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第10講 應(yīng)用問(wèn)題選講我們知道,數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科。我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的,一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識(shí)打下一個(gè)基礎(chǔ),更重要的是為了現(xiàn)在和將來(lái)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些日常生活、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中所遇到的實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路是:先將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題(我們稱(chēng)之為建立數(shù)學(xué)模型),然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題。即:這里,建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步。也就是說(shuō),要通過(guò)審題,將實(shí)際問(wèn)題與自己學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來(lái),將其歸結(jié)到某一類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面介紹一些典型的數(shù)學(xué)模型。一、兩個(gè)量變化時(shí),和一定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量,如果在變化的過(guò)程中,它們的和始終保持不變,那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢?觀察下面的表:我們不難得出如下的規(guī)律:兩個(gè)變化著的量,如果在變化的過(guò)程中,和始終保持不變,那么它們的差越小,積就越大。若它們能夠相等,則當(dāng)它們相等時(shí),積最大。這個(gè)規(guī)律對(duì)于三個(gè)和三個(gè)以上的變量都是成立的。例1 農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長(zhǎng)2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個(gè)靠墻的長(zhǎng)方形雞窩。為了防止雞飛出,所建雞窩的高度不得低于2米,要使雞窩面積最大,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)是多少?解:如上圖,設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為x米和y米,則有x2y1.22024。長(zhǎng)方形的面積為因?yàn)閤和2y的和等于24是一個(gè)定值,故它們的乘積當(dāng)它們相等時(shí)最大,此時(shí)長(zhǎng)方形面積S也最大。于是有x=12, y6。例2 如果將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出,那么每個(gè)的利潤(rùn)是10元,但只能賣(mài)出500個(gè)。當(dāng)這種商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí),其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)。為了賺得最多的利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為多少?解:設(shè)每個(gè)商品售價(jià)為(50+x)元,則銷(xiāo)量為(500-10X)個(gè)??偣部梢垣@利(50x-40)(500-10x)=10(10+X)(50-X)(元)。因(10+x)+(50x)=60為一定值,故當(dāng)10+X=50X即X=20時(shí),它們的積最大。此時(shí),每個(gè)的銷(xiāo)售價(jià)為5020=70(元)。例3 若一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為54厘米2,為了使長(zhǎng)方體的體積最大,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各應(yīng)為多少厘米?解:設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z厘米,體積為V厘米3。2(xyyz+zx)=54,xyyz+zx=27。因?yàn)閂2=(xyz)2=(xy)(yz)(zx),故當(dāng) xy=yz=zx即 x=y=z=3時(shí),V2有最大值,從而V也有最大值。例4 有一塊長(zhǎng)24厘米的正方形厚紙片,在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形,就可以做成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒,現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大,剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為幾厘米?解:如上圖,設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米,則紙盒的容積為V=x(24-2x)(24-2x) =22x(12-x)(12-x)。因?yàn)?x+(12-x)+(12-x)=24是一個(gè)定值,故當(dāng)2x=12-x12-x,即x=4時(shí),其乘積最大,從而紙盒的容積也最大。二、兩個(gè)量變化時(shí),積一定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量,如果在變化的過(guò)程中,它們的乘積始終保持不變,那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢?觀察下面的表:我們不難得出如下的規(guī)律:兩個(gè)變化著的量,如果在變化的過(guò)程中,乘積始終保持不變,那么它們的差越小,和就越小。若它們能夠相等,則當(dāng)它們相等時(shí),和最小。例5 長(zhǎng)方形的面積為 144 cm2,當(dāng)它的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí),它的周長(zhǎng)最短?解:設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為 xcm和 ycm,則有xy144。故當(dāng)x=y=12時(shí),x+y有最小值,從而長(zhǎng)方形周長(zhǎng)2(xy)也有最小值。例6 用鐵絲扎一個(gè)空心的長(zhǎng)方體,為了使長(zhǎng)方體的體積恰好是216cm3,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米時(shí),所用的鐵絲長(zhǎng)度最短?解:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則有xyz216。鐵絲長(zhǎng)度的和為 4(x y z),故當(dāng) xy=z6時(shí),所用鐵絲最短。例7 農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃挖一個(gè)面積為432 m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)魚(yú)池,魚(yú)池周?chē)鷥蓚?cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示,要想占地總面積最小,水池的長(zhǎng)和寬應(yīng)為多少?解:如圖所示,設(shè)水池的長(zhǎng)和寬分別為xm和ym,則有xy432。占地總面積為 S=(x6)(y8)cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y 8X=48432為一定值,故當(dāng)6y=8X時(shí),S最小,此時(shí)有6y=8X=144,故y=24,x=18。例8 某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡,每張240元,使用規(guī)定:不記名,每卡每次只限一人,每人只限一次。某班有48名學(xué)生,老師打算組織學(xué)生集體去游泳,除需購(gòu)買(mǎi)若干張游泳卡外,每次游泳還需包一輛汽車(chē),無(wú)論乘坐多少名學(xué)生,每次的包車(chē)費(fèi)均為40元。若要使每個(gè)同學(xué)游8次,每人最少交多少錢(qián)?解:設(shè)一共買(mǎi)了X張卡,一共去游泳y次,則共有Xy=488=384(人次),總用費(fèi)為(240x40y)元。因?yàn)?240x 40y=24040384是一定值,故當(dāng) 240x=40y,即y=6x時(shí),和最小。易求得x=8,y=48。此時(shí)總用費(fèi)為24084048=3840(元),平均每人最少交 384048=80(元)。三、利用不等關(guān)系來(lái)解答的應(yīng)用題例9 某公司在A,B兩地分別庫(kù)存有某機(jī)器16臺(tái)和12臺(tái),現(xiàn)要運(yùn)往甲、乙兩家客戶(hù)的所在地,其中甲方15臺(tái),乙方13臺(tái)。已知從A地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為500元,到乙方的運(yùn)費(fèi)為400元,從B地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為300元,到乙方的運(yùn)費(fèi)為600元。已知運(yùn)費(fèi)由公司承擔(dān),公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的調(diào)運(yùn)方案,才能使這些機(jī)器的總運(yùn)費(fèi)最???解:設(shè)由A地運(yùn)往甲方x臺(tái),則A地運(yùn)往乙方(16-x)臺(tái),B地運(yùn)往甲方(15-x)臺(tái),B地運(yùn)往乙方(x3)臺(tái)。于是總運(yùn)價(jià)為:S=500x+400(16-x)300(15-x)+600(x-3) 400x+9100。顯然,x要滿(mǎn)足不等式3x15,于是當(dāng)x=3時(shí),總運(yùn)價(jià)最省,為 400 3 9100=10300(元)。調(diào)運(yùn)方案為:由A地運(yùn)往甲方3臺(tái),A地運(yùn)往乙方13臺(tái),B地運(yùn)往甲方12臺(tái),B地運(yùn)往乙方0臺(tái)。例10 某校決定出版“作文集”,費(fèi)用是30冊(cè)以?xún)?nèi)為80元,超過(guò)30冊(cè)的每?jī)?cè)增加1.20元。當(dāng)印刷多少冊(cè)以上時(shí),每?jī)?cè)費(fèi)用在1.50元以?xún)?nèi)?解:顯然印刷的冊(cè)數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了(30x)冊(cè),于是總用費(fèi)為(80+1.2x)元。故有80+1.2x1.5 (30+x),以?xún)?nèi)。例11 現(xiàn)有三種合金:第一種含銅60,含錳40;第二種含錳10,含鎳90;第三種含銅20,含錳50,含鎳30?,F(xiàn)各取適當(dāng)數(shù)量的這三種合金,組成一塊含鎳45的新合金,重量為1千克。(1)求新合金中第二種合金的重量的范圍;(2)求新合金中含錳的重量的范圍。解:設(shè)第一種合金用量為x千克,第二種合金用量為y千克,第三種合金用量為z千克,依題意有(1)如果不取第一種合金,即x=0,那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金,即z=0,那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5克。(2)由可得z1.5-3y,x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40(2y-0.5)10y50(1.5-3y)0.55-0.6y。因?yàn)?.25y0.5,所以0.25S0.4,即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個(gè),每個(gè)由三根長(zhǎng)為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場(chǎng)上可購(gòu)得該鋁合金材料的原料長(zhǎng)為6.3米。問(wèn):至少要買(mǎi)回多少根原材料,才能滿(mǎn)足要求(不計(jì)損耗)?解:每根原材料的切割有下表的七種情況:顯然,三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根,可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根,共用原材料 4214291=86(根)。練習(xí)10 1銷(xiāo)售某種西服,當(dāng)每件售價(jià)為100元時(shí)可售出1000件。如果定價(jià)每下降1,那么銷(xiāo)售量將提高0.5,又知道這批西服是每件80元成本購(gòu)進(jìn)的。問(wèn):應(yīng)如何定價(jià)才能使獲利最大?2下圖是一個(gè)面積為4m2的窗戶(hù),當(dāng)ab的值是多少時(shí),窗戶(hù)的框架所用的材料最???3有一個(gè)長(zhǎng)為 80cm、寬為40cm的木板,要以它為原材料做一個(gè)無(wú)蓋的木盒,應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大?最大的容積是多少?4某廠要建造一個(gè)無(wú)蓋的露天水槽,其底為正方形,容量為64000m3。在建造時(shí),槽底的造價(jià)是四壁的2倍,這個(gè)水槽的底面邊長(zhǎng)和高的比例是多少時(shí),造價(jià)最?。?A城有化肥 200噸,B城有化肥 300噸,現(xiàn)要將化肥運(yùn)往C,D兩村。已知從A城運(yùn)往C,D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸20元和25元,從B城運(yùn)往C,D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸15元和22元。某個(gè)體戶(hù)承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù),請(qǐng)你幫他算一算,如何調(diào)運(yùn)才能使運(yùn)費(fèi)最???6有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn),他們的平均分?jǐn)?shù)不同,但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測(cè)驗(yàn),這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分,求第5次測(cè)驗(yàn)二人的得分(滿(mǎn)分為100分)。7某機(jī)械廠要把一批長(zhǎng)7300毫米的鋼筋截成長(zhǎng)290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?,F(xiàn)在做100套鋼筋架子,至少要用去長(zhǎng)為7300毫米的鋼筋多少根?8下表所示為X,Y,Z三種食品原料的維生素含量(單位:?jiǎn)挝?千克)及成本:現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物,要求混合物至少需含44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克,那么請(qǐng)定出X,y,Z的值,使得成本為最少。練習(xí)101.91元。解:設(shè)定價(jià)為每件(100-x)元,則銷(xiāo)售量為1000(1+0.5x)件。利潤(rùn)為(100-x-80)1000(1+0.5x)=500(20-x)(2+x)。因?yàn)椋?0-x)+(2+x)=22為一定值,故當(dāng)20-x=2+x即x=9時(shí)利潤(rùn)最高。此時(shí)每件定價(jià)為100-9=91(元)。2.23。解:窗戶(hù)的框架長(zhǎng)為 3a+2b,而 ab=4是一個(gè)定值,從而3a2b=6ab=24也是一個(gè)定值,故當(dāng)3a=2b即ab=23時(shí)窗戶(hù)框架所用材料最省。3.32000cm3解:設(shè)木盒的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm,ycm,zcm,則它的容積為V=xyzcm3。因?yàn)閤y+2xz+2yz=4080=3200為一定值,故它們的積xy2xz2yz=4(xyz)2=4V2,在xy=2xz=2yz時(shí)最大,從而V也最大,此時(shí)有x=y=2z。經(jīng)計(jì)算得x=40,y=40,z=20。具體制作方式如下:先取原木板的一半(40cm40cm)作為木盒的底面,再將剩下的一半分成 20 cm40 cm大小的四等份,每份作為木盒的一個(gè)側(cè)面就可以了。4.11。解:設(shè)四壁的造價(jià)是a元/m2,則底面造價(jià)為2a元/m2。又設(shè)其底面邊長(zhǎng)為xm,高為ym,則有x2y=64000??傇靸r(jià)為a4xy+2ax2 =2a(2xy+x2)=2a(xy+xy+x2)。因?yàn)閤yxyx2=(x2y)2=640002為一定值,故當(dāng)xy=xy=x2即xy=11時(shí),總造價(jià)最省。5.解:設(shè)A城化肥運(yùn)往C村x噸,則運(yùn)往D村(200-x)噸;B城化肥運(yùn)往C村(220-x)噸,運(yùn)往D村(80+x)噸,總運(yùn)費(fèi)y元,則y=20x+25(200-x)+15(220-x)+22(80+x)=2x+10060。又易知0x200,故當(dāng)x=0時(shí),運(yùn)費(fèi)最省,為10060元。運(yùn)輸方案如下:A城化肥運(yùn)往C村0噸,運(yùn)往D村200噸;B城化肥運(yùn)往C村220噸,運(yùn)往D村80噸。6.98,94。解:設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分,第5次的得分為y分,則其5次總分為4x+y=590=450。于是y=450-4x。顯然90y100,故90450-4x100,解得87.5x90。于是兩個(gè)學(xué)生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-488=98(分)和450-489=94(分)。7.90根。解:每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法:2902+1501=7300, 2102+1502=7200, 2102+2902=7100。 設(shè)按方案截得的鋼筋有x根,按方案截得的鋼筋有y 根,按方案截得的鋼筋有z根,則長(zhǎng)為290,210,150毫米

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