高中數(shù)學(xué)的七種距離.pdf

高 裳 弛 黲 中學(xué)生數(shù) 學(xué) 2 0 1 4 年 1 月上 第 4 8 1期 高 中 赫 數(shù) 學(xué) 的 七 種 躐 華南 師范 大學(xué) 數(shù)學(xué) 科學(xué)學(xué) 院 5 1 0 6 3 1 趙瑜 一 高中數(shù)學(xué)中的七種距離 高中階段 我們要求掌握 的距離 主要有七種 點(diǎn) 與 點(diǎn) 點(diǎn)與線(xiàn) 點(diǎn)與面 線(xiàn)與 線(xiàn) 線(xiàn) 與面 面與面 這六種距 離是在必 修教材 中要求掌握 的 內(nèi)容 屬 于歐 氏幾 何學(xué) 內(nèi)容 第七種 即兩點(diǎn)的球 面距離 在選修 3 3 球面上 的幾何 中出現(xiàn) 它可以說(shuō) 是學(xué) 生第一次接觸 的非歐兒 何的 內(nèi)容 是球 面兒何 中的距 離 問(wèn)題 但 是 由于 球 面 幾何與歐氏幾何有著很大的聯(lián) 系 大 j 此 在學(xué) 這一部分 內(nèi)容 的時(shí)候 我們 通常 采用 歐 氏化 的研究方 法來(lái) 得 m 相關(guān) 結(jié) 論 下 面 我們對(duì)這幾種距離問(wèn)題進(jìn)行分 析 并 總結(jié)歸 納其求 解的方法 和思 路 1 點(diǎn)點(diǎn)距離 點(diǎn)點(diǎn)距 離指的是平 面上 的兩點(diǎn)距 離 是 我們 最早 接觸到的距 離問(wèn)題 在 初一 我們 已經(jīng)知 道 兩點(diǎn) 之間 線(xiàn)段最短 兩點(diǎn)距離 即兩點(diǎn)線(xiàn)段 長(zhǎng) 關(guān)于它 的求解方法 有 如 下 幾 種 1 幾 何 方 法 在眾多求兩點(diǎn)距離的方法 中 最直接 的便 是度量 這是一種好方法 在現(xiàn)實(shí)生活 中我們 也經(jīng)常使 用 但在 某些問(wèn)題 中 我們發(fā) 現(xiàn)度量 并不容 易 尺 子是否夠 長(zhǎng) 兩點(diǎn)之 間能否連線(xiàn) 那么 這就需要借助其他T 具了 在初 中 我們可 以通過(guò)構(gòu) 造全等三角 形的方 法 把 要求 的線(xiàn)段 轉(zhuǎn) 化 成 已知 或 方便 測(cè) 量 的線(xiàn)段 到 了 高 中 我們 還 可 以所求 線(xiàn) 段 為三 角 形 的一 邊構(gòu)造 三角 形 通 過(guò)解 三角形 的方 法 求 得線(xiàn) 段 長(zhǎng) 這些 都 是從幾何性 質(zhì)方 面來(lái)求解 2 解 析 幾 何 方 法 口 2 2 l 1 j 當(dāng)我們 引入坐標(biāo) 系后 我 們發(fā) 現(xiàn)點(diǎn)在 平面上 的位置 可 用坐 標(biāo) 表 示 出來(lái) 如 圖 2所 示 A zl Y B 2 y 2 貝 有兩點(diǎn)距離公式可得 l AB1 一A 圖 1 l z 2 y l y 2 類(lèi) 網(wǎng)2 似地 在空間 中 我們 也可 以建立 空間直 角 標(biāo) 系 得 到點(diǎn) A l 1 B z Y 2 z 的距 離 為 I AB i 1 一 2 l y 2 l 2 3 向量 方法 在必修 4中 我們引 入了向量 一 具 這 時(shí) 兩點(diǎn) 距 離便可以看成是 套的模 若將平而看成三維空間的特 殊情況 則在三維空間中 若蕊 一 y o 則I 1 一 F 從幾何意義上解釋 此時(shí) l 蕊 l 即為 以 A B為對(duì) 角線(xiàn) 的平行 六 面 體 的對(duì) 角線(xiàn) 長(zhǎng) 在平 面 中 即為 以 A B為相對(duì)頂 點(diǎn)的平行 四邊形對(duì)角線(xiàn) 長(zhǎng) 2 點(diǎn)線(xiàn)距離 點(diǎn)到直線(xiàn)距離為直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)所 做的垂線(xiàn) 段 的 長(zhǎng) 1 幾何 方法 根據(jù)定義 只需作 H 點(diǎn)到直線(xiàn) 的垂線(xiàn)段 即可求 在 初 中 我們已經(jīng)能解決 很 多點(diǎn)到 直線(xiàn) 線(xiàn)段 距 離 的問(wèn) 題 求二角形 的高就 是一個(gè) 很經(jīng) 典 的應(yīng) 用 通 常 我 們 是用等面積法或 解直 角三 角形 的方 法來(lái) 解決 到 了高 中 我們學(xué)習(xí) 了空 間立體 幾何 仔細(xì) 分析 l其實(shí)與初 中 的平 面幾何并 無(wú)不 同 同樣可 以利用解 三角 形 的有 關(guān) 知識(shí)來(lái)解決 問(wèn)題 I 2 解析幾何方法 解析 幾何 是高 中數(shù) 學(xué) 的一 個(gè)重 要 內(nèi)容 通過(guò) 建立 平面直角 坐標(biāo) 系 很多幾何問(wèn)題 便 可 以通過(guò)代 數(shù)的方 法得 以解決 在點(diǎn)線(xiàn)距離這 個(gè)問(wèn)題 中 我 們用 Ar B y C一0表示直線(xiàn) l 用 y 表示點(diǎn) P 那 么 點(diǎn) P到 直線(xiàn) 的距離即為d 一上 3 向量方法 有 了向量 具 后 如 圖 3 我 們可 以把直線(xiàn) 的方向 向量設(shè) 為 z 那 么 在直 線(xiàn)上 任取 一點(diǎn) Q與 P形成的向量為 設(shè) f 一 根據(jù)點(diǎn) 到 直線(xiàn) 距離 的定 義 則 有 d f Qp s i n O 而 由向量 的數(shù) 量積 可得 o s 一 再 圖3 根據(jù) 同角 三角 函數(shù) 關(guān)系 s i n C O S 目 一l 聯(lián) 立 以 L i 網(wǎng)址 Z X S S c b p t c n k i n e t 3 6 電 子 郵 箱 zx ss chinajou rn a1 net cn 寸 學(xué) 蜜 學(xué) 中學(xué)生數(shù) 學(xué) 2 0 1 4年 1月上 第 4 8 1 期 高中 式 即 可得 若建立直 角坐標(biāo) 系運(yùn)算 只需將各 量用坐標(biāo)表示 同樣 的思路方法 即可求解 3 點(diǎn)面距離 這時(shí)我們的思維已經(jīng)從二維到 了三維的空間中 面 外一點(diǎn)到該面的距離 其實(shí)就是過(guò)該點(diǎn)作該面的垂線(xiàn)后 垂足與該點(diǎn)之間的距離 這就變成了兩點(diǎn)之間距離了 1 幾何方法 等體 積法 在空 間立體幾 何 中 我們 可 以把求 點(diǎn)到面 的距 離 的問(wèn)題看成是求錐體 的高 的問(wèn)題 或者反 過(guò)來(lái)說(shuō) 求 錐 體 中某頂 點(diǎn)所作 的高 其 實(shí)就是求 該頂點(diǎn) 到底 面所在 平面 的距離 問(wèn)題 在各省的高考題 中很受 青睞 而且 很 多都 以求體積 的形式 出現(xiàn) 如 2 0 1 2年 廣 東文 科 如圖 4所 示 在 四棱 錐 P A BC D 中 ABJ 平 面 P AD A B C D PD AD E 是 P B 的中點(diǎn) F是 C D 上 的點(diǎn) A 1 且 DF 一 A B PH 為 圖 4 P AD 中AD邊 上 的高 證 明 PH上 平面 A BC D 若 PH 1 AD F C 1 求 三棱 錐 E B C F的 體積 證明 E F L平面 P AB 此題第 問(wèn)欲求體積必先求高 即是此種 類(lèi)型 大 家不妨一試 2 向量 方法 若用 向量方法來(lái)解這類(lèi) 型問(wèn)題 如圖 5 所 示 設(shè)平 面 a的法 向量 為 在 a上找 一 點(diǎn) A 設(shè) A P 一0 則 d l 1 I c o s 0 l 其 中 C O S 0 刪一 4 線(xiàn)線(xiàn)距離 圖 5 線(xiàn)線(xiàn) 距離 即兩 線(xiàn) 的公垂 線(xiàn) 段 的長(zhǎng) 若 兩直 線(xiàn) 平 行 那么在其 中一 直線(xiàn) 上任 取一 點(diǎn)作另一直 線(xiàn)的垂線(xiàn) 垂足與該點(diǎn)距離即為所求 由于 點(diǎn)的任意性 因此并不 難解決 這里重點(diǎn)討論異 面直線(xiàn) 的情況 1 幾何 方法 異面直線(xiàn)距 離 的 困難 之處 在 于公 垂 線(xiàn)段 難 以確 定 一旦 找到 問(wèn)題便 化 歸為兩點(diǎn) 距離 的 問(wèn)題 了 如何 找一條直線(xiàn)與 已知直線(xiàn) n b 垂直且相交 呢 如 圖 6 作 直線(xiàn) b的平行線(xiàn) b 與 a交 于點(diǎn) O 則 b 和 a確定 了平 面 a 過(guò) O作平面 a的垂線(xiàn) 交 直線(xiàn) b于點(diǎn) P 可證 O P為 兩直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段 但在 實(shí) 際 題 目 中 很 難恰 好構(gòu)造 出這樣 的一個(gè) 圖6 平面 即便構(gòu)造成功 過(guò) O的垂線(xiàn)有時(shí)也不易作 出 2 向量 方 法 有 了 向量 工 具 后 一 切便簡(jiǎn) 單 些 其 思 路 其 實(shí) 是受上 面 的 啟發(fā) 得 到 的 用 b表示直 線(xiàn) a b的方 向向量 由平 面 向量 基本 爭(zhēng) 圖 7 定理 平 面 a可 表示 為 即可求 出該平面 的法 向量 在直 線(xiàn) b上任 找一 點(diǎn) 即變成 了點(diǎn)面距離問(wèn)題 5 線(xiàn) 面 距 離 線(xiàn)面距離 指的是 與一平 面平 行的直線(xiàn) 與該 平面的 距離 在這里 我們 主要采 用 的是 降維 的思 想 把線(xiàn) 面距 離轉(zhuǎn) 化為線(xiàn)線(xiàn)距 離或者 點(diǎn)面距離去解 決問(wèn)題 若用 向量 的方 法 則 可設(shè)平 面 的法 向量 直線(xiàn)上 一 點(diǎn) P到平面上一點(diǎn) O連線(xiàn) 0不是 P在該 平面上 的 射 影 則d 一 孿 1 6 面 面 距 離 兩平 面平行 則 要求 兩平 面距 離 可通過(guò) 轉(zhuǎn)化 為線(xiàn) 面距離 線(xiàn)線(xiàn)距離或點(diǎn)面距離來(lái)求解 這里不做贅述 7 球 面距 離 在人教版選修 3 3中 我們 給出 了球 面上的兩點(diǎn) 距離 即過(guò)球上兩點(diǎn) A B和球 心 的平面 截球 面 得到 一 個(gè) 圓 這個(gè)圓是 大 圓 大 圓上 的兩 點(diǎn) A B把大 圓分 成兩段 圓弧 短 的一 段 即劣弧 的長(zhǎng)度就 是球 面上這 兩點(diǎn) 的最 短路 徑 即球面上兩點(diǎn) 的距離 求大圓的弧長(zhǎng) 關(guān) 鍵是求 弧長(zhǎng)所對(duì) 的圓心角 如圖 8 設(shè) A0 B一0 球 半 徑為 R 若 弦 AB的 長(zhǎng)度 為 d 則 問(wèn)題 轉(zhuǎn) 化 為 已 知 一 個(gè) 等 腰 三 角 形 AO B 的腰 和底 邊 長(zhǎng) 求 頂 角的問(wèn) 題 由余 弦定 理 可 得 圖8 c s 所 以球 面 上 A B 兩 點(diǎn) 的 距 離 即 為 Rar c c os 2 R2 d2 下轉(zhuǎn) 第 4 3頁(yè) 網(wǎng)址 Z X S S c b p t c n k i n e t 3 7 電 子 郵 箱 zx ss chin ajourn a1 n et crl 高 鶯 圍 詒 彰 諺 寸 拳 中學(xué)生數(shù)學(xué) 2 0 1 4 年 1 月上 第 4 8 1 期 高中 w e s lv e 窘 一 1 0 0 0 n te g ra te b t And e v a l ua t e J 而 麗 一 Jl Ge t t i n g l n y I n 1 0 0 0 一 一 l O 0 0 k t C1 0r 1 n l O0 0 y一 一 1 O 0 0 k f C1 1 0 OO y e 1 0 0 n e C 1 I e t e C l C t h e n we h a v e l O OO y Ce 一1 h 學(xué) 1 0 0 0 1一 CP l 1 0 0 0 1 C 1 h 1 00 00 1 扣 Th u s 一 o 1 C u s 一 e lo oo U P l u g 1 0 0 wh e n剮 i n y 一 1 o O 一 c Pl u g y 一 4 0 0 wh e n t一 1 a n d C 一 9 i n y o 4 0 0 一雨 甘 e 0 o 1 6 6 7 Pl ug 一 2 C一 9 e 1 6 6 7 i n O v 一 8 0 0 一再百 麗 上接 第 3 7頁(yè) 二 總結(jié)與反思 1 處處體現(xiàn) 化歸思想 把 高維 的物體 降維處 理 例如 把面 面距 離 轉(zhuǎn)化 為 線(xiàn)面距離 點(diǎn)面距 離甚 至點(diǎn)點(diǎn)距 離 球 面兩點(diǎn)距離本 是 一 個(gè) 陌生 的距離定義 但是通過(guò)圖像 我們 同樣可 以把 它轉(zhuǎn)化為歐 氏幾何 中的熟悉方法來(lái)做 降維 和 歐 氏 化 實(shí) 際上都是把不熟悉 的轉(zhuǎn)化 為熟悉 的 把立體 的轉(zhuǎn) 化為平面的 把未 知的轉(zhuǎn)化 為已知的 從 而達(dá)到解決 問(wèn) 題 的目的 2 三角形是關(guān)鍵 單從幾何方法來(lái) 看 我們 不難發(fā) 現(xiàn)上述 的多種 距 離幾 乎都是轉(zhuǎn) 化到三 角形 中去求解 利用 三角 函數(shù)關(guān) 系 正弦定理 和余 弦定理解 三角形其 實(shí)就是 這種距 離 題 目的關(guān)鍵所在 3 向量 是 好 工 具 向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁 有 了向量 工具 很 多從幾 何性質(zhì)方 面思考 較為 困難 的 問(wèn)題 在 向量的幫 助下 變得簡(jiǎn)單很 多 思維量減少 了不少 當(dāng)然 如果想 多訓(xùn) 練空間想 象能力 和思維 能力 向量方法便 要遜 于 幾 何方 法了 4 歸納反思 選擇最佳方法 距離 問(wèn)題 是高 中數(shù) 學(xué) 的一個(gè)很 重要 的組 成 內(nèi)容 其內(nèi)容跨 度也很 大 平常學(xué) 習(xí)時(shí)應(yīng) 注意總結(jié)歸納 特別 是在空間向量一章 學(xué)完 之后 對(duì) 于空間立 體圖 形的題 目 我們有 了更 多的方 法解題 到底哪種 方法 更方 便 這就需要我們平常注意對(duì) 比分析 及