橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第3-4課時(shí)）

橢圓的定義 距離之和等于常數(shù) 定點(diǎn) 距離 MF1 MF2 2a c 0 0 c a2 b2 c2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 平面內(nèi)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1 F2的距離之和為常數(shù)2a 當(dāng)2a F1F2 時(shí) 點(diǎn)M的軌跡是橢圓 當(dāng)2a F1F2 時(shí) 點(diǎn)M的軌跡是一條線段F1F2 當(dāng)2a F1F2 時(shí) 點(diǎn)M的軌跡不存在 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式 若含x2項(xiàng)的分母大于含y2項(xiàng)的分母 則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 反之焦點(diǎn)在y軸上 思路點(diǎn)撥 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) 要先判斷焦點(diǎn)位置 確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式 最后由條件確定a和b的值 一點(diǎn)通 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟為 答案 D 2 已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A 2 3 且點(diǎn)F 2 0 為其右焦點(diǎn) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 思路點(diǎn)撥 因?yàn)?PF1F2 120 F1F2 2c 所以要求S PF1F2 只要求 PF1 即可 可由橢圓的定義 PF1 PF2 2a 并結(jié)合余弦定理求解 4 平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A B 設(shè)p MA MB 為定值 q 點(diǎn)M的軌跡是以A B為焦點(diǎn)的橢圓 那么 A p是q的充分不必要條件B p是q的必要不充分條件C p是q的充要條件D p既不是q的充分條件 又不是q的必要條件解析 若 MA MB 為定值 只有定值 AB 時(shí) 點(diǎn)M軌跡才是橢圓 故p為q的必要不充分條件 答案 B 解析 a2 16 a 4 而由橢圓定義 AF1 AF2 2a BF1 BF2 2a ABF2周長(zhǎng) AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 16 答案 B 例3 2 已知圓B x 1 2 y2 16及點(diǎn)A 1 0 C為圓B上任意一點(diǎn) 求AC的垂直平分線l與線段CB的交點(diǎn)P的軌跡方程 思路點(diǎn)撥 P為AC垂直平分線上的點(diǎn) 則 PA PC 而BC為圓的半徑 從而4 PA PB 可得點(diǎn)P軌跡為以A B為焦點(diǎn)的橢圓 一點(diǎn)通 求解有關(guān)橢圓的軌跡問題 一般有如下兩種思路 1 首先通過題干中給出的等量關(guān)系列出等式 然后化簡(jiǎn)等式得到對(duì)應(yīng)的軌跡方程 2 首先分析幾何圖形所揭示的幾何關(guān)系 對(duì)比橢圓的定義 然后設(shè)出對(duì)應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求出其中a b的值 得到標(biāo)準(zhǔn)方程 7 ABC的三邊a b c成等差數(shù)列 A C的坐標(biāo)分別為 1 0 1 0 求頂點(diǎn)B的軌跡方程 8 已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A 3 0 并且在定圓B x 3 2 y2 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切 求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程 9 已知x軸上的一定點(diǎn)A 1 0 Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn) 求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程 2 解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x y 則Q的坐標(biāo)為 2x 1 2y 因?yàn)镼點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn) 所以點(diǎn)M的軌跡方程是 1 用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) 若已知焦點(diǎn)的位置 可直接設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 若焦點(diǎn)位置不確定 可分兩種情況求解 也可設(shè)為Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 求解 2 解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題時(shí) 要注意檢驗(yàn)所得到的方程的解是否都在曲線上 3 涉及橢圓的焦點(diǎn)三角形問題 可結(jié)合橢圓的定義列出 PF1 PF2 2a求解 因此回歸定