第五講 幾何原本和九章算術(shù).doc

第五講 幾何原本和九章算術(shù)在早期的數(shù)學(xué)中，我們可以看到兩種不同的也是基本的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)：演繹的公理化體系和構(gòu)造的算法體系。幾何原本和九章算術(shù)就是這兩種思想的代表。一、 幾何原本幾何原本是歷史上最早建立的演繹的公理化的體系。演繹的公理化體系是從有限的不加證明公理和定義出發(fā)，通過嚴(yán)格的邏輯推理推演出所有其他命題的一個有序的理論整體。約公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Eucild）將希臘當(dāng)時最為發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)-幾何用公理化的思想和嚴(yán)格的演繹推理的邏輯方法整理在一個體系之中，形成了幾何原本這本書。幾何原本的原名為原本（“Elements”），17世紀(jì)初，翻譯成中文時冠以幾何原本沿用至今。幾何原本中的素材并非是歐幾里得所獨創(chuàng)，它是對歐幾里得之前希臘數(shù)學(xué)的一個總結(jié)。歐幾里得幾何原本的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史上一個偉大的里程碑，它不僅是幾何學(xué)建立的標(biāo)志，同時也是公理體系在具體學(xué)科中應(yīng)用成功的標(biāo)志。(一) 幾何原本的基本內(nèi)容歐幾里得的幾何原本全書共十三卷，總共有475個命題（包括5個公設(shè)（Postulate）和5個公理（Axiom）。除幾何外，還包括初等數(shù)論，比例理論等內(nèi)容。第一篇有5個公設(shè)、5個公理和48個命題，討論全等形，平行線，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作圖法，等價形（有等面積的圖形）和平行四邊形。所有圖形都是由直線段組成的。歐幾里得在這篇中給出了23個定義提出了點、線、面、圓和平行線等概念。接著是五個公設(shè)：（I）從任意一點到任意一點可作直線。（II）有限直線可以繼續(xù)延長。（III）以任意一點為中心及任意的距離（為半徑）可以畫圓。（IV）所有直角都相等。（V）同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。其中第五個公設(shè)稱為歐幾里得平行公設(shè)，簡稱第五公設(shè)。公設(shè)之后是五個公理：（I）和同一量相等的諸量彼此相等。（II）等量加等量，總量仍相等。（III）等量減等量，余量仍相等。（IV）可以重合的量，彼此相等。（V）整體大于部分?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把“公設(shè)”和“公理”看作同義詞，使用時不加區(qū)別。但是歐幾里得采納了古希臘哲學(xué)家兼邏輯家亞里士多德（Aristotle）的觀點，即公理是適用于一切研究領(lǐng)域的原始假設(shè)，而公設(shè)則僅僅是適用于正在考慮的這一特定學(xué)科的原始假設(shè)。我們熟悉的畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）就是本篇的命題47和命題48。第二篇有14個命題，利用線段代替數(shù)來研究數(shù)運算的幾何代數(shù)法。比如，兩數(shù)的乘積變成兩邊長等于兩數(shù)的矩形的面積。第三篇有37個命題，討論圓以及與之有關(guān)的線和角等。第四篇有16個命題，討論圓的內(nèi)接和外切多邊形。第五篇有25個命題，討論量和量之比的比例理論。（當(dāng)時只對可公度量，后來推廣到一般量）第六篇有33個命題，利用比例理論討論相似形。第七、八、九篇共有102個命題，講述數(shù)論，即講述關(guān)于整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)。本篇把數(shù)看成線段，但論證并不依賴于幾何。第十篇有115個命題，對于給定量不可公度的量進(jìn)行分類。第十一篇有39個命題，討論空間直線與平面的各種位置關(guān)系第十二篇有18個命題，討論面積和體積。第十三篇有18個命題，主要討論五種正多面體。(二) 幾何原本的特點1. 封閉的演繹體系幾何原本是數(shù)學(xué)中最早形成的演繹體系。在形式上，它是以少數(shù)原始概念（不定義概念），如點、線、面（雖然幾何原本中“定義”了這三個概念，但后來的推演中卻沒有利用這些定義，而且這些定義只是幾何形象的直觀描述，嚴(yán)格他說并不能算作定義。因此一般仍將這三個概念看作幾何原本中的不定義概念）等等，和不證明的公設(shè)和公理為基礎(chǔ)，運用亞里士多德所創(chuàng)立的邏輯學(xué)，把當(dāng)時所知的幾何學(xué)中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個井然有序的整體。在這個整體中，除了推導(dǎo)時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此，幾何原本是一個封閉的體系。當(dāng)然，幾何原本在證明某些命題時確實運用了除公設(shè)、公理和邏輯之外的“直觀”。但是那只是個別現(xiàn)象，并不影響整個體系。另外，從幾何原本與當(dāng)時的社會生產(chǎn)、生活的關(guān)系看，它的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說，它也是封閉的。所以，幾何原本是一個比較完整的、相對封閉的演繹體系。2. 抽象化的內(nèi)容希臘人在研究幾何方面的功績之一是把數(shù)學(xué)變成抽象化的科學(xué)。希臘人之前，古埃及和巴比倫數(shù)學(xué)是經(jīng)驗的數(shù)學(xué)，計算田地大小，計算物體的書目，都有實際目的，而希臘人研究數(shù)學(xué)擺脫了實際，它們不關(guān)注這些概念和現(xiàn)實事物的關(guān)系，他們的幾何里沒有田地，也沒有一張桌子，他們竭力主張的是尋找事物的普遍性，想從自然界和人的思想的千變?nèi)f化的過程中，分離抽象出某些共同點，這種追求理性、講究邏輯的哲學(xué)思想使得幾何不再停留在經(jīng)驗的數(shù)量變化上，使對數(shù)學(xué)的認(rèn)識從感性階段提高到理性階段。因此，幾何原本中研究的都是一般的、抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，從一些給定的概念和命題出發(fā)演繹出另一些概念和命題。它不討論這些概念和命題與社會生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實原型。在幾何原本中研究了所有的矩形（即抽象的矩形概念）的性質(zhì)，但是從未討論一個具體的矩形實物的大小。幾何原本探討了數(shù)（自然數(shù)）的若干性質(zhì)，卻不涉及具體的數(shù)的計算及其應(yīng)用。它排斥各種理論的實際應(yīng)用，對抽象的尺規(guī)（無刻度的直尺和圓規(guī)）作圖卻推崇備至。重視抽象理論、而不注重數(shù)學(xué)理論的現(xiàn)實原型及其具體應(yīng)用，乃是該著作的顯著特點。3. 公理化的方法古希臘時期的數(shù)學(xué)主要是研究幾何。他們不僅把幾何形成了系統(tǒng)的理論，而且創(chuàng)造了研究數(shù)學(xué)的方法。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種基本表述方法和發(fā)展方式的公理化方法，在數(shù)學(xué)上就是以歐幾里得幾何原本為開端的。根據(jù)亞里士多德的想法，一個完整的理論體系應(yīng)該是一種演繹體系的結(jié)構(gòu)，知識都是從初始原理中演繹出的結(jié)論。歐幾里得幾何原本恰恰體現(xiàn)了這一想法，歐幾里得用盡可能少的原始概念和一組不證自明的命題（公設(shè)和公理），利用邏輯推理法則，對當(dāng)時的幾何知識重新組織，建成一個演繹系統(tǒng)。具體地看，在第一篇中開頭的5個公設(shè)和5個公理，是全書其它命題證明的基本前提，接著給出23個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。(三) 幾何原本的意義幾何原本中的數(shù)學(xué)思想，是古希臘數(shù)學(xué)思想的集中表現(xiàn)，既是古希臘時期對數(shù)學(xué)認(rèn)識的一個飛躍，同時它也是近代西方數(shù)學(xué)的主要源泉。巴比倫，古埃及的數(shù)學(xué)是經(jīng)驗的數(shù)學(xué)知識的積累，沒有嚴(yán)格證明，只有零零散散的知識，幾何原本根據(jù)幾何材料的內(nèi)在聯(lián)系，用概念作為判斷和推理的基礎(chǔ)逐步形成了數(shù)學(xué)證明的觀念，這是對數(shù)學(xué)認(rèn)識的一個質(zhì)的飛躍。幾何原本的誕生將人們的數(shù)學(xué)觀念提升到了一個很深的層次。幾何原本自成書之后，在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。它曾經(jīng)統(tǒng)治幾何學(xué)的學(xué)習(xí)，在世界各地以各種不同的文字，共出了千余版，僅次于圣經(jīng)，大約成為西方世界歷史中翻版和研究最廣的書，稱得上是世界上最杰出的課本。我國在明清兩代也有過譯本。它被奉為數(shù)學(xué)教育的依據(jù)，人們正是從這本書里認(rèn)識到數(shù)學(xué)是什么，證明是什么。正如斯威克（J. Swick）所說：“幾何原本對于職業(yè)數(shù)學(xué)家，這書常常有著一種不可逃避的迷惑力，而它的邏輯結(jié)構(gòu)大概比世界上任何其他著作更大地影響了科學(xué)思想?！倍嗌倌陙?，千千萬萬人通過歐幾里得幾何的學(xué)習(xí)得到了邏輯的訓(xùn)練，從而步入科學(xué)的殿堂。而且，幾何原本所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數(shù)學(xué)陳述模式而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)它們的發(fā)展。二、 九章算術(shù)九章算術(shù)，簡稱九章，作者不詳，是中國現(xiàn)存最古老的數(shù)學(xué)書，約成書于公元1世紀(jì)的東漢初期。秦始皇建立統(tǒng)一的封建帝國之后，統(tǒng)一了文字和度量衡制度；到了西漢，社會經(jīng)濟(jì)和文化得到迅速發(fā)展，因此有必要，也有可能對先秦時期已經(jīng)積累起來的、豐富的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行較為系統(tǒng)的整理，形成專門的數(shù)學(xué)理論。據(jù)史書記載，秦時掌管過國家圖書的張倉，西漢時的大司農(nóng)耿壽昌以及許商、杜忠等人都編寫過，或校訂過算書，九章算術(shù)就是在這些算書的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)總結(jié)了先秦和東漢初年我國數(shù)學(xué)成就，經(jīng)歷代名家補(bǔ)充、修改、增訂而逐步形成的。至遲在1世紀(jì)時，已有了現(xiàn)傳本的內(nèi)容?，F(xiàn)傳世的九章算術(shù)是三國時魏晉數(shù)學(xué)家劉徽于263年注釋的版本。(一) 九章算術(shù)的基本內(nèi)容九章算術(shù)是算經(jīng)十書中最重要的一種，“九章”是指書中內(nèi)容分為九章，“算”指算籌，簡稱“籌”，“術(shù)”指解題的方法，因而“算術(shù)”是指用籌演算的原理和方法，包括了現(xiàn)在所說的算術(shù)、代數(shù)和幾何的各種算法。九章算術(shù)的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。現(xiàn)將各章內(nèi)容簡介如下：第一章“方田”，列題38個，立術(shù)21條。著重介紹各種形狀地畝面積的計算與分?jǐn)?shù)的運算?！胺健庇袉挝幻娣e的意思，“方田”則是計算一塊田含多少個單位面積的方法。分?jǐn)?shù)的運算包括分?jǐn)?shù)的四則運算、約分、大小比較和求幾個分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均數(shù)等。第二章“粟米”，列題46個，立術(shù)33條，討論各種糧食之間互相兌換的問題?！八凇笔枪阮?。這類問題都通過比例來解決。第三章“衰分”，列題20個，立術(shù)22條，涉及的內(nèi)容比較雜，其算法大體上多屬于比例配分問題。“衰（音崔cui）”是按比例，“分”是分配。第四章“少廣”，列題24個，立術(shù)16條，專講開平方、開立方問題?！吧佟笔嵌嗌?，“廣”寬廣?！吧購V”是由已知面（體）積，求其一邊的寬廣是多少的問題。本章給出了“開方術(shù)”、“開圓術(shù)”、“開立方術(shù)”和“開立圓術(shù)”這四種重要算法。第五章“商功”，列題28個，立術(shù)24條，專講各種土木工程中所提出的各類幾何體體積的求解?！吧獭笔巧塘炕蚨攘浚肮Α笔枪こ?。第六章“均輸”，列題28個，立術(shù)28條，主要講處理行程和合理解決征稅的問題。第七章“盈不足”，列題20個，立術(shù)17條，主要講運用“盈不足術(shù)”解應(yīng)用問題，涉及的內(nèi)容多與商業(yè)有關(guān)。第八章“方程”，列題18個，立術(shù)19條，專講線性方程組的解法?！胺健本褪前岩粋€算題用算籌列成方陣的形式，“程”是度量總名，程式之意。另外本章還提出了正負(fù)數(shù)的不同表示法和加減運算法則。第九章“勾股”，列題24個，立術(shù)19條，主要研究勾股定理及其應(yīng)用。本章繼承和發(fā)展了商高提出的勾股定理，并且開創(chuàng)了直角三角形相似法和出入相補(bǔ)原理。(二) 九章算術(shù)的特點1. 開放的歸納體系從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出，書中所涉及的都是當(dāng)時社會生產(chǎn)和生活方面需要解決的數(shù)學(xué)問題。如，田畝測量、工程建設(shè)、交通運輸、稅收商業(yè)等，幾乎包括了當(dāng)時社會生產(chǎn)和生活的各個領(lǐng)域。因此它是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放體系。這與幾何原本追求邏輯的完美形成了鮮明的對照。九章算術(shù)的表述體系有兩個特點：一是先舉出某一社會生活領(lǐng)域中一個或幾個問題，由此歸納出解決這一類問題的一般方法一一術(shù)；再把該領(lǐng)域內(nèi)多類術(shù)歸總成章，得出解決該領(lǐng)域內(nèi)各類問題的方法。方田、商功、均輸、粟米、衰分等章都是這樣的表述方法。二是按解決某類問題所需要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，找出許多不同領(lǐng)域的問題都可應(yīng)用的相同計算方法，從中得出普遍的數(shù)學(xué)模型歸納成章。例如盈不足、方程、勾股、少廣等章為這類表述方法。無論哪一種表述方法，從知識體系的邏輯性角度看，采用的都是從個別到一般的歸納法體系。因此，綜觀全書，九章算術(shù)是一個開放的歸納體系。2. 算法化的內(nèi)容九章算術(shù)全書246個問題，均屬計算問題，并以計算法則一一術(shù)來構(gòu)建全書。即使幾何問題，討論的也是求積等方面的內(nèi)容，不專門論述或求證幾何圖形間或圖形的各元素間的關(guān)系，所以它是一本以算法為中心的經(jīng)典的數(shù)學(xué)名著，這與古希臘注重邏輯理論體系的數(shù)學(xué)名著幾何原本完全不同。3. 模型化的方法從數(shù)學(xué)方法論的角度看，九章算術(shù)普遍使用了數(shù)學(xué)模型方法。各章都是先從相應(yīng)的社會實踐中選擇具有典型意義的現(xiàn)實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術(shù)”使其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過程，即先給出數(shù)學(xué)模型，然后再舉出可以應(yīng)用的原型，例如，“勾股”、“方程”等章，其標(biāo)題就是數(shù)學(xué)模型的名稱。這種算法化的理論體系主要是由它的實用性為目的的指導(dǎo)思想所決定的。(三) 九章算術(shù)的意義1. 九章算術(shù)的成書標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成，其問題及思想方法對后世的影響巨大而深遠(yuǎn)九章算術(shù)從問世起，人們便由它來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。到隋唐時期開始建立國立學(xué)校，其中有算學(xué)科，該書被列為重要的教科書。在民間此書也廣泛流傳，所以，古代研究數(shù)學(xué)的人大都是從九章算術(shù)開始，有些人正是通過對它的研究取得重要成就，成為歷史上杰出的數(shù)學(xué)家，其中最著名的有劉徽、祖沖之父子、賈憲等。也就是說，九章算術(shù)不但在普及數(shù)學(xué)知識方面起過巨大作用，而且還在培養(yǎng)和造就數(shù)學(xué)家方面起到了促進(jìn)作用。九章算術(shù)在我國的影響還表現(xiàn)在著作體例方面。九章算術(shù)以后的許多數(shù)學(xué)著作都按其格式編寫，注重實用，不注意邏輯結(jié)構(gòu)，采用“問題一答案一算法”的體例。甚至一些著作的書名都沿用“九章”兩字，如數(shù)書九章、詳解九章算法等。2. 九章算術(shù)中的數(shù)學(xué)成就是多方面的它是世界上最早系統(tǒng)敘述分?jǐn)?shù)運算的著作；關(guān)于負(fù)數(shù)的論述也是世界上最早的。印度發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的記錄最早見于7世紀(jì)。表示負(fù)數(shù)的梵文，與漢人的“負(fù)”字相同，這證明我國負(fù)數(shù)概念對印度數(shù)學(xué)是有影響的。至于西歐，直到17世紀(jì)才認(rèn)識負(fù)數(shù)。當(dāng)九章算術(shù)中的各種比例算法傳到歐洲時，引起了歐洲人的極大興趣，他們稱之為“黃金算法”，認(rèn)為它是各種算法中最寶貴的算法。我國古代叫這種算法為“今有術(shù)”，它早于印度數(shù)學(xué)書籍所載的“三率法”。九章算術(shù)用“盈不足術(shù)”來解決算術(shù)中的難題。這種算法約在9世紀(jì)傳入阿拉伯，13世紀(jì)轉(zhuǎn)傳入歐洲后，得到廣泛的運用和發(fā)展。阿拉伯人把盈不足術(shù)叫做“契丹算法”，從這個名稱演變出“震旦”（中國）一詞，可見它確系由我國傳播出去的。3. 九章算術(shù)對中國周邊國家數(shù)學(xué)及社會的發(fā)展也有一定的作用在隋唐時期九章算術(shù)就已傳入朝鮮、日本。對日本、朝鮮等東方諸國的數(shù)學(xué)發(fā)展有過很大作用。人們現(xiàn)在越來越認(rèn)識到九章算術(shù)不僅對我國古代數(shù)學(xué)影響極大，而且對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也起著重要的作用，因而引起各國學(xué)者、專家的重視，前蘇聯(lián)、日本、德國、英國等國都有九章算術(shù)譯本。4. 九章算術(shù)的思想方法不僅對古代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響，而且也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想發(fā)展的源泉在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，一再重現(xiàn)這種思想。如在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生初期，就不是靠理論的嚴(yán)格，而是靠實際應(yīng)用的成功