收斂性 即 注 若得到的點列發(fā)散 則迭代法失效 定義 迭代法收斂性判斷 定理2 如果定理1的條件成立 則有如下估計 如果存在x 的某個鄰域 x x 使得對 x0 開始的迭代xk 1 xk 都收斂 則稱該迭代法在x 附近局部收斂 迭代法收斂性判斷 定理3 已知方程x x 且 1 對 x a b 有 x a b 2 對 x a b 有 x q 1 q越小 迭代收斂越快 x 越小 迭代收斂越快 則對 x0 a b 由迭代xk 1 xk 得到的點列都收斂 且 迭代法收斂性判斷 以上所給出的收斂性定理中的條件的驗證都比較困難 在實際應(yīng)用中 我們常用下面不嚴格的判別方法 當有根區(qū)間 a b 較小 且對某一x0 a b x0 明顯小于1時 則我們就認為迭代收斂 普通迭代法參考程序見fulu2 m 迭代法的加速 設(shè)迭代xk 1 xk 第k步和第k 1步得到的近似根分別為xk和 xk 令 其中wk稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重 得新迭代xk 1 xk 松弛迭代法 松弛法迭代公式 松弛法具有較好的加速效果 甚至有些不收斂的迭代 加速后也能收斂 缺點 每次迭代需計算導數(shù) 參考程序見fulu4 m Altken迭代法 Altken迭代法 用差商近似微商 設(shè)x 是方程的根 則由中值定理可得 Altken迭代法 Altken迭代公式 k 0 1 2 Altken法同樣具有較好的加速效果 參考程序見fulu5 m 牛頓迭代法 令 設(shè)非線性方程f x 0 f x 在x0處的Taylor展開為 牛頓法迭代公式 牛頓迭代公式 k 0 1 2 牛頓法的收斂速度 令 牛頓法至少二階局部收斂 x 即為牛頓法的迭代函數(shù) 參考程序見fulu6 m 牛頓法迭代公式 牛頓的優(yōu)點 牛頓法是目前求解非線性方程 組 的主要方法 至少二階局部收斂 收斂速度較快 特別是當?shù)c充分靠近精確解時 在實際計算中 可以先用其它方法獲得真解的一個粗糙近似 然后再用牛頓法求解 Matlab解方程函數(shù) roots p 多項式的所有零點 p是多項式系數(shù)向量 fzero f x0 求f 0在x0附近的根 f可以使用inline 字符串 或 但不能是方程或符號表達式 solve f v 求方程關(guān)于指定自變量的解 f可以是用字符串表示的方程 符號表達式或符號方程 solve也可解方程組 包含非線性 得不到解析解時 給出數(shù)值解 linsolve A b 解線性方程組 其他Matlab相關(guān)函數(shù) g diff f v 求符號表達式f關(guān)于v的導數(shù)g diff f 求符號表達式f關(guān)于默認變量的導數(shù)g diff f v n 求f關(guān)于v的n階導數(shù) diff f是符號表達式 也可以是字符串 默認變量由findsym f 1 確定 symsx f sin x 3 x 2 g diff f x g diff sin x 3 x 2 x f inline 函數(shù)表達式 變量1 變量2 y f 數(shù)值列表 代入的數(shù)值列表順序應(yīng)與定義時的變量名順序一致 例 附錄 inline inline命令可以用來定義一個內(nèi)聯(lián)函數(shù) 調(diào)用方式 這種函數(shù)定義方式是將f作為一個內(nèi)部函數(shù)調(diào)用 其特點是 調(diào)用方式最接近于我們平時對函數(shù)的定義 使程序更具可讀性 同時由于它是基于Matlab的數(shù)值計算內(nèi)核的 所以它的運算速度較快 程序更有效率 這種定義方式的缺點 定義一個內(nèi)聯(lián)函數(shù)用去的內(nèi)