高斯模糊公式原理分析.doc

最近有感于部分網(wǎng)友對高斯模糊濾鏡的研究，現(xiàn)總結(jié)如下。高斯模糊是數(shù)字圖像模板處理法的一種。其模板是根據(jù)二維正態(tài)分布（高斯分布）函數(shù)計(jì)算出來的。正態(tài)分布最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到，C.F.高斯在研究測量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它，P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。一維正態(tài)分布的函數(shù)定義：在這個(gè)函數(shù)中，第一個(gè)參數(shù)是遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(,2)。遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量其概率規(guī)律為：取鄰近的值的概率大，而取離越遠(yuǎn)的值的概率越??；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點(diǎn)是：關(guān)于對稱，在處達(dá)到最大值，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在處有拐點(diǎn)。它的形狀是中間高兩邊低，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。當(dāng)=0，2=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)。兩個(gè)參數(shù)的意義：期望，2方差。下面我們解決第一個(gè)疑問：高斯模糊濾鏡中的半徑是什么？答案是高斯半徑就是公式中的。高斯曲線的圖形和半徑的含義如下圖（來自Adobe SDK中技術(shù)支持專家的文檔）所示：由此可見高斯半徑（）對曲線形狀的影響：越小，曲線越高越尖，越大，曲線越低越平緩。對二維圖像來說，是一個(gè)鐘形曲面，高斯半徑越小，曲面越高越尖越陡峭；高斯半徑越大，曲面越低越平緩。因此高斯半徑越小，則模糊越小，高斯半徑越大，則模糊程度越大。我們將看到PS對高斯半徑的范圍定義是0.1250。當(dāng)半徑為0.1時(shí)，高斯模板在計(jì)算后只有中間像素為1，其他像素均為0（實(shí)際上只是趨近0），即圖像不會有變化。第二個(gè)疑問，高斯模板大小和高斯半徑的關(guān)系？這是一個(gè)一直困擾我們的誤解。因?yàn)槲覀兊乃季S進(jìn)入了物理實(shí)現(xiàn)的誤區(qū)。在物理實(shí)現(xiàn)中，高斯模板有界，從而使我們忽略了這個(gè)問題的真正答案：高斯模板在邏輯上是無邊界的。也就是說高斯模板本質(zhì)上是邏輯上無窮拓展曲面的一個(gè)近似。因此，模板大小我們應(yīng)該認(rèn)為它是無窮大的。只不過在計(jì)算的時(shí)候，因?yàn)樵谶h(yuǎn)處趨近0，因此在某個(gè)閾值之下我們不再考慮這些值，這個(gè)閾值就是模板邊界。下面為二維高斯曲面的公式（x,y代表像素的模板坐標(biāo)，模板中心位置為原點(diǎn)）：即：g(x,y) = ( 1 / (2*pi*2) ) * exp( -(x2+y2)/(2*2) ) ;根據(jù)這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出不同半徑下的高斯模板，實(shí)際上模板是無窮大的，只是在中心較遠(yuǎn)處，他們會趨近0。例如，我們計(jì)算出r=0.7時(shí)的一個(gè)歸一化后的高斯模板：高斯模板（guass radius=0.700000）/guass radius=0.7000000.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000012 0.000033 0.000012 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000093 0.001976 0.005481 0.001976 0.000093 0.000001 0.000000 0.000000 0.000012 0.001976 0.042189 0.117046 0.042189 0.001976 0.000012 0.000000 0.000000 0.000033 0.005481 0.117046 0.324724 0.117046 0.005481 0.000033 0.000000 0.000000 0.000012 0.001976 0.042189 0.117046 0.042189 0.001976 0.000012 0.000000 0.000000 0.000001 0.000093 0.001976 0.005481 0.001976 0.000093 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000012 0.000033 0.000012 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 在網(wǎng)絡(luò)上眾所周知流傳的高斯3*3模板實(shí)際上是對高斯曲面的一個(gè)整數(shù)除法形式的近似：1 2 12 4 2 /161 2 1實(shí)際驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)3*3模板實(shí)際上是對高斯半徑約為0.849時(shí)的一個(gè)近似，當(dāng)r=0.849時(shí)，其3*3歸一模板為（在MATLAB中，輸入h=fspecial(gaussian, 3, 0.849)即可得到這個(gè)模板）：(guass radius=0.849000)0.062467 0.125000 0.062467 0.125000 0.250131 0.125000 0.062467 0.125000 0.062467然后我們可以用Matlab中的imfilter來對圖像進(jìn)行高斯模糊的處理：img = imread(c:demo.bmp);h = fspecial(gaussian, 3, 0.849);img2 = imfilter(img, h);subplot(121), imshow(img); title(原圖)subplot(122), imshow(img2); title(高斯模糊后) 效果如下：我們可以在Matlab中用如下語句繪制高斯曲面：繪制高斯曲面的Matlab代碼%繪制高斯模糊曲面！-r=0.849; %高斯半徑（從0.1到250）x=-3:0.2:3;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);Z=exp(-(X.2+Y.2)./(2*r*r)/(2*pi*r*r);mesh(X,Y,Z)效果如下圖：在數(shù)字信號處理中，高斯模糊算法是一種濾波器，它的時(shí)域和頻域曲線如下所示：從頻域曲線看出，高斯模糊本質(zhì)上一種低通濾波器。體現(xiàn)在圖像處理上，圖像的邊緣等灰度變化劇烈的地方對應(yīng)高頻信息，將被濾除。最后，我們給出計(jì)算高斯模糊模板的C語言代碼，請注意，由于高斯模板是對稱的，實(shí)際上我們只需要計(jì)算出大約1/4模板即可。但這里的代碼我們沒有做這樣的優(yōu)化。我們輸出的模板是(2*N+1)*(2N+1)，高斯半徑用r表示。計(jì)算高斯模板#include #include #define N 3 /* 模板大?。?2N+1) * (2N+1) */void main()double a2*N+12*N+1; /* 高斯模板 */double r=0.6; /* 高斯半徑： 0.1, 250 */double A=1/(2*M_PI*r*r);int i,j;for(i=-1*N;i=N;i+)for(j=-1*N;j=N;j+)ai+Nj+N=A*exp(-1)*(i*i+j*j)/ (2*r*r);同時(shí)，作為比較，我們給出在Matlab中生成高斯模板的代碼（fspecial的代碼局部，其中p3是第三個(gè)參數(shù)即高斯半徑）：計(jì)算高斯模板（Matlab）case gaussian % Gaussian filtersiz = (p2-1)/2; %注：p2即模板邊長，默認(rèn)值為33std = p3; %注：p3即高斯半徑，默認(rèn)為為0.5x,y