北京師范大學 數學模型與數學建模1 (9).pdf

第五章 自然與環(huán)境的數學模型 5 2 放射性計年模型 一 同位素與放射性衰變 1 0 同位素 原子中核電荷數 質子數 相同 但具有不同的質量 中子數 的元素稱為同位 素 它們的化學性質相同 在周期表中處于同一個位置 有相同的元素符號 但在左上角注名 質量數 左下角為質子數 如 1 1H 2 1H 3 1H 12 6C 13 6C 14 6C 234 92U 238 92U 等 2 0 同位素的蛻變 同位素中有穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的兩種 不穩(wěn)定的同位素具有放射性 通過放射粒子而變?yōu)橥辉氐牟煌耐凰鼗蛘卟煌氐耐凰?稱之為同位素的蛻變 14 6C 14 7N 87 37Rb 87 38Sr 238U 234U 230Th 3 0 放射性同位素衰變的數學模型 假設 1 粒子同質 以相同的概率衰變 2 粒子群體規(guī)模充分大 3 沒有粒子遷移 4 粒子的衰變率反映群體衰變現象的平均效應 5 單位時間內衰變正比于群體的數量 比率系數為常數 參量 變量 為衰變系數 N t 為 t 時刻粒子數 模型 dN dt N t N 0 N0 有解 N t N0 e t 稱使得N T1 2 N0 2 的時間T1 2為半衰期 T1 2 ln2 同位素 半衰期 年 衰變系數 年 87 37Rb 48 6 10 9 1 43 10 11 238 92U 4 468 10 9 1 551 10 10 234 92U 248000 2 794 10 6 230 90Th 75200 9 217 10 6 14 6C 5730 1 209 10 4 40 放射性元素的平衡 如果隨著放射性元素的蛻變衰減 又得到定常速率的補充 則放射性元素的變化可以由如下模 型來描述 dN dt N t b 有解 N t b N 0 b e t 模型有一個平衡狀態(tài) N b 當 N 0 N 時 元素不斷減少 當 N 0 N 時 元素將會增加 當 t 時 N t N 表明放 射性元素最終將會達到這個平衡狀態(tài) 我們稱這個現象為放射性元素的平衡 5 0 在考古計年上的應用 例 馬王堆一號墓年代的確定 湖南省長沙市馬王堆一號墓于 1972 年 8 月出土 考古學家利用 出土的木炭確定墓葬的年代 考古中的 14C計年法 利用死亡的生物體內14C的含量測定死亡的時 間 14C的半衰期 5730 相對于地質年齡很短 但適用于考古學 原理 1 宇宙射線穿過大氣 產生中子 使得 14N蛻變?yōu)?4C 2 14C與氧原子結合生成14CO 2被植物吸收 進入食物鏈 3 生物體內的 14C不斷衰變?yōu)?4N成為氣體散失 4 活體還會不斷吸收 14C 使體內的14C維持平衡 5 生物死亡后 不再吸收 14C 則體內的14C將由于蛻變 在體內的比例數將逐漸降低 分析 記N t 為 t 時刻生物體內 14C的粒子數 如果生物體在 t 0 時死亡 則有 N 0 N 活 體內 14C的平衡量 如果在 t t 1 時物體被發(fā)掘 由N t N e t 可以得到 t1 ln N N t1 因為14C與14N具有相同的原子質量 無法使用質譜儀測量樣本中14C的含量 只能用計數管測量14C 的放射蛻變物的速率 假設 1 馬王堆墓葬的年代生物體中 14C的平衡數量與現代生物體中14C的平衡數量相同 2 14C的放射速率正比與14C的含量 當時測得出土的木炭樣本中放射 14C的放射性蛻變物的速率為 29 78 次 分 而新砍伐燒成的木炭 中放射 14C蛻變物的速率為 38 37 次 分 于是 t1 ln N N t1 ln N N t1 T1 2 ln 2 ln 38 37 29 78 5730 0 6931 2095 于 1972 年出土的湖南省長沙市馬王堆一號墓墓葬的大致年代為公元前 120 年左右西漢中期 60 估計地球的年齡 1 背景 1650 烏斯赫基于神學的計算世界在 4004 年誕生 1850 湯姆遜基于地球冷卻學說 地球的年齡在 2000 萬年到 4000 萬年之間 1896 被貝克勒爾 否定 1903 居里利用放射性測定地質年代 1907 伯爾伍德得到了放射性地質年代的數據 通過巖石的地質年表及同位素的演化規(guī)律確定更可靠的地球年齡 可用于地質計年的同位素 1 出現于巖石形成期 2 具放射性的不穩(wěn)定的同位素 3 半衰期足夠長 4 含量可以觀測 難點 無法確定地球形成初期巖石中元素的含量 N 因此無法運用公式 t1 ln N N t1 確定巖石的形成期 2 假設 10 巖石內同位素的含量只隨放射性衰變而變化 20 衰變后的生成物是穩(wěn)定的 不再衰變 30 穩(wěn)定元素的含量是一定的 40 放射性元素與其衰變產物總量不變 即 N t D t N0 D0 其中 N t 表示在 t 時刻放射性元素含量 D t 表示在 t 時刻衰變后穩(wěn)定產物含量 N0 D0表示在 t 0 時的初始值 由放射性元素的衰變規(guī)律 N t N 0e t 得到 D t D0 N t e t N t D0 e t 1 N t 3 巖石放射性計年的等時線模型 記記 mm e e t t 1 1 r r 0 0 D D0 0 則對于固定的 t 和不同的 D0 N t 和 D t 將分布在同一條直線 等時線上 Isochron Diagram D t m N t r0 如果同時在巖石所含的 n 種不同的礦石中觀測到不同元素的含量 Ni Di i 1 2 n 則利用 最小二乘法就可以給出 m r0 的最小二乘估計 從而得到巖石生成的時間 t 1 ln m 1 T1 2ln m 1 ln2 1 4427 ln m 1 T1 2 難點 無法測得指定元素的絕對含量 用質譜儀只能測的兩種元素的相對含量 因此 改用N t 表示在 t 時刻放射性元素與穩(wěn)定元素的相對含量 用D t 表示在 t 時刻衰變后 的穩(wěn)定產物與另一種穩(wěn)定元素的相對含量 4 巖石年齡的銣87Rb 鍶87Sr計年法原理 10 巖石內不穩(wěn)定的同位素銣 87Rb 只因放射性而衰減為穩(wěn)定的鍶 87Sr 20 銣 87Rb 的半衰期很長 為 48 6 109 年 30 巖石內不同的礦物質中銣 87Rb 和鍶 87Sr 的含量不同 40 巖石中元素鍶 86Sr 的含量是穩(wěn)定的 50 使用質譜儀可以測量銣 87Rb 和鍶 87Sr 的相對含量Rb 87Rb 86Sr 和 Sr 87Sr 86Sr 例 1967 年采集到一塊包含有長石 白云母和黑云母的巖石 用質譜儀進行分析 測的銣和鍶 的相對含量如下 長 石 白云母 黑云母 Sr 0 77 0 82 0 80 Rb 2 00 7 00 5 00 可以估得 m 0 01 r0 0 75 從而有 t 1 4427 ln 1 01 48 6 109 年 6 97 108年 地球的年齡約為 44 46 億年 4 6 109 宇宙約為 150 200 億年 2 1010 問題 P143 第 3 題 鈾 釷計年法 5 3 湖水的污染 一 問題與背景 問題 建模描述湖泊污染的狀況 背景 湖泊 提供水源 水產養(yǎng)殖 交通運輸 休閑旅游 承受容納生活垃圾 工業(yè)排出物 等污染物質 形成磷酸鹽污染 殺蟲劑污染和重金屬 污染 湖泊污染的特征 水體覆蓋面積大 污染源復雜 不易控制 水體流動性差 不利于水體的 更新和自凈 二 假設 10 污染物同質 以污染物的含量標志污染的狀況 20 單流入 單流出 流速不變 30 變化充分光滑 40 湖水體積定常 50 不考慮水體自凈問題和其他因素的作用 三 建模 物理理想模型 池水含鹽問題 數學模型 湖水體積 V 污染物濃度 P t 流入速度 r 流入污染物濃度 PI t 流出速度 r 流出污染物濃度 P t 則有 V r dP dt PI t P t 其中 V r 為湖水保留時間 四 分析 情形 I 自由傾倒 PI K P 0 Ps 得 P t Ps K e t k 10 P t K t 稱 K 為飽和污染狀況 當 Ps K 時 P t 減少 稱 t P t K 為湖水在時刻 t 的污染水平 不難得到 t Ps K K e t 1 當 1 時 稱為飽和水平 當 1 時 稱為超飽和狀態(tài) P t 將會下降 20 令 Ps 0 一池清水 則 t 時刻的污染水平為 t P t K 1 e t 給定 1 記 T 為 達到 水平污染的時間 則有 T ln 1 當 時 有T1 2 ln 2 0 7 對于密執(zhí)安湖 有 T1 2 21 年 對于蘇比利爾湖 有T1 2 132 年 一般來說 對于 Ps K 若給定 s Ps k 0 則 P t Ps e t 將遞減并且趨于零 令 a t P t Ps 它表示污染狀況相對降低的強度 則不難看出Ta ln Ps P t ln 1 a 給出了污染水平降低到初始狀態(tài)的 a 倍時所用的時間 取 a 1 2 則有 T1 2 0 7 由此可知 在完全斷絕污染物流入的前提下 湖泊污染狀況緩解一半所用的時間是湖水保留 時間的 0 7 倍 情形II 控制污染 PI t K0e at 流入的污染物逐年降低 污染狀況以強度 a 逐年得到控制 模型 dP dt P t K0e at 令P 0 K0 則模型有解P t K0 e at a e t 1 a K0 e at 1 a e a 1 t 1 a 由此不難證明 dP dt 0 而且有 P t 0 t 它表明只要控制污染的力度足夠大湖水 的污染程度將會不斷得到改善 情形 III 混合情形 在初期 湖泊屬于自由污染階段 當湖水被污染到一定的水平 將對污染 源加強管理和控制 降低排污量 模型 如果在初期我們有 Ps 0 PI K1 則湖水將在 t ln 1 1 達到 水平 的污染 即有 P t K1 此后對污染源加強管理 將排污量降低為 PI t K2 K1 t t 則 模型有解 ttKeKK tteK tP tt t 1 2 21 1 五 討論 1 蒸發(fā)與滲漏 輸出正比于湖水表面積 因此正比與湖水體積的 2 3 次方 2 離散動態(tài) 變連續(xù)的微分方程為離散的差分方程 3 污染物的變化