高中數(shù)學(xué) 1.3.2 “楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)復(fù)習(xí)課件 新人教A版選修23.ppt

1 3 2 楊輝三角 與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1 了解楊輝三角 并能由它解決簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題 2 了解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用 3 掌握 賦值法 并會(huì)靈活應(yīng)用 本節(jié)重點(diǎn)是二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用本節(jié)難點(diǎn)是楊輝三角的特點(diǎn) 1 楊輝三角的特點(diǎn) 1 在同一行中 每行兩端都是1 與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù) 2 在相鄰的兩行中 除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它 肩上 兩個(gè)數(shù)的 即 相等 和 2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 增大 減小 在 a b n展開(kāi)式中 與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等 即 當(dāng)k 時(shí) 二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸 的 當(dāng)k 時(shí) 二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸 的 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 中間的一項(xiàng) 取得最大 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 中間的兩項(xiàng) 相等 且同時(shí)取得最大值 1 觀察楊輝三角 歸納猜想出第幾行的各個(gè)數(shù)字都是奇數(shù) 提示 從表中可看出第一行 第二行 第四行 第八行 都是奇數(shù) 歸納得出第2n 1行 n 1 2 3 都是奇數(shù) 2 1 x 10的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為 解析 a b n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n 只與n有關(guān) 故二項(xiàng)式系數(shù)之和為210 答案 210 3 1 x 10的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 解析 令x 1即可得到各項(xiàng)系數(shù)之和為0 答案 0 1 關(guān)于 楊輝三角 的規(guī)律拓展 1 楊輝三角的第2n 1行各個(gè)數(shù)都是奇數(shù) 2 如圖 1 第n條橫線與第n 1條橫線數(shù)字之和等于第n 2條橫線上數(shù)字之和 3 如圖 2 每一斜行任取n個(gè)數(shù)字之和都等于第n個(gè)數(shù)字右下 腳 的數(shù)字 2 對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的深層理解 1 對(duì)稱(chēng)性 源于組合數(shù)的性質(zhì) 基礎(chǔ)是 然后從左右向中間靠攏 便有 2 最大值 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí) a b n的展開(kāi)式共n 1項(xiàng) n 1是奇數(shù) 這時(shí)展開(kāi)式的形式是中間一項(xiàng)是第 1項(xiàng) 它的二項(xiàng)式系數(shù)是 它是所有二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí) a b n的展開(kāi)式共有n 1項(xiàng) n 1是偶數(shù) 這時(shí)展開(kāi)式的形式是中間兩項(xiàng)是第項(xiàng) 它們的二項(xiàng)式系數(shù)是 這兩個(gè)系數(shù)相等 并且是所有二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值 楊輝三角的有關(guān)問(wèn)題 技法點(diǎn)撥 楊輝三角問(wèn)題解決的一般方法觀察 分析 實(shí)驗(yàn) 猜想 結(jié)論 證明 要得到楊輝三角中蘊(yùn)含的諸多規(guī)律 取決于我們的觀察能力 觀察能力有 橫看 豎看 斜看 連續(xù)看 隔行看 從多角度觀察 如表所示 表達(dá) 規(guī)律 觀察 結(jié)論 對(duì)數(shù)據(jù)要橫看 豎看 斜看 連續(xù)看 隔行看 多角度觀察 通過(guò)觀察找出每一行的數(shù)之間 行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律 將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá) 由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論 典例訓(xùn)練 1 如圖所示 滿(mǎn)足 第n行首尾兩數(shù)均為n 表中的遞推關(guān)系類(lèi)似楊輝三角 則第n行 n 2 的第2個(gè)數(shù)是 2 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1 偶數(shù)換成0 得到如圖所示的0 1三角數(shù)表 從上往下數(shù) 第1次全行的數(shù)都為1的是第1行 第2次全行的數(shù)都為1的是第3行 第n次全行的數(shù)都為1的是第 行 第61行中1的個(gè)數(shù)是 解析 1 由圖中數(shù)字規(guī)律可知 第n行的第2個(gè)數(shù)是 1 2 3 n 1 1 答案 2 觀察可得第1行 第3行 第7行 第15行 全行都為1 故第n次全行的數(shù)都為1的是第2n 1行 n 6 26 1 63 故第63行共有64個(gè)1 逆推知第62行共有32個(gè)1 第61行共有32個(gè)1 答案 2n 132 變式訓(xùn)練 如圖所示 在楊輝三角中 斜線ab上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列 1 2 3 3 6 4 10 記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn 求s19 解析 由題干圖知 數(shù)列中的首項(xiàng)是 第2項(xiàng)是 第3項(xiàng)是 第4項(xiàng)是 第17項(xiàng)是 第18項(xiàng)是 第19項(xiàng)是 s19 有關(guān)二項(xiàng)式及系數(shù)和的問(wèn)題 技法點(diǎn)撥 1 解決二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題思維流程 求二項(xiàng)式系數(shù)的和 切入點(diǎn) 思考點(diǎn) 思維流程 對(duì)式子中的x賦值 目的是將二項(xiàng)式的系數(shù)分離出來(lái) 怎么對(duì)x賦值 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)和最高次項(xiàng)系數(shù)如何求出 如何得到所求值的代數(shù)關(guān)系 對(duì)x賦值 變形 結(jié)論 2 賦值法 1 賦值法 是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題常用的方法 注意取值要有利于問(wèn)題的解決 可以取一個(gè)值或幾個(gè)值 也可以取幾組值 解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況 2 一般地 二項(xiàng)展開(kāi)式f x 的各項(xiàng)系數(shù)和為f 1 奇次項(xiàng)系數(shù)和為 f 1 f 1 偶次項(xiàng)系數(shù)和為 f 1 f 1 典例訓(xùn)練 展開(kāi)式中不含x4項(xiàng)的系數(shù)的和為 a 1 b 0 c 1 d 22 在的展開(kāi)式中 所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024 則中間項(xiàng)系數(shù)是 3 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 解析 1 選b 令 a0 a1x a8x4 令x 1 得a0 a1 a8 含x4項(xiàng)的系數(shù)為 所以不含x4的項(xiàng)的系數(shù)和為1 1 0 2 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n 而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等 故由題意知2n 1 1024 n 11 展開(kāi)式共12項(xiàng) 中間項(xiàng)為第六項(xiàng) 第七項(xiàng) 其系數(shù)為答案 462 3 1 令x 0 則a0 1 令x 1 則a7 a6 a1 a0 27 128 a1 a2 a7 129 2 令x 1 則 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 4 7 由 得a1 a3 a5 a7 128 4 7 8256 3 由 得a0 a2 a4 a6 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 128 4 7 8128 互動(dòng)探究 題1的條件不變 求不含常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為多少 解題指南 先求出常數(shù)項(xiàng) 再結(jié)合所有系數(shù)和求解 解析 常數(shù)項(xiàng)為28 256 所以不含常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 256 255 思考 解決題1 2的關(guān)鍵點(diǎn)及解決題3的方法是什么 提示 1 解決題1 2的關(guān)鍵是采用賦值法逆向求解 2 形如題3常見(jiàn)的方法是賦值法 變式訓(xùn)練 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a7 解析 1 當(dāng)x 1時(shí) 1 2x 7 1 2 7 1 展開(kāi)式右邊為a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 1 當(dāng)x 0時(shí) a0 1 a1 a2 a7 1 1 2 2 令x 1 a0 a1 a2 a7 1 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 得 2 a1 a3 a5 a7 1 37 a1 a3 a5 a7 3 由展開(kāi)式知 a1 a3 a5 a7均為負(fù) a0 a2 a4 a6均為正 由 2 中 得 2 a0 a2 a4 a6 1 37 a0 a2 a4 a6 a0 a1 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 37 利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解相關(guān)問(wèn)題 技法點(diǎn)撥 二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)與展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法 1 求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng) 可根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 2 求展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的 需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正 負(fù)變化情況 一般采用列不等式組 解不等式組求范圍的方法求得 典例訓(xùn)練 1 x 2y 7展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 2 在 x y 11的展開(kāi)式中 解答下列問(wèn)題 1 通項(xiàng)tr 1 2 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 3 項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng) 4 項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng) 5 項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng) 6 二項(xiàng)式系數(shù)的和 7 各項(xiàng)系數(shù)的和 解析 1 展開(kāi)式中共有8項(xiàng) 系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng) 即在第一 三 五 七這四項(xiàng)中取得 又因 x 2y 7括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值 故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右 故只需要比較t5和t7兩項(xiàng)系數(shù)大小即可 系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng) 2 1 2 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng) 3 項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng) 4 因?yàn)橹虚g兩項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等 一正一負(fù) 第7項(xiàng)為正 故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為 5 項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為 6 二項(xiàng)式系數(shù)的和為 7 各項(xiàng)系數(shù)和為 1 1 11 0 互動(dòng)探究 若將題1改為 x 2y 7 如何求解 解題指南 求展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng) 首先要分清n的奇偶 才能把握最大項(xiàng)是一項(xiàng)還是兩項(xiàng) 一般是列出不等式組 假設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大 則第r 1項(xiàng)的系數(shù)就大于等于它前面所有項(xiàng)的系數(shù) 同時(shí)又大于等于它后面所有項(xiàng)的系數(shù)即可 解析 設(shè)r 1項(xiàng)系數(shù)最大 則有即又 0 r 7 r 5 系數(shù)最大的項(xiàng)為 想一想 解決題2的關(guān)鍵點(diǎn)和注意事項(xiàng)是什么 提示 1 讀清題意是解決題2的關(guān)鍵 注意 系數(shù)絕對(duì)值最大 二項(xiàng)式系數(shù)最大 系數(shù)最大 系數(shù)最小 等幾個(gè)關(guān)鍵詞 靈活選取方法 2 借助前問(wèn)解題 如 4 5 兩問(wèn) 只需將 3 問(wèn)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析即可 在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加以重視 變式訓(xùn)練 2012 梅州高二檢測(cè) 1 在的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為512 求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng) 指數(shù)為整數(shù) 2 求 1 x 3 1 x 4 1 x n展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù) 解析 1 n 1 9 n 10 z r 0 6 所以有理項(xiàng)為 2 x2項(xiàng)的系數(shù)為 易錯(cuò)誤區(qū) 審題疏忽導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤 典例 已知 2x 1 n二項(xiàng)展開(kāi)式中 奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次項(xiàng)系數(shù)的和小38 則的值為 a 28 b 28 1 c 27 d 27 1 解題指導(dǎo) 解析 選b 設(shè) 2x 1 n a0 a1x a2x2 anxn 且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為a 偶次項(xiàng)的系數(shù)和為b 則a a1 a3 a5 b a0 a2 a4 a6 由已知可知 b a 38 令x 1 得 a0 a1 a2 a3 an 1 n 3 n 即 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 3 n 即 b a 3 n 3 n 38 3 8 n 8 由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得 閱卷人點(diǎn)撥 通過(guò)閱卷后分析 對(duì)解答本題的常見(jiàn)錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下 即時(shí)訓(xùn)練 2012 武威高二檢測(cè) 若展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32 其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 用數(shù)字作答 解析 令x 1得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n 由題意知2n 32 故n 5 展開(kāi)式的通項(xiàng)式是令10 5r 0得r 2 因此展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為答案 10 1 已知 2 x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 則a8 a 180 b 180 c 45 d 45 解析 選a 2 1 x 13展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)為 a 第六項(xiàng) b 第七項(xiàng) c 第八項(xiàng) d 第九項(xiàng) 解析 選c 展開(kāi)式共有14項(xiàng) 中間兩項(xiàng) 第七 八項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)最大 由于二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)滿(mǎn)足 奇數(shù)項(xiàng)相等 偶數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù) 所以系數(shù)最小的項(xiàng)為第八項(xiàng) 系數(shù)最大的項(xiàng)為第七項(xiàng) 3 2x 6y 20的各項(xiàng)系數(shù)和為 解析 令x