高考數(shù)學總復習 第1節(jié) 相似三角形的判定及性質課件 新人教A版選修41.ppt

選修4 1幾何證明選講 第一節(jié)相似三角形的判定及性質 一 平行線等分線段定理1 定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在任一條 與這組平行線相交 直線上截得的線段 推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點且與另一邊平行的直線必 推論2 經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線必 也相等 平分第三邊 平分另一腰 2 中位線定理三角形中位線定理 三角形的中位線 并且等于它的 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于 并且等于兩底 平行于第三邊 一半 兩底 和的一半 1 兩個中位線定理與推論1 推論2有什么關系 提示 兩個定理即為推論1 推論2的逆定理 二 平行線分線段成比例定理1 定理 三條平行線截兩條直線 所得的對應線段 推論1 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應線段 成比例 對應成比例 推論2 用平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截三角形 所得的三角形三邊與原三角形的三邊對應 推論1的逆定理 如果一條直線截三角形兩邊或兩邊的延長線所得的對應線段成比例 那么這條直線三角形的第三邊 成比例 平行于 2 三角形內(nèi)角平分線定理定理 三角形的內(nèi)角平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊 三 相似三角形1 相似三角形的概念定義 的兩個三角形叫做相似三角形 對應邊的比例為相似比或相似系數(shù) 對應成比例 對應邊成比例 對應角相等 2 相似三角形的判定定理 兩邊 夾角 三邊 2 判定直角三角形相似還有哪些定理 提示 如果兩個直角三角形的一個銳角對應相等 那么它們相似 如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例 那么它們相似 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 那么這兩個直角三角形相似 3 相似三角形的性質定理 相似比 相似比 相似比的平方 4 直角三角形中的射影定理直角三角形中 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的 斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的 比例中項 比例中項 答案 c 解析 c為 abc和 bdc的公共角 由相似三角形的判定定理2可知選c 答案 c 答案 c 4 如圖 已知在 abc中 cd ab于d點 bc2 bd ab 則 acb 答案 90 考向探尋 1 利用平行截割定理證明線段成比例 2 利用平行截割定理求線段的長度 答案 c 互動探究 1 在例 2 中 若條件不變 將結論改為 則s梯形aefd s梯形ebcf 如何求解 1 利用平行線分線段成比例定理來計算或證明 首先要觀察平行線組 再確定所截直線 進而確定比例線段及比例式 同時注意合比性質 等比性質的運用 2 若圖形中沒有平行線 則需要添加輔助線 構造相關圖形 創(chuàng)造可以形成比例式的條件 以達證明的目的 考向探尋 1 判斷 證明三角形相似 2 利用相似三角形的性質解決問題 典例剖析 1 如圖所示 bd ce是 abc的高 bd ce交于f 寫出圖中所有與 ace相似的三角形 1 解析 由rt ace與rt fcd和rt abd各共一個銳角 因而它們均相似 又易知 bfe a 故rt ace rt fbe 1 判定兩個三角形相似的常用方法 兩角對應相等 兩三角形相似 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 三邊對應成比例 兩三角形相似 相似三角形的定義 2 利用相似三角形性質 可解決與三角形的元素有關的問題 如兩個三角形的高 角平分線 中線 周長 面積等之間的關系問題 1 分清兩個三角形中角和邊的對應關系是正確解題的前提 2 一般地 證明等積式時 可先將其化成比例式 再根據(jù)三角形相似證明 活學活用 1 如圖 已知 abcd中 g是dc延長線上一點 ag分別交bd和bc于e f兩點 求證 af ad ag bf 考向探尋 1 利用射影定理證線段成比例 2 利用射影定理求直角三角形中有關線段的長 典例剖析 1 已知圓的直徑ab 13 c為圓上一點 過c作cd ab于d ad bd 若cd 6 則ad 2 12分 如圖 在rt abc中 bac 90 ad bc于d df ac于f de ab于e 求證 ab ac ad bc ad3 bc be cf 1 在 acb中 利用射影定理求解 2 在 abc中 利用等積法證明 在 adb abc中用射影定理求解 然后兩比例式相乘后化簡即可 1 如圖 連接ac cb ab是 o的直徑 acb 90 設ad x cd ab cd2 ad db 即62 x 13 x x2 13x 36 0 解得x1 4 x2 9 ad bd ad 9 答案 9 bd2 cd2 be ab cf ac 8分又在rt abc中 ad bc ad2 bd dc 10分由 得ad4 bd2 dc2 be cf ab ac be cf ad bc ad3 bc be cf 12分 射影定理揭示了直角三角形中兩直角邊在斜邊上的射影 斜邊及兩直角邊之間的關系 此定理常作為計算與證明的依據(jù) 在運用射影定理時 要特別注意弄清射影與直角邊的對應 分清比例中項 活學活用 2 如圖 在 abc中 d f分別在ac bc上 且ab ac af bc bd dc fc 1 求ac 已知ad是 abc中bc邊上的高 若ad2 bd cd 則 abc的形狀是 如圖 在 abc中 由ad2 bd cd可證得 abd cad 從而可得 abc為直角三角形 答案 直角三角形 本題的錯誤之處在于忽略了點d在bc上的位置 解法中只考慮到了一種情形 忽視了點d在bc外的情形 另在直角三角形中 斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項 反之 由于三角形的一邊上的高可能在三角形外 因此 原定理的逆命題是不成立的 即題中的 abc不一定是直角三角形 解析 若點d在線段bc上 如圖 1 所示 由ad2 bd cd 可證 abd cad 從而可得 abc是直角三角形 若點d在bc的延長線上 如圖 2 所示 則仍可證 abd cad 但 abc是鈍角三角形 綜上所述 abc是直角三角形或鈍角