高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.4 數(shù)列求和與遞推數(shù)列課件 文 新人教A版.pptVIP

3 4數(shù)列求和與遞推數(shù)列 3 已知an an 1 f n n 2 且 f n 成等差 比 數(shù)列 則求an可用累加法 4 已知 f n n 2 求an用累乘法 5 已知數(shù)列 an 的遞推關(guān)系 研究an與an 1的關(guān)系式的特點(diǎn) 可 1 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 則an 2 已知數(shù)列 an 前n項(xiàng)之積tn 一般可求tn 1 則an 以通過變形構(gòu)造 得出新數(shù)列 f an 為等差或等比數(shù)列 6 已知an與sn的關(guān)系 利用an sn sn 1 n 2 轉(zhuǎn)化為只含an或sn的遞推關(guān)系 再利用上述方法求出an 二 數(shù)列求和 1 基本公式法 1 等差數(shù)列求和公式 sn na1 d 2 等比數(shù)列求和公式 sn 2 錯(cuò)位相減法 對于求一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和 常用錯(cuò)位相減法 如 an bn cn 其中 bn 是等差數(shù)列 cn 是等比數(shù)列 記sn b1c1 b2c2 bn 1cn 1 bncn 則qsn b1c2 bn 1cn bncn 1 兩式相減整理即得 3 分組求和 把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列 然后利用公式法求和 4 拆項(xiàng) 裂項(xiàng) 求和 把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式 相加過程中消去 中間項(xiàng) 只剩下有限項(xiàng)再求和 常見的拆項(xiàng)公式有 1 若 an 是公差為d的等差數(shù)列 則 2 3 4 5 6 an 5 倒序相加法 根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn) 將其倒寫后與原數(shù)列相加 以達(dá)到求和的目的 6 并項(xiàng)求和 把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和 然后再求sn 7 其他求和法 如 歸納猜想法 奇偶法等 數(shù)列求和的方法多種多樣 要視具體情形選用合適的方法 1 數(shù)列 an 的通項(xiàng)an 則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于 a b c d 解析 an 所以前10項(xiàng)和s 1 答案 c 2 已知數(shù)列 an 中 a1 1 an 1an an 1 n n n 則的值為 a b c d 解析 由已知得a2 1 1 2 a3 1 a4 1 2 3 a5 1 故 答案 d 3 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 2n 1 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和等于 a 2n n2 1 b 2n n2 2 c 2n 1 n2 1 d 2n 1 n2 2 解析 由分組求和法可知sn 21 2 1 1 22 2 2 1 2n 2 n 1 21 22 2n 2 1 2 n n 2 n 2n 1 n2 2 答案 d 題型1裂項(xiàng)求和與拆項(xiàng)分組求和 例1 1 數(shù)列 的前n項(xiàng)和sn等于 a b c 1 d 1 2 已知數(shù)列1 1 4 7 3n 2 的前n項(xiàng)和sn 當(dāng)a 1時(shí) sn 分析 1 an 2 從通項(xiàng)公式入手 分析通項(xiàng)an 3n 2 可知它是由一個(gè)等比數(shù)列 與一個(gè)等差數(shù)列 3n 2 組成的 所以可將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的求和問題 解析 1 因?yàn)閍n 所以sn 1 1 2 因?yàn)閍n 3n 2 所以 sn 1 1 4 7 3n 2 1 1 4 7 3n 2 記tn 1 因?yàn)閍 1 則tn 而1 4 7 3n 2 所以sn 答案 1 c 2 使用裂項(xiàng)法求和 要注意正 負(fù)相消時(shí) 消去了哪些項(xiàng) 保留了哪些項(xiàng) 所剩正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)一樣多 切不可漏寫未被消去的項(xiàng) 未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn) 實(shí)質(zhì)上 正 負(fù)相消是此法的目的 2 拆項(xiàng)是一種行之有效的求和手段 當(dāng)數(shù)列不能直接求和時(shí) 仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu) 看可不可以轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列求和 或等差 等比數(shù)列和的形式 然后分組直接應(yīng)用等差數(shù)列 等比數(shù)列求和公式求和 點(diǎn)評 1 裂項(xiàng)法求和的關(guān)鍵是將通項(xiàng)化為兩項(xiàng)的差 但是 變式訓(xùn)練1 1 數(shù)列5 55 555 的前n項(xiàng)和等于 a 10n 1 b 10n 1 n c d 2 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an n n 若前n項(xiàng)和為sn 則sn 解析 1 an 10n 1 10n sn 10 102 103 10n n n 2 an an sn 1 1 1 答案 1 c 2 1 例2已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列 a2 6 a5 18 數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和是tn 且tn bn 1 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 求證 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 3 記cn an bn 求 cn 的前n項(xiàng)和sn 題型2錯(cuò)位相減法與倒序相加法求和 用和tn與項(xiàng)bn的關(guān)系與等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 由cn an bn 可知cn的通項(xiàng)公式是由一個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的積組成 選用錯(cuò)位相減法求數(shù)列 cn 的和 解析 1 設(shè) an 的公差為d 則 a2 a1 d a5 a1 4d a2 6 a5 18 a1 2 d 4 an 2 4 n 1 4n 2 分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 并利 2 當(dāng)n 1時(shí) b1 t1 由t1 b1 1 得b1 當(dāng)n 2時(shí) tn 1 bn tn 1 1 bn 1 tn tn 1 bn 1 bn 即bn bn 1 bn bn bn 1 bn 是以為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 3 由 2 可知 bn n 1 2 n cn an bn 4n 2 2 n 4 2n 1 n sn 4 12 2 8n 12 n 1 8n 4 n sn 4 2 12 3 8n 12 n 8n 4 n 1 sn sn sn 4 8 2 8 3 8 n 8n 4 n 1 8 8n 4 n 1 4 n 8n 4 n 1 sn 4 4 n 1 n 式是由這種形式構(gòu)成的可用這種方法 點(diǎn)評 錯(cuò)位相減法實(shí)質(zhì)上是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的等比數(shù)列 若數(shù)列的每一項(xiàng)都可視為由兩部分組成 其中第一個(gè)因數(shù)部分形成等差數(shù)列 第二個(gè)因數(shù)部分形成等比數(shù)列 當(dāng)通項(xiàng)公 變式訓(xùn)練2已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn a3 3且s5 2a1 17 等比數(shù)列 bn 中 b1 a2 b2s3 6 1 求an和bn 2 設(shè)cn an 1bn 設(shè)tn c1 c2 cn 求tn 解析 1 a3 3 s5 5a3 15 s5 2a1 17 a1 1 即公差d 2 an 2n 3 b1 a2 1 b2s3 3b2 6 b2 2 公比q 2 bn 2n 1 2 cn an 1bn 2n 1 2n 1 tn 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2tn 2 3 22 5 23 2n 1 2n 得 tn 1 2 2 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 2 2 2 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 2n 3 tn 2n 3 2n 3 例3已知lgx lgy 1 且sn lgxn lg xn 1y lg xn 2y2 lg xyn 1 lgyn 求sn 分析 結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)和條件 可考慮倒序相加法 解析 因?yàn)閘gx lgy 1 所以lg xy 1 sn lgxn lg xn 1y lg xn 2y2 lg xyn 1 lgyn sn lgyn lg yn 1x lg yn 2x2 lg yxn 1 lgxn 兩式相加得 2sn lgxn lgyn lg xn 1y lg xyn 1 lgyn lgxn lg xn yn lg xn 1y xyn 1 lg yn xn n n2lg xy n2 所以sn 列 即距首 末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等的形式 點(diǎn)評 倒序相加法主要適用于前后具有 對稱性 的數(shù) 變式訓(xùn)練3數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 n n 1 證明 數(shù)列 是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 3 設(shè)bn n n 1 an 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和sn 數(shù)列 是公差為1的等差數(shù)列 2 由 1 知 n 1 1 n 1 an 3 由 2 知bn n 2n sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 解析 1 由已知可得 即 1 即 1 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 sn n 1 2n 1 2 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 相減得 sn 2 22 23 2n n 2n 1 例4 1 已知數(shù)列 an 滿足a1 22 an 1 an 2n 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 的最小值為 2 已知sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 a1 1 sn n2 an 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 分析 1 已知a1且an an 1 f n 用 累加法 求出an a1 f 2 f 3 f n 1 f n n 2 但要注意對n 1時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證 題型3利用累加法 累乘法求通項(xiàng) 2 由已知可以變形為 f n 用 累乘法 求出an a1 但要注意對n 1時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證 解析 1 an 1 an 2n n n 當(dāng)n 2時(shí) an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 22 2 1 2 2 2 n 1 22 2 n2 n 22 當(dāng)n 1時(shí) 符合上式 an n2 n 22 n 1 由函數(shù)的知識(shí)可知 n 4時(shí) 當(dāng)n 5時(shí) 顯然知 可知的最小值是 2 a1 1 sn n2 an 當(dāng)n 2時(shí) sn 1 n 1 2 an 1 an sn sn 1 n2an n 1 2an 1 可得 an a1 1 當(dāng)n 1時(shí) 顯然成立 答案 1 an n2 n 22 2 點(diǎn)評 累加法與累乘法其實(shí)在等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程中都有體現(xiàn) 一定要領(lǐng)會(huì)公式內(nèi)在的本質(zhì)要求 不要出現(xiàn)把變量當(dāng)成常量的錯(cuò)誤 變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f x 則f 0 f 1 若sk 1 f f f f k 2 k z 則sk 1 用含有k的代數(shù)式表示 解析 由已知 f 0 f 1 1 f f 1 又 sk 1 f f f f sk 1 f f f f 2sk 1 f f 1 f f 1 f 1 f k 1 1 k 1 sk 1 答案 1 題型4轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列 等比數(shù)列求通項(xiàng) 例5 1 已知數(shù)列 an 滿足a1 2 且an 1an an 1 2an 0 n n 則a2 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 2 在數(shù)列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 則該數(shù)列的通項(xiàng)an 分析 1 由an 1an an 1 2an 0 兩邊同時(shí)除以an 1an 可得2 1 又可化為 1 1 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式 2 an 1 2an 3可化為an 1 3 2 an 3 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式 解析 1 由遞推公式an 1an an 1 2an 0 且a1 2 可得a2 an 1an an 1 2an 0 兩邊同時(shí)除以an 1an 可得2 1 即 1 1 是以 為首項(xiàng) 以為公比的等比數(shù)列 1 n 1 整理得 an 2 由an 1 2an 3可化為an 1 3 2 an 3 是以4為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 an 3 4 2n 1 an 4 2n 1 3 2n 1 3 答案 1 2 2n 1 3 各項(xiàng) 其通項(xiàng)公式可以用累加法 累乘法 還可采用換元思想轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)一步求得 點(diǎn)評 已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式 可直接寫出數(shù)列中的 變式訓(xùn)練5 1 對于數(shù)列 an 定義數(shù)列 an 1 an 為數(shù)列 an 的 差數(shù)列 若a1 2 an 的 差數(shù)列 的通項(xiàng)為2n 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 2 設(shè) an 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列 且 n 1 n an 1an 0 n n 則數(shù)列的通項(xiàng)an 2n 1 2n 2 22 2 2 2 2n 2 2 2n sn 2n 1 2 解析 1 an 1 an 2n an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 即 將這n 1個(gè)式子相乘得 an n 2 顯然n 1時(shí)也成立 綜上可知 an 答案 1 2n 1 2 2 2 由 n 1 n an 1an 0可得 an 1 an an 1 an 0 又 an 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列 an 1 an 0 an 1 an 1 直接用公式求和時(shí) 一定要注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程 2 求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法主要是變換通項(xiàng) 即對通項(xiàng)公式進(jìn)行一些有目的的處理 轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列的求和 4 已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 一般是將已知遞推關(guān)系用代數(shù)法 累加法 累乘法 換元法等轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列 即等差數(shù)列或等比數(shù)列 的方法求通項(xiàng) 3 求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和無通法可循 要掌握某些特殊數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列等 前n項(xiàng)和的求法 學(xué)會(huì)舉一反三 觸類旁通 例已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列 且a1 2 a1 a2 a3 12 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 令bn anxn x r 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和 錯(cuò)解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 則a1 a2 a3 3a1 3d 12 又a1 2 所以d 2 所以an 2 n 1 2 2n 2 令sn b1 b2 b3 bn 則由bn anxn 得 sn 2x 4x2 6x3 2 n 1 xn 1 2nxn xsn 2x2 4x3 6x4 2 n 1 xn 2nxn 1 由 得 1 x sn 2 x x2 x3 x4 xn 2nxn 1 2 2nxn 1 所以sn 剖析 上述 2 的解答 在 式中使用等比數(shù)列的求和公式時(shí) 沒有考慮公比x 1的情形 另外 當(dāng)x 0時(shí) sn是顯然的 因此 正確解答要分x 0 x 1與x 0 1三種情況 正解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 則a1 a2 a3 3a1 3d 12 又a1 2 所以d 2 所以an 2 n 1 2 2n 2 令sn b1 b2 b3 bn 則由bn anxn 得 sn 2x 4x2 6x3 2 n 1 xn 1 2nxn 當(dāng)x 0時(shí) sn 0 當(dāng)x 1時(shí) sn 2 4 6 2 n 1 2n n2 n 當(dāng)x 0 1時(shí) xsn 2x2 4x3 6x4 2 n 1 xn 2nxn 1 由 得 1 x sn 2 x x2 x3 x4 xn 2nxn 1 2 2nxn 1 得sn 綜上所述 sn 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎(chǔ)再現(xiàn) 等差數(shù)列 an 中 a2 a3 6 則前4項(xiàng)和s4等于 a 6 b 8 c 10 d 12 解析 s4 12 答案 d 2 基礎(chǔ)再現(xiàn) 設(shè)f n 2 24 27 23n 1 n n 則f n 等于 a b c d 答案 b 解析 由題意發(fā)現(xiàn) f n 是一個(gè)以2為首項(xiàng) 公比q 23 8 項(xiàng)數(shù)為n 1的等比數(shù)列的和 由公式可得f n 3 視角拓展 設(shè)sn是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 s7 3 a3 a7 則的值為 a b c d 解析 由題知7a4 6a5 答案 a 4 視角拓展 已知等差數(shù)列有27項(xiàng) 所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為170 所有的奇數(shù)之和為100 則這個(gè)等差數(shù)列的中間項(xiàng)為 a 4 b 6 c 8 d 10 解析 設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)之和為s奇 所有偶數(shù)項(xiàng)之和為s偶 則s奇 100 s偶 170 所以s27 s奇 s偶 27a14 270 解得a14 10 這個(gè)等差數(shù)列的中間項(xiàng)為10 答案 d 5 高度提升 已知等差數(shù)列 an 的公差d 0 且a3a5 a3a7 a5a9 a7a9 0 則當(dāng)前n項(xiàng)和sn取得最大值時(shí) n為 a 5 b 6 c 5或6 d 6或7 答案 c 解析 因?yàn)閍3a5 a3a7 a5a9 a7a9 a5 a7 a3 a5 a7 a9 a5 a7 a3 a9 0 又因?yàn)閍5 a7 2a6 a3 a9 所以a6 0 因?yàn)閐0 a7 0 所以當(dāng)n 5或6時(shí) sn取得最大值 6 視角拓展 已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 且a3 a5 2a4 設(shè)等差數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為sn 若b4 a4 則s7 解析 因?yàn)閍3 a5 2a4 所以 2a4 所以a4 2 所以b4 a4 2 所以s7 7a4 14 答案 14 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 高度提升 如圖滿足 1 第n行首尾兩數(shù)均為n 2 圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角 則第n n 2 行的第2個(gè)數(shù)是 an a2 2 3 n 1 n 2 an 2 答案 解析 設(shè)第n n 2 行的第2個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列 an 則a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4 an an 1 n 1 相加得 8 高度提升 設(shè)數(shù)列 an 是以2為首項(xiàng) 1為公差的等差數(shù)列 bn 是以1為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 則 解析 an 2 n 1 1 n 1 bn 2n 1 bn 1 2n 1 1 所以 20 1 21 1 22 1 29 1 1 2 22 29 10 10 1033 答案 1033 9 能力綜合 已知函數(shù)f x x2 bx的圖像在點(diǎn)a 1 f 1 處的切線的斜率為3 數(shù)列 的前n項(xiàng)和為sn 則s2013的值為 解析 f x 2x b f 1 2 b 3 b 1 f x x2