排列組合典型題匯總.doc

排列、組合題型與解題方法撰寫(xiě)人：胡清濤一：可重復(fù)排列求冪法1、 有4名同學(xué)報(bào)名參加，數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法？解析：本題題意是讓4同學(xué)選擇3個(gè)科目，人是主動(dòng)的，科目是被選的是被動(dòng)的，于是完成這件事，需要4個(gè)步驟第一步：同學(xué)甲從3個(gè)科目中選擇一科有3種選擇。第二步：同學(xué)乙從3個(gè)科目中選擇一科有3種選擇。第三步：同學(xué)丙從3個(gè)科目中選擇一科有3種選擇。第四步：同學(xué)丁從3個(gè)科目中選擇一科有3種選擇。完成這件事共有種方法2、有4名學(xué)生參加爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽冠軍，多少種不同的結(jié)果？解析：每科的冠軍都產(chǎn)生于這4名同學(xué)中，所以3科競(jìng)賽的冠軍是主動(dòng)的，而4名同學(xué)是被選的，是被動(dòng)的。于是完成這件事，分3個(gè)步驟第一步：數(shù)學(xué)科目的冠軍是從4名同學(xué)中選1名有4種選擇第二步：物理科目的冠軍是從4名同學(xué)中選1名有4種選擇第三步：化學(xué)科目的冠軍是從4名同學(xué)中選1名有4種選擇完成這件事共有種方法解決這種問(wèn)題的關(guān)鍵在于分清哪個(gè)是主動(dòng)哪個(gè)是被動(dòng)，再按照分步計(jì)數(shù)原理的方法將每個(gè)步驟中的方法數(shù)相乘，從而得到所求結(jié)果。3、將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有多少種不同投法？ 4、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？ 5、8名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？ 6、一個(gè)六位的密碼，每一位都是由0到9十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)所構(gòu)成，一共能組成多個(gè)密碼？ 二：多排問(wèn)題單排法12、6個(gè)人排成前后兩排，每排3個(gè)元素，有多少種不同的排法？解析：6個(gè)人站成兩排每排三個(gè)，可以看做是將6個(gè)人排成一列，再?gòu)闹虚g斷成兩段，分為前后兩排，因此： 總的排法數(shù)為種另解：第一步排列前排：從6個(gè)人中選出3個(gè)人排列，即第二步排列后排：剩余的3個(gè)人排列，即總的排法數(shù)為種13、6個(gè)人排成前后兩排，前排2人，后排4人，有多少種不同的排法？解析：第一步前排：從6個(gè)人中選出2個(gè)人排列，即 第二步后排：剩余的4人排列，即總的排法數(shù)為相當(dāng)于6人排成一直排.14、把15人分成前后三排，每排5人，有多少種不同的排法？解析：第一步前排： 第二步中排： 第三步后排：總排法數(shù)為種15、把15人分成前、中、后三排，前排4人，中排5人，后排6人，有多少種不同的排法？解析：第一步前排： 第二步中排： 第三步后排：總排法數(shù)為種以上問(wèn)題都是求“將n個(gè)元素排成若干排”的問(wèn)題，有上面各題的難得出這樣的結(jié)論：“無(wú)論排成幾排，無(wú)論每排中元素有幾個(gè)，都可以當(dāng)做將這n個(gè)不同的元素排成一個(gè)直排來(lái)看待”16、8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，有多少種不同排法？17、8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？解析：先按照排成一排來(lái)看待，則相當(dāng)于有八個(gè)位置。如圖： 左邊4個(gè)位置相當(dāng)于前排,右邊4個(gè)位置相當(dāng)于后排，先從前排的4個(gè)位置中選擇兩個(gè)位置排列這兩個(gè)人，即；再?gòu)挠疫叺?個(gè)位置選擇一個(gè)位置排列另外1人，即；其余的5個(gè)人隨便排列，即總的排法數(shù)為三、相同元素的分配問(wèn)題隔板法18、10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？解析：本題題意就是將10個(gè)名額，分給7個(gè)班級(jí)，每班都能分到名額。由于名額與名額之間無(wú)任何差別。因此本題即是10個(gè)相同的元素分成7堆。具體操作如下：。 。 。 。 。 。 。 。 。 。這10個(gè)小圓圈就相當(dāng)于10個(gè)相同的元素，可以想象將木板插在這10個(gè)元素之間空當(dāng)中，就可以將這10個(gè)元素分成若干份。本題中要求分成7分，所以只需要6塊木板就可以了，10個(gè)元素之間形成了9個(gè)空，所以只需將這6塊木板插到這9個(gè)空中即可。一種木板的插入方式就對(duì)應(yīng)著一種名額的分配方式。因此有多少種插法就有多少種分配方法。于是：不同分配方案共有種。能夠用“隔板法“解決的拍列組合問(wèn)題是：“對(duì)n個(gè)相同的元素分成m份”。這里要特別注意的是:“所研究的元素必須是相同的?！?9、某校要組建一個(gè)12人的籃球隊(duì)，這12個(gè)人分別由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一名，共有多少種選派方案？ 20、6名同學(xué)帶13瓶百事去春游，每人至少帶一瓶，有多少種不同的帶法？ 21、方程 正整數(shù)解有多少組？ 22、把20個(gè)相同的球全放入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，則有多少種不同的放法？解析：由題意可知，1號(hào)盒里至少放1個(gè)球；2號(hào)盒里至少放2個(gè)球；3號(hào)盒里至少放3個(gè)球。要保證上述條件只需先將1號(hào)盒里放0個(gè)球； 2號(hào)盒里放1個(gè)球；3號(hào)盒里放2個(gè)球，其余的17個(gè)球在進(jìn)行隔板，即:將17個(gè)球用2塊木板隔成3分。共有種不同的放法。23、25個(gè)相同的小球，分別投到編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于盒子的編號(hào)數(shù)，有多少種不同的方法？ 四、相鄰問(wèn)題捆綁法24、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必須相鄰，有多少種不同的排法？解析：既然A、B必須相鄰，則把它們捆綁到一起看成是一個(gè)元素，這樣一來(lái)五個(gè)人可以看成是4個(gè)元素排列，但是在捆綁A、B的時(shí)候，二者也有順序，所以在捆綁的同時(shí)也要把A、B進(jìn)行排列。 總的排法數(shù)為25、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必須相鄰，且A必須在B的左邊，有多少種不同的排法？解析：分析方法同上題相同，唯一不同的是在本題中，捆綁A、B的同時(shí)不需要對(duì)A、B進(jìn)行排列，因?yàn)锳必須在B的左邊，這實(shí)際上已經(jīng)確定了A、B的順序，所以本題直接將5個(gè)人看成是4個(gè)不同的元素排列。 總的排法數(shù)為在解決兩個(gè)或多個(gè)元素相鄰問(wèn)題時(shí)我們選擇“捆綁法”，在捆綁的時(shí)候要注意，“被捆綁的的元素與元素之間是否有順序，如果有則需要在捆綁的同時(shí)，先將元素排列?！?6、3名男生5名女生站成一排，3名男生必須站在一起，有多少種不同的排法 27、4名男生和3名女生并坐在一起，男生相鄰，女生也相鄰，共有多少種不同的坐法？ 五、不相鄰問(wèn)題插空法28、七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，有多少種不同的排法？解析：由于甲乙兩人不相鄰，除去甲乙還有5個(gè)人，先將這5個(gè)人排列，此時(shí)5個(gè)人之間包括兩端共有6個(gè)空位，將甲乙兩個(gè)元素分別插入到這6個(gè)空中即可。總排法數(shù)為29、4名男生，3名女生，站成一排，3名女生互不相鄰，有多少種不同排法？ 解析：仿照上題，3名女生不相鄰，則先排列4名男生，4名男生之間包括兩端共有5個(gè)空位，再將3名女生分別插入到這5個(gè)空位中?？偱欧〝?shù)為在解決兩個(gè)或多個(gè)元素不相鄰問(wèn)題時(shí)我們選擇“插空法”，需要注意的是：“在插空時(shí)是用不相鄰的元素去插其他元素的空”30、4名男生，3名女生，站成一排，男女生相間，有多少種不同排法？ 解析：“男女生相間”即是“男生不相鄰女生也不相鄰” 先排4個(gè)男生；再把3個(gè)女生插空，但此時(shí)的插空同上題不同的是，女生能可以選擇的空位只能是中間的3個(gè)空，不能選擇兩端的兩個(gè)空，因?yàn)槿绻x擇了兩端的兩個(gè)空位，必然會(huì)使其中的兩名男生相鄰，即。 總的排法數(shù)為本題中應(yīng)當(dāng)注意的是，“男生女生相間”的意思是“男生不相鄰且女生也不相鄰”，此時(shí)插空時(shí)要注意不能選擇兩端的兩個(gè)空位。31、4名男生，4名女生，站成一排，男女生相間，有多少種不同排法？ 解析：本題也是男女生相間問(wèn)題，但與上題不同的是：男生人數(shù)與女生人數(shù)相等，則先把男生和女生分別排列，再插空。如下圖： 男 男 男 男 女 女 女 女或女 女 女 女 男 男 男 男總的排法數(shù)為如果男生女生人數(shù)相同時(shí)，要求那女相間，要注意有兩種不同的情況，一是男生打頭，二是女生打頭。31、用1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，且1、2不相鄰，這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)？ 32、班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，有多少種不同排法？ 33、在馬路上有編號(hào)為1、2、3、4、5、6、7、8、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電需要關(guān)掉其中的3盞路燈，但是不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，共有多少種不同的關(guān)燈方法？解析：關(guān)掉其中的三盞，則還有六盞燈亮著，那么我們只需用三盞關(guān)掉的路燈，去插亮著的六盞燈的空，由于要求不能關(guān)掉兩端的兩盞，所以，只能選擇六盞亮著的路燈之間的5個(gè)空，另外我們要知道，關(guān)掉的路燈之間沒(méi)有區(qū)別，亮著的路燈之間也沒(méi)有區(qū)別，所以燈與燈之間沒(méi)有順序，于是：關(guān)燈的方法共有 34、3個(gè)人坐在一排8把椅子上，若每個(gè)人的兩邊都有空位，共有多少種不同的坐法？ 解析：解法1、先將3個(gè)人（各帶一把椅子）全排列有A，*，在四個(gè)空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A種，所以每個(gè)人左右兩邊都空位的排法有=24種. 解法2：先拿出5個(gè)椅子排成一排，在5個(gè)椅子中間出現(xiàn)4個(gè)空，*再讓3個(gè)人每人帶一把椅子去插空，于是有A=24種.六：捆綁法和插空法的綜合問(wèn)題35、4名男生和3名女生站成一排，要求3名女生中有2名站在一起，有多少種不同的站法？ 36、停車(chē)場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放.要求空車(chē)位置連在一起，不同的停車(chē)方法有多少種？ 37、停車(chē)場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放.要求4個(gè)空車(chē)位中的3個(gè)空車(chē)位連在一起，不同的停車(chē)方法有多少種？ 38、某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形有多少種？ 39、計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà),其中1幅水彩畫(huà),幅油畫(huà),幅國(guó)畫(huà), 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共多少種陳列方式七：特殊位置、特殊元素優(yōu)先法40、由1,2,3,4,5，6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？解析：我們要構(gòu)造的是個(gè)五位奇數(shù)，所以個(gè)位數(shù)字只能是1、3、5中的一個(gè)來(lái)充當(dāng)。也就是說(shuō)我們要構(gòu)造的五位數(shù)的個(gè)位是特殊的，所以我們要先解決這個(gè)特殊位置，也就是先給個(gè)位選數(shù)字，即；接下來(lái)給剩余的4個(gè)數(shù)位選數(shù)字，由于我們已經(jīng)從1、3、5中選出了一個(gè)數(shù)字，所以還有5個(gè)數(shù)字可供選擇，又因?yàn)闃?gòu)造一個(gè)五位數(shù)，其實(shí)就是給數(shù)字排隊(duì)，所選的數(shù)字之間是有順序的，所以是從剩余的5個(gè)數(shù)字中選擇4個(gè)進(jìn)行排列，即這樣的五位數(shù)一共有個(gè)41、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？解析：本題也是構(gòu)造五位奇數(shù)但上題不同的是，五個(gè)數(shù)字有一個(gè)是0，而且我們還知道，五位數(shù)的首位不能是0，所以我們所構(gòu)造的五位數(shù)中首位和末位都是特殊位置，先選末位；接下來(lái)選首位數(shù)字，1、3、5三個(gè)數(shù)字被選出了一個(gè)數(shù)字，還剩下5個(gè)數(shù)字，且這5個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是0，因此首位的選擇只能從4個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)，即；最后給中間的三個(gè)數(shù)位選數(shù)字，中間的三個(gè)數(shù)位沒(méi)有特殊要求，選什么數(shù)字都可以，一共6個(gè)數(shù)字，首位和末位個(gè)占去了一個(gè)數(shù)字，還成4個(gè)數(shù)字可供選擇，即這樣的五位數(shù)一共有個(gè)42、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位偶數(shù)？解析：要構(gòu)造一個(gè)五位偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)字必須從0、2、4中選擇一個(gè)，我們知道0是不能在首位的，但如果末位選擇的是0，那么首位就不用特殊考慮了，而末位選擇的不是0，則需要對(duì)首位特殊考慮，在本題中不但位置有特殊，元素也有特殊，因此本題應(yīng)該分為兩種情況： 末位數(shù)字是0： 此時(shí)的前4位不用擔(dān)心0會(huì)出現(xiàn)在首位，所以直接從除0以外的5個(gè)數(shù)字中選4個(gè)進(jìn)行排列，即有個(gè)。末位數(shù)字不是0： 末位不是0，則末位是從2、4中選一個(gè)，即；首位不能是0，所以只能從剩余的4個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，即；中間三個(gè)數(shù)位的數(shù)字可以自由選擇并排列，即。 則共有個(gè)。綜上這樣的五位數(shù)共有個(gè)上述問(wèn)題的特點(diǎn)是，在某些位置或某些元素有特殊要求時(shí)要優(yōu)先解決，解決完特殊，再解決沒(méi)有特殊要求的位置或是元素。43、1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？44、7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？ 45、2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有多少種46、有七名學(xué)生站成一排，甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？ 47、有七名學(xué)生站成一排，甲不排在首位，乙不排在末位的排法有多少種解析：本題采取“遇難則反”的解題思維。即： 在總的排法數(shù)中減去不符合題意的排法數(shù)，就是所求問(wèn)題的排法數(shù) 總的排法數(shù)： 不符合題意的排法：甲在首位： 乙在末位： 總的排法數(shù)不符題意的排法數(shù) = ，甲在首位的情況中包含了“甲在首位且乙在末位”乙在末位的情況中包含了“乙在末位且甲在首位”于是中把“甲在首位且乙在末位”的情況減了兩次所以需要加回一個(gè)“甲在首位且乙在末位”的情況。“甲在首位且乙在末位”的情況數(shù)為：本題所求的排法數(shù)為另解：分類(lèi)：（1）甲在末位，則剩余的6個(gè)人（包括乙）可以隨便排列（2）甲不在末位，則甲的位置只能從5個(gè)位置中選1個(gè)，乙的位置也是從5個(gè)位置中選1個(gè)，其余的5個(gè)人隨便排列， 在此類(lèi)中的排法數(shù)為總的排法數(shù)為+附加題：某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類(lèi)：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另兩個(gè)城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種八：定序問(wèn)題48、已知A、B、C、D、E五個(gè)人站成一排，B必須站在A的左邊，（A、B可以不相鄰）共有多少種不同的排法？解析：因?yàn)槲迦伺抨?duì)，則人與人之間是有順序的，所以這是一個(gè)排列問(wèn)題，而題中說(shuō)B必須站在A的左邊因此，A、B的順序是確定的不需要再排列了。因此解決該問(wèn)題有兩種方法。方法一： 五人站成一排，則需要5個(gè)位置，由于A、B的順序確定，則先不考慮A、B。直接排C、D、E三人，即從五個(gè)位置中選三個(gè)位置排列這三個(gè)人，即 種排法，當(dāng)排完這三人之后，必然會(huì)給A、B剩下兩個(gè)位置,由于A、B位置關(guān)系是確定的，則不需要再排列。共有種排法方法二： 先不考慮A、B順序已經(jīng)確定這一問(wèn)題，把五個(gè)人全排列，即，接下來(lái)在考慮A、B順序已經(jīng)確定這一問(wèn)題，既然二者的順序已經(jīng)確定了那么在中把A、B又進(jìn)行了排列，也就是多排了倍，因此： 總的排法數(shù)為種定序問(wèn)題中，有些元素的順序已經(jīng)固定了，不需要再排列，我們只需要排列那些順序不固定的元素即可。49、書(shū)架上某層有6本書(shū)，新買(mǎi)3本插進(jìn)去，要保持原有6本書(shū)的順序，有多少種不同的插法？ 或 50、將A、B、C、D、E、F這6個(gè)字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？ 或 51、某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行、工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行、又工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項(xiàng)工程有多少種不同安排方法？ 或 52、某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么有多少種不同的插法種數(shù) ？ 或 53、某式春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的的新節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目部不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)，并且原定的10個(gè)節(jié)目相對(duì)順序不變，有多少種不同的排法？ 54、人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增共 有多少排法？九：涂色問(wèn)題55、用6種顏色給圖中4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰兩個(gè)格子不能用同一種顏色，且兩端顏色也不同，有多少種涂色方案？ 1234解析：方法一：逐一涂色此時(shí)要分析1號(hào)格與3號(hào)格顏色是相同還是不同，因?yàn)?號(hào)格與3號(hào)格顏色是否相同直接影響了4號(hào)格顏色的選擇，所以分為兩種情況：第一種情況：1號(hào)格與3號(hào)格同色1號(hào)格有6種顏色可供選擇，即。由于相鄰兩個(gè)格子不能用同一種顏色，所以:2號(hào)格有5種顏色可供選擇，即。由于3號(hào)格與1號(hào)格同色，所以3號(hào)格的顏色已確定不需選。4號(hào)格的顏色只要不與3號(hào)格顏色相同即可，因此：4號(hào)格有5種顏色可供選擇，即第一種情況的涂色方案有種第二種情況：1號(hào)格與3號(hào)格異色 1號(hào)格有6種顏色可供選擇，即。 由于相鄰兩個(gè)格子不能用同一種顏色，所以:2號(hào)格有5種顏色可供選擇，即。 3號(hào)格與1號(hào)格顏色不同，與2號(hào)格顏色也不同，所以： 3號(hào)格有4種顏色可供選擇，即 4號(hào)格與1號(hào)格和3號(hào)格顏色都不同，所以： 4號(hào)格有4種顏色可供選擇，即第二種情況的涂色方案有種總的涂色方案共有+630種方法二：用顏色來(lái)分類(lèi)第一類(lèi)：用4種顏色 從6種顏色中選出4種顏色排列即可，即種第二類(lèi)：用3種顏色 用3種顏色時(shí)，四個(gè)格子中必須有兩個(gè)格子顏色相同，在四個(gè)格子中顏色相同的，有兩種可能：“1號(hào)和3“號(hào)同色或”2號(hào)4號(hào)同色”，用3種顏色的涂色方案為種第三類(lèi)：用2種顏色 用2種顏色時(shí)，只要“1號(hào)和3號(hào)同色”同時(shí)“2號(hào)與4號(hào)也同色”于是用2種顏色的涂色方案為種總的涂色方案為630種56、用5種顏色給下面五個(gè)區(qū)域涂顏色，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色，共有多少種不同的涂色方案？ 12345 方法一：第一類(lèi):2、4同色 54313180第二類(lèi):2、4異色 54322240涂色方案總數(shù)為180+240=420 方法二：第一類(lèi)：用5種顏色 第二類(lèi)：用4種顏色 第三類(lèi)：用3種顏色 涂色法案總數(shù)為+=42057、一花壇分為A、B、C、D四塊區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花卉可供選則，每塊區(qū)域種一種花卉，相鄰兩塊不能種同一種，有多少種不同的種花方案。 84 ABCD 58、將如圖的四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不能用CBADS同一種顏色，現(xiàn)有5種顏色可供選擇，共有多少種不同的著色方案？ 42059、某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的 6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線(xiàn)上的燈泡 不能同色，每種顏色的燈泡至少用一個(gè)，有多少種不同的安裝方式？ C BAC11B11A11解析：先確定A、B、C的的顏色，有種，第四種顏色的燈可能安裝在A1、B1、C1三處中的一處，有種（例如把第四種顏色放在C1處），下面給A1、B1選擇顏色，由于A1與B不在同一條棱上，所以分兩種情況：A1與B同色：則A1處沒(méi)有選擇只能和B顏色相同，B1處有兩種顏色可選，此時(shí)有2種情況。 A1與B異色：則A1處只有一種顏色可選，B1處也只有一種顏色可供選擇，此時(shí)只有1種情況 不同的安裝方法有種60、用四種不同的顏色給圖中A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，有多少種的涂色方案？ABCDEF解析：1.用四種顏色 先確定A、D、E的顏色，即種。 再確定第四種顏色的位置：有種。（假設(shè)第四種顏色的位置在F處） 接下來(lái)確定B、C的顏色：,B、D同色，B點(diǎn)顏色與D顏色相同所以沒(méi)有選擇，則C處有2種顏色可供選擇，因此有2種選擇。 ,B、D異色，B點(diǎn)只有1種顏色可供選擇，C處也只有1種顏色可供選擇。 用“四種顏色”的涂色方案有種。2.用三種顏色 先從4種顏色中選3種顏色: 種。 確定A、D、E的顏色，即種。給B涂色：若B、E顏色相同，則B、D顏色不同，所以C、A同色，則F的顏色只有1中選擇，即F、D同色。因此B、E同色時(shí)，只有1種情況。若B、D顏色相同，則B、E顏色不同，所以F、A同色， 則C的顏色只有1種選擇，即C、E同色。因此B、D同色時(shí)，只有1種情況。用“四種顏色”的涂色方案有綜上涂色方案共有216 + 48 = 264種十：多面手問(wèn)題61、某公司的11人中，有4人只會(huì)唱歌，4人只會(huì)跳舞，另有3人既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞，現(xiàn)要從這11人中選出3人唱歌，3人跳舞，共有多少種不同的選法？解析：以多面手參加某一項(xiàng)活動(dòng)來(lái)分類(lèi)，中途不能改變分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。第一類(lèi)，3個(gè)多面手沒(méi)有人去跳舞跳舞的人只能從“只會(huì)跳舞的4個(gè)人”中選3個(gè)，即種；因?yàn)?個(gè)多面手都沒(méi)去跳舞，所以能唱歌的人有7人，選唱歌的人有種。 共有種第二類(lèi)，3個(gè)多面手中有1人去跳舞 有1個(gè)多面手去跳舞，即；剩余的2個(gè)跳舞的人只能從“只會(huì)跳舞的4個(gè)人”中選2個(gè)人，即；此時(shí)能唱歌的人共有6個(gè)人，所以唱歌的3人是從6個(gè)人中選3個(gè)，即。 共有種第三類(lèi)，3個(gè)多面手中有2人去跳舞 有2個(gè)多面手去跳舞，即；剩余的1個(gè)跳舞的人只能從“只會(huì)跳舞的4個(gè)人”中選1個(gè)人，即；此時(shí)能唱歌的人共有5個(gè)人，所以唱歌的3個(gè)人是從5個(gè)人中選3個(gè)，即。 共有種第四類(lèi)，3個(gè)多面手中3人都去跳舞 跳舞的3個(gè)人，只能選擇3個(gè)多面手，即，由于3個(gè)多面手都去跳舞了，所以唱歌的人只能從“只會(huì)唱歌的4個(gè)人”中選3個(gè)，即共有種總的選法數(shù)為+62、某車(chē)間中有5人會(huì)鉗工，有3人會(huì)車(chē)工，2人即會(huì)鉗工又會(huì)車(chē)工，要從這10個(gè)人中 選3人去鉗工，2人去車(chē)工有多少種不同的選法？解析：2個(gè)多面手沒(méi)有人去鉗工： 2個(gè)多面手有1人去鉗工： 2個(gè)多面手都去鉗工：共有+種63、有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中5名是英語(yǔ)譯員，4名是日語(yǔ)譯員，另外2名是英、日語(yǔ)均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語(yǔ)，另4人翻譯日語(yǔ)，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問(wèn)這樣的8人名單可以開(kāi)出幾張？64、在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解多面手問(wèn)題的關(guān)鍵在與分類(lèi)，分類(lèi)的方法是：“按多面手中有幾個(gè)人參加某一項(xiàng)活動(dòng)”為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類(lèi)。十一、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題（不配對(duì)問(wèn)題）65、將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有？解析： 1 一 2 二 3 三4 四先給1選：只能選二、三、四，有3種選擇。（假設(shè)1選的是二，則下一步給2選）再給2選：能選擇一、三、四，有3中選擇。（同理假設(shè)2選的是三，則下一步給3選）給 3 選：由于4不能選四，所以只能是3選四，此時(shí)4只能選一，即只有1種選擇）共有3319種66、甲、乙、丙、丁四人每人寫(xiě)一張明信片，寫(xiě)好后混在一起，每人選擇一張，要求不能選擇自己寫(xiě)的那一張，有多少種不同的選擇方式？ 9種67、編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法是？ 種十二：上樓梯問(wèn)題68、一樓梯共10級(jí)，規(guī)定一步跨一級(jí)或一步跨兩級(jí)，要走上這10級(jí)臺(tái)階共有多少種方法？解析：我們可以想象如果不是10級(jí)臺(tái)階，是1級(jí)臺(tái)階、2級(jí)臺(tái)階、3級(jí)臺(tái)階、4級(jí)臺(tái)階，各種不同的上法各有多少種1級(jí)臺(tái)階：1種上法2級(jí)臺(tái)階：2種上法3級(jí)臺(tái)階：3種上法4級(jí)臺(tái)階：5種上法5級(jí)臺(tái)階：8種上法經(jīng)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)上法數(shù)分別為：1、2、3、5、8，我們發(fā)現(xiàn)“前兩項(xiàng)的和就等于第三項(xiàng)”有歸納推理可知：10級(jí)臺(tái)階有89種上法。69、一樓梯共14級(jí)，規(guī)定一步跨一級(jí)或一步跨兩級(jí)，共有多少種不同的方法？610種70、一樓梯共10級(jí)，要求6步走完，規(guī)定一步跨一級(jí)或一步跨兩級(jí)，共有多少種不同的方法？解析：6步中有4步是一步上兩級(jí)，2步一步上一級(jí)。 著眼點(diǎn)放在“每步上兩級(jí)”的4步上，6步中只要有4步是一步上兩級(jí)即可，哪4步都行，有種情況，剩余的2步只能是一步上一級(jí)，沒(méi)有選擇，只有一種情況。 著眼點(diǎn)還可以放在“每步上一級(jí)”的2步上，6步中只要有2步是一步上一級(jí)即可，哪2步都行，有種情況，剩余的4步只能是一步上兩級(jí)，沒(méi)有選擇，只有一種情況。因此上樓梯的方法數(shù)為或71、一樓梯共14級(jí)，要求10步走完，規(guī)定一步跨一級(jí)或一步跨兩級(jí)，共有多少種不同的方法？ 或72、在85方格內(nèi)從A點(diǎn)到B點(diǎn)，要求只能沿著方格的邊走，從A到B共有多少種不同的走法？ B A解析：從A到B共走了13步，其中有8步橫著走，5步豎著走，所以不同的走法共有： 或十三：合理分類(lèi)與分步問(wèn)題73：從4名男生和4名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，共有多少種不同的選法？解析：直接法：1男3女： 2男2女： 3男1女： 總的選法數(shù)為：+間接法：男女共8人，從中選4人的選法數(shù)為；都是男生的選法：； 都是女生的選法： 既有男生又有女生的選法：74、從4名男生和4名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中至少有一名女生，共有多少種不同的選法？解析：直接法：有1名女生3名男生： 有2名女生2名女生： 有3名女生1名男生： 4名都是女生沒(méi)有男生： 總的選法數(shù)為：+間接法：“至少一名女生”對(duì)立事件“一名女生都沒(méi)有”總的選法數(shù)為（沒(méi)有女生全是男生的選法）75、從6雙顏色不同的手套中任取4只，至少有一雙顏色相同的手套，共有多少種不同的取法？解析：直接法：有一雙顏色相同： 有兩雙顏色相同：總的選法數(shù)為：+=255間接法：“至少有一雙顏色相同的手套”對(duì)立事件“一雙顏色相同的都沒(méi)有”總的選法數(shù)為十四：分組分配問(wèn)題76、有6本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？ 分成1本、2本、3本三組。解析：分成的三組每個(gè)數(shù)都不相同，而且沒(méi)有組名，所以直接分即可 分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本。解析：先按要求分成三組，再進(jìn)行排列分給三個(gè)人 分給甲、乙、丙三人，甲一本，乙兩本，并三本。解析：雖然是把書(shū)分給三個(gè)不同的人，但是每個(gè)人分得書(shū)的本數(shù)是固定的，因此和的情況是一樣的。即有種分配方式。分給甲、乙、丙三人，每人兩本。解析：這是一個(gè)平均分租問(wèn)題，并且是分給三個(gè)不同的人，所以有排列，但在這種問(wèn)