甘肅省全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽預(yù)賽試題（甘肅卷）.doc

二一二年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試卷(2012 年6 月24 日上午9:00-11:30)考生注意: 1、本試卷共兩大題(12 道小題),全卷滿分120 分.2、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.3、解題書(shū)寫(xiě)不要超出裝訂線.4、不能使用計(jì)算器.一、填空題( 本題滿分56 分,每小題7 分)1. 空間四點(diǎn) a ，b ，c ，d兩兩間的距離均為1，點(diǎn)p 與點(diǎn)q分別在線段ab 與cd上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) p 與點(diǎn)q間的最小距離為_(kāi)；2.向量為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積 為 3. 設(shè)有非空集合且當(dāng)時(shí)，必有，這樣的集合a的個(gè)數(shù)是_；4.設(shè)其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 5. 11位數(shù)的手機(jī)號(hào)碼，前七位數(shù)字是1390931，若余下的4 個(gè)數(shù)字只能是1、3 、5 且都至少出現(xiàn)1 次, 這樣的手機(jī)號(hào)碼有_個(gè)；6.若則的最大值是 ；7.設(shè)函數(shù)，滿足且對(duì)任意都有，則 ；8.實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ；二、解答題( 本題滿分 64 分, 第 9、10 題每題14 分，第11、12 題每題18 分)9.已知數(shù)列滿足，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為非零常數(shù)，若數(shù)列是等差數(shù)列，記，求10.m是拋物線的準(zhǔn)線上任意點(diǎn)，過(guò)m作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為a、b（a在x軸上方）。（1）證明：直線ab過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)ab的中點(diǎn)為p，求mp的最小值。11.設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，求證：12.某校數(shù)學(xué)興趣小組由m 位同學(xué)組成，學(xué)校專門(mén)安排n 位老師作為指導(dǎo)教師. 在該小組的一次活動(dòng)中，每?jī)晌煌瑢W(xué)之間相互為對(duì)方提出一個(gè)問(wèn)題,每位同學(xué)又向每位指導(dǎo)教師各提出一個(gè)問(wèn)題，并且每位指導(dǎo)教師也向全組提出一個(gè)問(wèn)題，以