（試題 試卷 真題）第10講 應(yīng)用問(wèn)題選講

第10講 應(yīng)用問(wèn)題選講我們知道，數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科。我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，一方面是為學(xué)習(xí)其它學(xué)科和學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)知識(shí)打下一個(gè)基礎(chǔ)，更重要的是為了現(xiàn)在和將來(lái)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決一些日常生活、科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中所遇到的實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路是：先將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（我們稱(chēng)之為建立數(shù)學(xué)模型），然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題。即：這里，建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵的一步。也就是說(shuō)，要通過(guò)審題，將實(shí)際問(wèn)題與自己學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來(lái)，將其歸結(jié)到某一類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后解答這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面介紹一些典型的數(shù)學(xué)模型。一、兩個(gè)量變化時(shí)，和一定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量，如果在變化的過(guò)程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個(gè)變化著的量，如果在變化的過(guò)程中，和始終保持不變，那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時(shí)，積最大。這個(gè)規(guī)律對(duì)于三個(gè)和三個(gè)以上的變量都是成立的。例1 農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長(zhǎng)2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個(gè)靠墻的長(zhǎng)方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2米，要使雞窩面積最大，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別應(yīng)是多少？解：如上圖，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為x米和y米，則有x2y1.22024。長(zhǎng)方形的面積為因?yàn)閤和2y的和等于24是一個(gè)定值，故它們的乘積當(dāng)它們相等時(shí)最大，此時(shí)長(zhǎng)方形面積S也最大。于是有x=12， y6。例2 如果將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出，那么每個(gè)的利潤(rùn)是10元，但只能賣(mài)出500個(gè)。當(dāng)這種商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí)，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)。為了賺得最多的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)每個(gè)商品售價(jià)為（50+x）元，則銷(xiāo)量為（500-10X）個(gè)?？偣部梢垣@利（50x-40）（500-10x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60為一定值，故當(dāng)10+X=50X即X=20時(shí)，它們的積最大。此時(shí)，每個(gè)的銷(xiāo)售價(jià)為5020=70（元）。例3 若一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為54厘米2，為了使長(zhǎng)方體的體積最大，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各應(yīng)為多少厘米？解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z厘米，體積為V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因?yàn)閂2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故當(dāng) xy=yz=zx即 x=y=z=3時(shí)，V2有最大值，從而V也有最大值。例4 有一塊長(zhǎng)24厘米的正方形厚紙片，在它的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，就可以做成一個(gè)無(wú)蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為幾厘米？解：如上圖，設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x）（24-2x） =22x（12-x）（12-x）。因?yàn)?x+（12-x）+（12-x）=24是一個(gè)定值，故當(dāng)2x=12-x12-x，即x=4時(shí)，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。二、兩個(gè)量變化時(shí)，積一定的問(wèn)題兩個(gè)變化著的量，如果在變化的過(guò)程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個(gè)變化著的量，如果在變化的過(guò)程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時(shí)，和最小。例5 長(zhǎng)方形的面積為 144 cm2，當(dāng)它的長(zhǎng)和寬分別為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最短？解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為 xcm和 ycm，則有xy144。故當(dāng)x=y=12時(shí)，x+y有最小值，從而長(zhǎng)方形周長(zhǎng)2（xy）也有最小值。例6 用鐵絲扎一個(gè)空心的長(zhǎng)方體，為了使長(zhǎng)方體的體積恰好是216cm3，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米時(shí)，所用的鐵絲長(zhǎng)度最短？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則有xyz216。鐵絲長(zhǎng)度的和為 4（x y z），故當(dāng) xy=z6時(shí)，所用鐵絲最短。例7 農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃挖一個(gè)面積為432 m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)魚(yú)池，魚(yú)池周?chē)鷥蓚?cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長(zhǎng)和寬應(yīng)為多少？解：如圖所示，設(shè)水池的長(zhǎng)和寬分別為xm和ym，則有xy432。占地總面積為 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y 8X=48432為一定值，故當(dāng)6y=8X時(shí)，S最小，此時(shí)有6y=8X=144，故y=24，x=18。例8 某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名學(xué)生，老師打算組織學(xué)生集體去游泳，除需購(gòu)買(mǎi)若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車(chē)，無(wú)論乘坐多少名學(xué)生，每次的包車(chē)費(fèi)均為40元。若要使每個(gè)同學(xué)游8次，每人最少交多少錢(qián)？解：設(shè)一共買(mǎi)了X張卡，一共去游泳y次，則共有Xy=488=384（人次），總用費(fèi)為（240x40y）元。因?yàn)?240x 40y=24040384是一定值，故當(dāng) 240x=40y，即y=6x時(shí)，和最小。易求得x=8，y=48。此時(shí)總用費(fèi)為24084048=3840（元），平均每人最少交 384048=80（元）。三、利用不等關(guān)系來(lái)解答的應(yīng)用題例9 某公司在A，B兩地分別庫(kù)存有某機(jī)器16臺(tái)和12臺(tái)，現(xiàn)要運(yùn)往甲、乙兩家客戶(hù)的所在地，其中甲方15臺(tái)，乙方13臺(tái)。已知從A地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為500元，到乙方的運(yùn)費(fèi)為400元，從B地運(yùn)一臺(tái)到甲方的運(yùn)費(fèi)為300元，到乙方的運(yùn)費(fèi)為600元。已知運(yùn)費(fèi)由公司承擔(dān)，公司應(yīng)設(shè)計(jì)怎樣的調(diào)運(yùn)方案，才能使這些機(jī)器的總運(yùn)費(fèi)最??？解：設(shè)由A地運(yùn)往甲方x臺(tái)，則A地運(yùn)往乙方（16-x）臺(tái)，B地運(yùn)往甲方（15-x）臺(tái)，B地運(yùn)往乙方（x3）臺(tái)。于是總運(yùn)價(jià)為：S=500x+400（16-x）300（15-x）+600（x-3） 400x+9100。顯然，x要滿(mǎn)足不等式3x15，于是當(dāng)x=3時(shí)，總運(yùn)價(jià)最省，為 400 3 9100=10300（元）。調(diào)運(yùn)方案為：由A地運(yùn)往甲方3臺(tái)，A地運(yùn)往乙方13臺(tái)，B地運(yùn)往甲方12臺(tái)，B地運(yùn)往乙方0臺(tái)。例10 某校決定出版“作文集”，費(fèi)用是30冊(cè)以?xún)?nèi)為80元，超過(guò)30冊(cè)的每?jī)?cè)增加1.20元。當(dāng)印刷多少冊(cè)以上時(shí)，每?jī)?cè)費(fèi)用在1.50元以?xún)?nèi)？解：顯然印刷的冊(cè)數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了（30x）冊(cè)，于是總用費(fèi)為（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），以?xún)?nèi)。例11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳40；第二種含錳10，含鎳90；第三種含銅20，含錳50，含鎳30?，F(xiàn)各取適當(dāng)數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳45的新合金，重量為1千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設(shè)第一種合金用量為x千克，第二種合金用量為y千克，第三種合金用量為z千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5克。（2）由可得z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40（2y-0.5）10y50（1.5-3y）0.55-0.6y。因?yàn)?.25y0.5，所以0.25S0.4，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個(gè)，每個(gè)由三根長(zhǎng)為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場(chǎng)上可購(gòu)得該鋁合金材料的原料長(zhǎng)為6.3米。問(wèn)：至少要買(mǎi)回多少根原材料，才能滿(mǎn)足要求（不計(jì)損耗）？解：每根原材料的切割有下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 4214291=86（根）。練習(xí)10 1銷(xiāo)售某種西服，當(dāng)每件售價(jià)為100元時(shí)可售出1000件。如果定價(jià)每下降1，那么銷(xiāo)售量將提高0.5，又知道這批西服是每件80元成本購(gòu)進(jìn)的。問(wèn)：應(yīng)如何定價(jià)才能使獲利最大？2下圖是一個(gè)面積為4m2的窗戶(hù)，當(dāng)ab的值是多少時(shí)，窗戶(hù)的框架所用的材料最??？3有一個(gè)長(zhǎng)為 80cm、寬為40cm的木板，要以它為原材料做一個(gè)無(wú)蓋的木盒，應(yīng)該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個(gè)無(wú)蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為64000m3。在建造時(shí)，槽底的造價(jià)是四壁的2倍，這個(gè)水槽的底面邊長(zhǎng)和高的比例是多少時(shí)，造價(jià)最?。?A城有化肥 200噸，B城有化肥 300噸，現(xiàn)要將化肥運(yùn)往C，D兩村。已知從A城運(yùn)往C，D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸20元和25元，從B城運(yùn)往C，D兩村的運(yùn)價(jià)分別是每噸15元和22元。某個(gè)體戶(hù)承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，請(qǐng)你幫他算一算，如何調(diào)運(yùn)才能使運(yùn)費(fèi)最??？6有兩個(gè)學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測(cè)驗(yàn)，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分，求第5次測(cè)驗(yàn)二人的得分（滿(mǎn)分為100分）。7某機(jī)械廠要把一批長(zhǎng)7300毫米的鋼筋截成長(zhǎng)290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子?，F(xiàn)在做100套鋼筋架子，至少要用去長(zhǎng)為7300毫米的鋼筋多少根？8下表所示為X，Y，Z三種食品原料的維生素含量（單位：?jiǎn)挝?千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克，那么請(qǐng)定出X，y，Z的值，使得成本為最少。練習(xí)101.91元。解：設(shè)定價(jià)為每件（100-x）元，則銷(xiāo)售量為1000（1+0.5x）件。利潤(rùn)為（100-x-80）1000（1+0.5x）=500（20-x）（2+x）。因?yàn)椋?0-x）+（2+x）=22為一定值，故當(dāng)20-x=2+x即x=9時(shí)利潤(rùn)最高。此時(shí)每件定價(jià)為100-9=91（元）。2.23。解：窗戶(hù)的框架長(zhǎng)為 3a+2b，而 ab=4是一個(gè)定值，從而3a2b=6ab=24也是一個(gè)定值，故當(dāng)3a=2b即ab=23時(shí)窗戶(hù)框架所用材料最省。3.32000cm3解：設(shè)木盒的長(zhǎng)、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則它的容積為V=xyzcm3。因?yàn)閤y+2xz+2yz=4080=3200為一定值，故它們的積xy2xz2yz=4（xyz）2=4V2，在xy=2xz=2yz時(shí)最大，從而V也最大，此時(shí)有x=y=2z。經(jīng)計(jì)算得x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（40cm40cm）作為木盒的底面，再將剩下的一半分成 20 cm40 cm大小的四等份，每份作為木盒的一個(gè)側(cè)面就可以了。4.11。解：設(shè)四壁的造價(jià)是a元/m2，則底面造價(jià)為2a元/m2。又設(shè)其底面邊長(zhǎng)為xm，高為ym，則有x2y=64000?？傇靸r(jià)為a4xy+2ax2 =2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因?yàn)閤yxyx2=（x2y）2=640002為一定值，故當(dāng)xy=xy=x2即xy=11時(shí)，總造價(jià)最省。5.解：設(shè)A城化肥運(yùn)往C村x噸，則運(yùn)往D村（200-x）噸；B城化肥運(yùn)往C村（220-x）噸，運(yùn)往D村（80+x）噸，總運(yùn)費(fèi)y元，則y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0x200，故當(dāng)x=0時(shí)，運(yùn)費(fèi)最省，為10060元。運(yùn)輸方案如下：A城化肥運(yùn)往C村0噸，運(yùn)往D村200噸；B城化肥運(yùn)往C村220噸，運(yùn)往D村80噸。6.98，94。解：設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y=590=450。于是y=450-4x。顯然90y100，故90450-4x100，解得87.5x90。于是兩個(gè)學(xué)生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-488=98（分）和450-489=94（分）。7.90根。解：每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法：2902+1501=7300， 2102+1502=7200， 2102+2902=7100。 設(shè)按方案截得的鋼筋有x根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z根，則長(zhǎng)為290，210，150毫米