排列組合典型題匯總.doc

排列、組合題型與解題方法撰寫人：胡清濤一：可重復排列求冪法1、 有4名同學報名參加，數(shù)學、物理、化學三科競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？解析：本題題意是讓4同學選擇3個科目，人是主動的，科目是被選的是被動的，于是完成這件事，需要4個步驟第一步：同學甲從3個科目中選擇一科有3種選擇。第二步：同學乙從3個科目中選擇一科有3種選擇。第三步：同學丙從3個科目中選擇一科有3種選擇。第四步：同學丁從3個科目中選擇一科有3種選擇。完成這件事共有種方法2、有4名學生參加爭奪數(shù)學、物理、化學競賽冠軍，多少種不同的結果？解析：每科的冠軍都產生于這4名同學中，所以3科競賽的冠軍是主動的，而4名同學是被選的，是被動的。于是完成這件事，分3個步驟第一步：數(shù)學科目的冠軍是從4名同學中選1名有4種選擇第二步：物理科目的冠軍是從4名同學中選1名有4種選擇第三步：化學科目的冠軍是從4名同學中選1名有4種選擇完成這件事共有種方法解決這種問題的關鍵在于分清哪個是主動哪個是被動，再按照分步計數(shù)原理的方法將每個步驟中的方法數(shù)相乘，從而得到所求結果。3、將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？ 4、把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？ 5、8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 6、一個六位的密碼，每一位都是由0到9十個數(shù)字中的一個所構成，一共能組成多個密碼？ 二：多排問題單排法12、6個人排成前后兩排，每排3個元素，有多少種不同的排法？解析：6個人站成兩排每排三個，可以看做是將6個人排成一列，再從中間斷成兩段，分為前后兩排，因此： 總的排法數(shù)為種另解：第一步排列前排：從6個人中選出3個人排列，即第二步排列后排：剩余的3個人排列，即總的排法數(shù)為種13、6個人排成前后兩排，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？解析：第一步前排：從6個人中選出2個人排列，即 第二步后排：剩余的4人排列，即總的排法數(shù)為相當于6人排成一直排.14、把15人分成前后三排，每排5人，有多少種不同的排法？解析：第一步前排： 第二步中排： 第三步后排：總排法數(shù)為種15、把15人分成前、中、后三排，前排4人，中排5人，后排6人，有多少種不同的排法？解析：第一步前排： 第二步中排： 第三步后排：總排法數(shù)為種以上問題都是求“將n個元素排成若干排”的問題，有上面各題的難得出這樣的結論：“無論排成幾排，無論每排中元素有幾個，都可以當做將這n個不同的元素排成一個直排來看待”16、8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，有多少種不同排法？17、8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：先按照排成一排來看待，則相當于有八個位置。如圖： 左邊4個位置相當于前排,右邊4個位置相當于后排，先從前排的4個位置中選擇兩個位置排列這兩個人，即；再從右邊的4個位置選擇一個位置排列另外1人，即；其余的5個人隨便排列，即總的排法數(shù)為三、相同元素的分配問題隔板法18、10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？解析：本題題意就是將10個名額，分給7個班級，每班都能分到名額。由于名額與名額之間無任何差別。因此本題即是10個相同的元素分成7堆。具體操作如下：。 。 。 。 。 。 。 。 。 。這10個小圓圈就相當于10個相同的元素，可以想象將木板插在這10個元素之間空當中，就可以將這10個元素分成若干份。本題中要求分成7分，所以只需要6塊木板就可以了，10個元素之間形成了9個空，所以只需將這6塊木板插到這9個空中即可。一種木板的插入方式就對應著一種名額的分配方式。因此有多少種插法就有多少種分配方法。于是：不同分配方案共有種。能夠用“隔板法“解決的拍列組合問題是：“對n個相同的元素分成m份”。這里要特別注意的是:“所研究的元素必須是相同的?！?9、某校要組建一個12人的籃球隊，這12個人分別由8個班的學生組成，每班至少一名，共有多少種選派方案？ 20、6名同學帶13瓶百事去春游，每人至少帶一瓶，有多少種不同的帶法？ 21、方程 正整數(shù)解有多少組？ 22、把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于其編號數(shù)，則有多少種不同的放法？解析：由題意可知，1號盒里至少放1個球；2號盒里至少放2個球；3號盒里至少放3個球。要保證上述條件只需先將1號盒里放0個球； 2號盒里放1個球；3號盒里放2個球，其余的17個球在進行隔板，即:將17個球用2塊木板隔成3分。共有種不同的放法。23、25個相同的小球，分別投到編號為1、2、3、4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數(shù)不少于盒子的編號數(shù)，有多少種不同的方法？ 四、相鄰問題捆綁法24、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必須相鄰，有多少種不同的排法？解析：既然A、B必須相鄰，則把它們捆綁到一起看成是一個元素，這樣一來五個人可以看成是4個元素排列，但是在捆綁A、B的時候，二者也有順序，所以在捆綁的同時也要把A、B進行排列。 總的排法數(shù)為25、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必須相鄰，且A必須在B的左邊，有多少種不同的排法？解析：分析方法同上題相同，唯一不同的是在本題中，捆綁A、B的同時不需要對A、B進行排列，因為A必須在B的左邊，這實際上已經(jīng)確定了A、B的順序，所以本題直接將5個人看成是4個不同的元素排列。 總的排法數(shù)為在解決兩個或多個元素相鄰問題時我們選擇“捆綁法”，在捆綁的時候要注意，“被捆綁的的元素與元素之間是否有順序，如果有則需要在捆綁的同時，先將元素排列?！?6、3名男生5名女生站成一排，3名男生必須站在一起，有多少種不同的排法 27、4名男生和3名女生并坐在一起，男生相鄰，女生也相鄰，共有多少種不同的坐法？ 五、不相鄰問題插空法28、七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，有多少種不同的排法？解析：由于甲乙兩人不相鄰，除去甲乙還有5個人，先將這5個人排列，此時5個人之間包括兩端共有6個空位，將甲乙兩個元素分別插入到這6個空中即可?？偱欧〝?shù)為29、4名男生，3名女生，站成一排，3名女生互不相鄰，有多少種不同排法？ 解析：仿照上題，3名女生不相鄰，則先排列4名男生，4名男生之間包括兩端共有5個空位，再將3名女生分別插入到這5個空位中?？偱欧〝?shù)為在解決兩個或多個元素不相鄰問題時我們選擇“插空法”，需要注意的是：“在插空時是用不相鄰的元素去插其他元素的空”30、4名男生，3名女生，站成一排，男女生相間，有多少種不同排法？ 解析：“男女生相間”即是“男生不相鄰女生也不相鄰” 先排4個男生；再把3個女生插空，但此時的插空同上題不同的是，女生能可以選擇的空位只能是中間的3個空，不能選擇兩端的兩個空，因為如果選擇了兩端的兩個空位，必然會使其中的兩名男生相鄰，即。 總的排法數(shù)為本題中應當注意的是，“男生女生相間”的意思是“男生不相鄰且女生也不相鄰”，此時插空時要注意不能選擇兩端的兩個空位。31、4名男生，4名女生，站成一排，男女生相間，有多少種不同排法？ 解析：本題也是男女生相間問題，但與上題不同的是：男生人數(shù)與女生人數(shù)相等，則先把男生和女生分別排列，再插空。如下圖： 男 男 男 男 女 女 女 女或女 女 女 女 男 男 男 男總的排法數(shù)為如果男生女生人數(shù)相同時，要求那女相間，要注意有兩種不同的情況，一是男生打頭，二是女生打頭。31、用1、2、3、4、5五個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，且1、2不相鄰，這樣的五位數(shù)共有多少個？ 32、班學要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，有多少種不同排法？ 33、在馬路上有編號為1、2、3、4、5、6、7、8、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電需要關掉其中的3盞路燈，但是不能關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，共有多少種不同的關燈方法？解析：關掉其中的三盞，則還有六盞燈亮著，那么我們只需用三盞關掉的路燈，去插亮著的六盞燈的空，由于要求不能關掉兩端的兩盞，所以，只能選擇六盞亮著的路燈之間的5個空，另外我們要知道，關掉的路燈之間沒有區(qū)別，亮著的路燈之間也沒有區(qū)別，所以燈與燈之間沒有順序，于是：關燈的方法共有 34、3個人坐在一排8把椅子上，若每個人的兩邊都有空位，共有多少種不同的坐法？ 解析：解法1、先將3個人（各帶一把椅子）全排列有A，*，在四個空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有=24種. 解法2：先拿出5個椅子排成一排，在5個椅子中間出現(xiàn)4個空，*再讓3個人每人帶一把椅子去插空，于是有A=24種.六：捆綁法和插空法的綜合問題35、4名男生和3名女生站成一排，要求3名女生中有2名站在一起，有多少種不同的站法？ 36、停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？ 37、停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求4個空車位中的3個空車位連在一起，不同的停車方法有多少種？ 38、某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形有多少種？ 39、計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,幅油畫,幅國畫, 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共多少種陳列方式七：特殊位置、特殊元素優(yōu)先法40、由1,2,3,4,5，6可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù)？解析：我們要構造的是個五位奇數(shù)，所以個位數(shù)字只能是1、3、5中的一個來充當。也就是說我們要構造的五位數(shù)的個位是特殊的，所以我們要先解決這個特殊位置，也就是先給個位選數(shù)字，即；接下來給剩余的4個數(shù)位選數(shù)字，由于我們已經(jīng)從1、3、5中選出了一個數(shù)字，所以還有5個數(shù)字可供選擇，又因為構造一個五位數(shù)，其實就是給數(shù)字排隊，所選的數(shù)字之間是有順序的，所以是從剩余的5個數(shù)字中選擇4個進行排列，即這樣的五位數(shù)一共有個41、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù)？解析：本題也是構造五位奇數(shù)但上題不同的是，五個數(shù)字有一個是0，而且我們還知道，五位數(shù)的首位不能是0，所以我們所構造的五位數(shù)中首位和末位都是特殊位置，先選末位；接下來選首位數(shù)字，1、3、5三個數(shù)字被選出了一個數(shù)字，還剩下5個數(shù)字，且這5個數(shù)字中有一個是0，因此首位的選擇只能從4個數(shù)字中選擇一個，即；最后給中間的三個數(shù)位選數(shù)字，中間的三個數(shù)位沒有特殊要求，選什么數(shù)字都可以，一共6個數(shù)字，首位和末位個占去了一個數(shù)字，還成4個數(shù)字可供選擇，即這樣的五位數(shù)一共有個42、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位偶數(shù)？解析：要構造一個五位偶數(shù)，則個位數(shù)字必須從0、2、4中選擇一個，我們知道0是不能在首位的，但如果末位選擇的是0，那么首位就不用特殊考慮了，而末位選擇的不是0，則需要對首位特殊考慮，在本題中不但位置有特殊，元素也有特殊，因此本題應該分為兩種情況： 末位數(shù)字是0： 此時的前4位不用擔心0會出現(xiàn)在首位，所以直接從除0以外的5個數(shù)字中選4個進行排列，即有個。末位數(shù)字不是0： 末位不是0，則末位是從2、4中選一個，即；首位不能是0，所以只能從剩余的4個數(shù)字中選一個，即；中間三個數(shù)位的數(shù)字可以自由選擇并排列，即。 則共有個。綜上這樣的五位數(shù)共有個上述問題的特點是，在某些位置或某些元素有特殊要求時要優(yōu)先解決，解決完特殊，再解決沒有特殊要求的位置或是元素。43、1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？44、7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？ 45、2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有多少種46、有七名學生站成一排，甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？ 47、有七名學生站成一排，甲不排在首位，乙不排在末位的排法有多少種解析：本題采取“遇難則反”的解題思維。即： 在總的排法數(shù)中減去不符合題意的排法數(shù)，就是所求問題的排法數(shù) 總的排法數(shù)： 不符合題意的排法：甲在首位： 乙在末位： 總的排法數(shù)不符題意的排法數(shù) = ，甲在首位的情況中包含了“甲在首位且乙在末位”乙在末位的情況中包含了“乙在末位且甲在首位”于是中把“甲在首位且乙在末位”的情況減了兩次所以需要加回一個“甲在首位且乙在末位”的情況?！凹自谑孜磺乙以谀┪弧钡那闆r數(shù)為：本題所求的排法數(shù)為另解：分類：（1）甲在末位，則剩余的6個人（包括乙）可以隨便排列（2）甲不在末位，則甲的位置只能從5個位置中選1個，乙的位置也是從5個位置中選1個，其余的5個人隨便排列， 在此類中的排法數(shù)為總的排法數(shù)為+附加題：某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種八：定序問題48、已知A、B、C、D、E五個人站成一排，B必須站在A的左邊，（A、B可以不相鄰）共有多少種不同的排法？解析：因為五人排隊，則人與人之間是有順序的，所以這是一個排列問題，而題中說B必須站在A的左邊因此，A、B的順序是確定的不需要再排列了。因此解決該問題有兩種方法。方法一： 五人站成一排，則需要5個位置，由于A、B的順序確定，則先不考慮A、B。直接排C、D、E三人，即從五個位置中選三個位置排列這三個人，即 種排法，當排完這三人之后，必然會給A、B剩下兩個位置,由于A、B位置關系是確定的，則不需要再排列。共有種排法方法二： 先不考慮A、B順序已經(jīng)確定這一問題，把五個人全排列，即，接下來在考慮A、B順序已經(jīng)確定這一問題，既然二者的順序已經(jīng)確定了那么在中把A、B又進行了排列，也就是多排了倍，因此： 總的排法數(shù)為種定序問題中，有些元素的順序已經(jīng)固定了，不需要再排列，我們只需要排列那些順序不固定的元素即可。49、書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？ 或 50、將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？ 或 51、某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行、工程丙必須在工程乙完成后才能進行、又工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程有多少種不同安排方法？ 或 52、某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么有多少種不同的插法種數(shù) ？ 或 53、某式春節(jié)晚會原定10個節(jié)目，導演最后決定添加3個與“抗冰救災”有關的的新節(jié)目，但是賑災節(jié)目部不排在第一個也不排在最后一個，并且原定的10個節(jié)目相對順序不變，有多少種不同的排法？ 54、人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增共 有多少排法？九：涂色問題55、用6種顏色給圖中4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰兩個格子不能用同一種顏色，且兩端顏色也不同，有多少種涂色方案？ 1234解析：方法一：逐一涂色此時要分析1號格與3號格顏色是相同還是不同，因為1號格與3號格顏色是否相同直接影響了4號格顏色的選擇，所以分為兩種情況：第一種情況：1號格與3號格同色1號格有6種顏色可供選擇，即。由于相鄰兩個格子不能用同一種顏色，所以:2號格有5種顏色可供選擇，即。由于3號格與1號格同色，所以3號格的顏色已確定不需選。4號格的顏色只要不與3號格顏色相同即可，因此：4號格有5種顏色可供選擇，即第一種情況的涂色方案有種第二種情況：1號格與3號格異色 1號格有6種顏色可供選擇，即。 由于相鄰兩個格子不能用同一種顏色，所以:2號格有5種顏色可供選擇，即。 3號格與1號格顏色不同，與2號格顏色也不同，所以： 3號格有4種顏色可供選擇，即 4號格與1號格和3號格顏色都不同，所以： 4號格有4種顏色可供選擇，即第二種情況的涂色方案有種總的涂色方案共有+630種方法二：用顏色來分類第一類：用4種顏色 從6種顏色中選出4種顏色排列即可，即種第二類：用3種顏色 用3種顏色時，四個格子中必須有兩個格子顏色相同，在四個格子中顏色相同的，有兩種可能：“1號和3“號同色或”2號4號同色”，用3種顏色的涂色方案為種第三類：用2種顏色 用2種顏色時，只要“1號和3號同色”同時“2號與4號也同色”于是用2種顏色的涂色方案為種總的涂色方案為630種56、用5種顏色給下面五個區(qū)域涂顏色，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色，共有多少種不同的涂色方案？ 12345 方法一：第一類:2、4同色 54313180第二類:2、4異色 54322240涂色方案總數(shù)為180+240=420 方法二：第一類：用5種顏色 第二類：用4種顏色 第三類：用3種顏色 涂色法案總數(shù)為+=42057、一花壇分為A、B、C、D四塊區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花卉可供選則，每塊區(qū)域種一種花卉，相鄰兩塊不能種同一種，有多少種不同的種花方案。 84 ABCD 58、將如圖的四棱錐的每個頂點涂色，要求同一條棱上的兩個頂點不能用CBADS同一種顏色，現(xiàn)有5種顏色可供選擇，共有多少種不同的著色方案？ 42059、某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的 6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線上的燈泡 不能同色，每種顏色的燈泡至少用一個，有多少種不同的安裝方式？ C BAC11B11A11解析：先確定A、B、C的的顏色，有種，第四種顏色的燈可能安裝在A1、B1、C1三處中的一處，有種（例如把第四種顏色放在C1處），下面給A1、B1選擇顏色，由于A1與B不在同一條棱上，所以分兩種情況：A1與B同色：則A1處沒有選擇只能和B顏色相同，B1處有兩種顏色可選，此時有2種情況。 A1與B異色：則A1處只有一種顏色可選，B1處也只有一種顏色可供選擇，此時只有1種情況 不同的安裝方法有種60、用四種不同的顏色給圖中A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，線段的兩個端點涂不同顏色，有多少種的涂色方案？ABCDEF解析：1.用四種顏色 先確定A、D、E的顏色，即種。 再確定第四種顏色的位置：有種。（假設第四種顏色的位置在F處） 接下來確定B、C的顏色：,B、D同色，B點顏色與D顏色相同所以沒有選擇，則C處有2種顏色可供選擇，因此有2種選擇。 ,B、D異色，B點只有1種顏色可供選擇，C處也只有1種顏色可供選擇。 用“四種顏色”的涂色方案有種。2.用三種顏色 先從4種顏色中選3種顏色: 種。 確定A、D、E的顏色，即種。給B涂色：若B、E顏色相同，則B、D顏色不同，所以C、A同色，則F的顏色只有1中選擇，即F、D同色。因此B、E同色時，只有1種情況。若B、D顏色相同，則B、E顏色不同，所以F、A同色， 則C的顏色只有1種選擇，即C、E同色。因此B、D同色時，只有1種情況。用“四種顏色”的涂色方案有綜上涂色方案共有216 + 48 = 264種十：多面手問題61、某公司的11人中，有4人只會唱歌，4人只會跳舞，另有3人既會唱歌又會跳舞，現(xiàn)要從這11人中選出3人唱歌，3人跳舞，共有多少種不同的選法？解析：以多面手參加某一項活動來分類，中途不能改變分類標準。第一類，3個多面手沒有人去跳舞跳舞的人只能從“只會跳舞的4個人”中選3個，即種；因為3個多面手都沒去跳舞，所以能唱歌的人有7人，選唱歌的人有種。 共有種第二類，3個多面手中有1人去跳舞 有1個多面手去跳舞，即；剩余的2個跳舞的人只能從“只會跳舞的4個人”中選2個人，即；此時能唱歌的人共有6個人，所以唱歌的3人是從6個人中選3個，即。 共有種第三類，3個多面手中有2人去跳舞 有2個多面手去跳舞，即；剩余的1個跳舞的人只能從“只會跳舞的4個人”中選1個人，即；此時能唱歌的人共有5個人，所以唱歌的3個人是從5個人中選3個，即。 共有種第四類，3個多面手中3人都去跳舞 跳舞的3個人，只能選擇3個多面手，即，由于3個多面手都去跳舞了，所以唱歌的人只能從“只會唱歌的4個人”中選3個，即共有種總的選法數(shù)為+62、某車間中有5人會鉗工，有3人會車工，2人即會鉗工又會車工，要從這10個人中 選3人去鉗工，2人去車工有多少種不同的選法？解析：2個多面手沒有人去鉗工： 2個多面手有1人去鉗工： 2個多面手都去鉗工：共有+種63、有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外2名是英、日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可以開出幾張？64、在一次演唱會上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解多面手問題的關鍵在與分類，分類的方法是：“按多面手中有幾個人參加某一項活動”為標準來分類。十一、標號排位問題（不配對問題）65、將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有？解析： 1 一 2 二 3 三4 四先給1選：只能選二、三、四，有3種選擇。（假設1選的是二，則下一步給2選）再給2選：能選擇一、三、四，有3中選擇。（同理假設2選的是三，則下一步給3選）給 3 選：由于4不能選四，所以只能是3選四，此時4只能選一，即只有1種選擇）共有3319種66、甲、乙、丙、丁四人每人寫一張明信片，寫好后混在一起，每人選擇一張，要求不能選擇自己寫的那一張，有多少種不同的選擇方式？ 9種67、編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是？ 種十二：上樓梯問題68、一樓梯共10級，規(guī)定一步跨一級或一步跨兩級，要走上這10級臺階共有多少種方法？解析：我們可以想象如果不是10級臺階，是1級臺階、2級臺階、3級臺階、4級臺階，各種不同的上法各有多少種1級臺階：1種上法2級臺階：2種上法3級臺階：3種上法4級臺階：5種上法5級臺階：8種上法經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)上法數(shù)分別為：1、2、3、5、8，我們發(fā)現(xiàn)“前兩項的和就等于第三項”有歸納推理可知：10級臺階有89種上法。69、一樓梯共14級，規(guī)定一步跨一級或一步跨兩級，共有多少種不同的方法？610種70、一樓梯共10級，要求6步走完，規(guī)定一步跨一級或一步跨兩級，共有多少種不同的方法？解析：6步中有4步是一步上兩級，2步一步上一級。 著眼點放在“每步上兩級”的4步上，6步中只要有4步是一步上兩級即可，哪4步都行，有種情況，剩余的2步只能是一步上一級，沒有選擇，只有一種情況。 著眼點還可以放在“每步上一級”的2步上，6步中只要有2步是一步上一級即可，哪2步都行，有種情況，剩余的4步只能是一步上兩級，沒有選擇，只有一種情況。因此上樓梯的方法數(shù)為或71、一樓梯共14級，要求10步走完，規(guī)定一步跨一級或一步跨兩級，共有多少種不同的方法？ 或72、在85方格內從A點到B點，要求只能沿著方格的邊走，從A到B共有多少種不同的走法？ B A解析：從A到B共走了13步，其中有8步橫著走，5步豎著走，所以不同的走法共有： 或十三：合理分類與分步問題73：從4名男生和4名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，共有多少種不同的選法？解析：直接法：1男3女： 2男2女： 3男1女： 總的選法數(shù)為：+間接法：男女共8人，從中選4人的選法數(shù)為；都是男生的選法：； 都是女生的選法： 既有男生又有女生的選法：74、從4名男生和4名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中至少有一名女生，共有多少種不同的選法？解析：直接法：有1名女生3名男生： 有2名女生2名女生： 有3名女生1名男生： 4名都是女生沒有男生： 總的選法數(shù)為：+間接法：“至少一名女生”對立事件“一名女生都沒有”總的選法數(shù)為（沒有女生全是男生的選法）75、從6雙顏色不同的手套中任取4只，至少有一雙顏色相同的手套，共有多少種不同的取法？解析：直接法：有一雙顏色相同： 有兩雙顏色相同：總的選法數(shù)為：+=255間接法：“至少有一雙顏色相同的手套”對立事件“一雙顏色相同的都沒有”總的選法數(shù)為十四：分組分配問題76、有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ 分成1本、2本、3本三組。解析：分成的三組每個數(shù)都不相同，而且沒有組名，所以直接分即可 分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本。解析：先按要求分成三組，再進行排列分給三個人 分給甲、乙、丙三人，甲一本，乙兩本，并三本。解析：雖然是把書分給三個不同的人，但是每個人分得書的本數(shù)是固定的，因此和的情況是一樣的。即有種分配方式。分給甲、乙、丙三人，每人兩本。解析：這是一個平均分租問題，并且是分給三個不同的人，所以有排列，但在這種問