高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 新人教B版必修2.doc

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系1能熟練地掌握二元方程組的解法，并通過(guò)解方程或方程組，解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題2根據(jù)給定的直線、圓的方程，會(huì)用代數(shù)法和幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線l：axbyc0(a2b20)，圓c：(xa)2(yb)2r2(r0)，設(shè)圓心(a，b)到直線的距離是d，d，則有：位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征(方程聯(lián)立)相離dr無(wú)實(shí)數(shù)解(0)相切dr_相交_代數(shù)法和幾何法來(lái)研究直線與圓的位置關(guān)系各有特點(diǎn)“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標(biāo)”與“方程”【做一做11】直線4x3y400與圓x2y264的位置關(guān)系是()a外離 b相切c相交 d相切或外離【做一做12】若直線xy2被圓(xa)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值為()a1或 b1或3c2或6 d0或4【做一做13】(2010課標(biāo)全國(guó)卷)過(guò)點(diǎn)a(4,1)的圓c與直線xy10相切于點(diǎn)b(2,1)，則圓c的方程為_(kāi)1過(guò)點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法剖析：(1)當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在圓x2y2r2上時(shí)，切線方程為x0xy0yr2；(2)當(dāng)點(diǎn)(x0，y0)在圓(xa)2(yb)2r2上時(shí)，切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；(3)點(diǎn)(x0，y0)在圓外，則可設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，變成一般式kxyy0kx00，因?yàn)榕c圓相切，所以可利用圓心到直線距離等于半徑，解出k.注意若此方程只有一個(gè)實(shí)根，則還有一條斜率不存在的直線，不能忽略2弦長(zhǎng)的求法剖析：已知圓c：(xx1)2(yy1)2r2，直線ab：axbyc0(a，b不同時(shí)為0)，如圖，abc是等腰三角形，取弦ab的中點(diǎn)d，則cdab，且cd平分弦ab，因此弦長(zhǎng)|ab|2，其中d表示弦心距，d.另外，還可以從方程的角度用兩點(diǎn)間距離公式去計(jì)算，這時(shí)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代換求得，即將直線ab：ykxm代入(xx1)2(yy1)2r2，消去y得關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)a(x2，y2)，b(x3，y3)，則x2，x3是上述方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x2x3，x2x3，則|ab|x2x3|.題型一 直線與圓的位置關(guān)系【例1】求當(dāng)為何值時(shí)，直線xy10與圓x2y24x2y10相交？相切？相離？分析：可利用直線與圓的方程構(gòu)成的方程組的解的情況，或圓心到直線的距離與圓半徑之間的關(guān)系，列條件求解的值或的取值范圍反思：判斷直線與圓的位置關(guān)系可以從代數(shù)法和幾何法兩種角度入手，但用幾何法解決更簡(jiǎn)便題型二 關(guān)于弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2】求直線yx被圓(x2)2(y4)210所截得的弦長(zhǎng)分析：求直線被圓所截弦長(zhǎng)的方法，一是利用弦心距、半徑和半弦所構(gòu)成的直角三角形，二是用弦長(zhǎng)公式反思：求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題多利用半弦、半徑、圓心到直線的距離構(gòu)成的直角三角形來(lái)處理題型三 直線與圓的綜合問(wèn)題【例3】已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，o1：x2y2x6yc0與直線x2y30的兩個(gè)交點(diǎn)分別為p，q，那么當(dāng)c取何值時(shí)，opoq?分析：利用代數(shù)方法，即聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)opoq進(jìn)行轉(zhuǎn)化反思：當(dāng)圓中的幾何特征不明顯時(shí)，往往采用代數(shù)方程的思想，體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)特征這也是解決解析幾何的重要方法【例4】求圓(x3)2(y3)29上到直線l：3x4y110的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：此題應(yīng)從圓心到直線l的距離與圓的半徑3之間的關(guān)系入手分析求解反思：解決有關(guān)直線與圓的問(wèn)題要有作圖意識(shí)，準(zhǔn)確作圖能幫助我們更快更準(zhǔn)地分析題意另外，要善于挖掘題目的切入點(diǎn)，找出臨界是關(guān)鍵題型四 易錯(cuò)辨析【例5】若直線l過(guò)點(diǎn)p(2,3)，且與圓(x1)2(y2)21相切，求直線l的方程錯(cuò)解：設(shè)直線l：y3k(x2)，即kxy32k0.因?yàn)橹本€l與圓(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直線l的方程為12x5y90.錯(cuò)因分析：忘記討論斜率不存在時(shí)的情況1直線l：4x3y50與圓c：x2y24x2ym0無(wú)公共點(diǎn)的條件是m()a(，0) b(0,5)c(1,5) d(1，)2已知直線l：axyb0，圓c：x2y22ax2by0，則l與c在同一坐標(biāo)系中的圖形只可能是()3(2011山東德州一中高一檢測(cè))若圓x2y22x4y0被直線xya0截得的弦長(zhǎng)為3，則a的值為()a2或2 b或 c2或0 d2或04過(guò)點(diǎn)a(3，4)，且與圓x2y225相切的直線方程是_5已知圓c和y軸相切，圓心c在直線x3y0上，且被直線yx截得的弦長(zhǎng)為2，求圓c的方程答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1一組實(shí)數(shù)解(0)dr兩組實(shí)數(shù)解(0)【做一做11】b【做一做12】d圓心到直線的距離d，所以|a2|2，解得a4或a0.【做一做13】(x3)2y22設(shè)圓c的方程為(xa)2(yb)2r2，圓心(a，b)到直線xy10的距離 dr，又圓c過(guò)a(4,1)，b(2,1)，(4a)2(1b)2r2，(2a)2(1b)2r2.由，得a3，b0，r，圓的方程為(x3)2y22.典型例題領(lǐng)悟【例1】解法一：由消去y，得(12)x22(222)x2440.因?yàn)?20，且4(222)24(12)(244)4(34)，所以當(dāng)0，即0或時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)0，即0或時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)0，即0時(shí)，直線與圓相離解法二：將圓x2y24x2y10配方，得(x2)2(y1)24.圓心到直線的距離為d.所以當(dāng)d2，即0或時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d2，即0或時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d2，即0時(shí)，直線與圓相離【例2】解法一：由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離d.于是，弦長(zhǎng)為224.解法二：聯(lián)立方程yx與(x2)2(y4)210，得2x212x100.設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩根，于是由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，x1x25，則|ab|4.【例3】解：如圖所示，聯(lián)立得方程組此方程組的解即為p，q兩點(diǎn)的坐標(biāo)p(x1，y1)，q(x2，y2)方程組消去x，得5y220y12c0，則y1y2，y1y24.而x1x2(32y1)(32y2)96(y1y2)4y1y2964415.由opoq，有1，即x1x2y1y20.150.c3.【例4】解法一：圓(x3)2(y3)29的圓心o1(3,3)，半徑r3.設(shè)圓心o1到直線3x4y110的距離為d，則d23.如圖所示，在圓心o1同側(cè)，與直線3x4y110平行且距離為1的直線l1與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意又rd321，與直線3x4y110平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x4y110，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線方程為3x4ym0，則d1，m115，即m6或m16，故l1：3x4y60或l2：3x4y160.設(shè)圓o1：(x3)2(y3)29的圓心到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則d13，d21.l1與圓o1相切，與圓o1有一個(gè)公共點(diǎn)；l2與圓o1相交，與圓o1有兩個(gè)公共點(diǎn)故符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)【例5】正解：(1)若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y3k(x2)，即kxy32k0.因?yàn)橹本€l與圓(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直線l的方程為12x5y90.(2)若直線l的斜率不存在，則直線l：x2也符合要求所以直線l的方程為12x5y90或x2.隨堂練習(xí)鞏固1c由圓心(2,1)到直線l：4x3y50的距離大于圓的半徑及方程滿足圓的條件可得2b注意