傳染病模型.ppt

動態(tài)微分方程模型 傳染病模型 四個模型 問題提出 本世紀(jì)初 瘟疫常在世界上某地流行 隨著人類文明的不斷進(jìn)步 很多疾病 諸如天花 霍亂已經(jīng)得到有效的控制 然而 即使在今天 一些貧窮的發(fā)展中國家 仍出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象 醫(yī)療衛(wèi)生部門的官員與專家所關(guān)注的問題是 1 如何描述傳染病的傳播過程 2 如何分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 3 如何預(yù)報傳染病高潮的到來 問題分析 不同類型傳染病的傳播過程有不同的特點 故不可能從醫(yī)學(xué)的角度對各種傳染病的傳播過程一一進(jìn)行分析 而是按一般的傳播機(jī)理建立模型 由于傳染病在傳播的過程涉及因素較多 在分析問題的過程中 不可能通過一次假設(shè)建立完善的數(shù)學(xué)模型 思路是 先做出最簡單的假設(shè) 對得出的結(jié)果進(jìn)行分析 針對結(jié)果中的不合理之處 逐步修改假設(shè) 最終得出較好的模型 模型一SI模型 模型假設(shè) 1 一人得病后 久治不愈 人在傳染期內(nèi)不會死亡 2 單位時間內(nèi)每個病人傳染人數(shù)為常數(shù)k 為什么假設(shè)不會死亡 因為死亡后便不會再傳播疾病 因而可認(rèn)為此時已退出系統(tǒng) 模型建立 I t 表示t時刻病人的數(shù)量 時間 天則 I t t I t k0I t t于是模型如下 模型的解 舉個實例 最初只有1個病人 1個病人一天可傳染1個人 模型的缺點 問題 隨著時間的推移 病人的數(shù)目將無限增加 這一點與實際情況不符 原因 當(dāng)不考慮傳染病期間的出生 死亡和遷移時 一個地區(qū)的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù) 因此k0應(yīng)為時間t的函數(shù) 在傳染病流行初期 k0較大 隨著病人的增多 健康人數(shù)減少 被傳染的機(jī)會也減少 于是k0將變小 模型修改的關(guān)鍵 k0的變化規(guī)律 模型二 SI模型 設(shè)t時刻健康人數(shù)為S t 病人數(shù)為I t 模型假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)為n不變 既不考慮生死 也不考慮遷移 I t 十S t n 2 一人得病后 久治不愈 且在傳染期內(nèi)不會死亡 3 一個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康的人數(shù)成正比 比例系數(shù)為k 稱之為傳染系數(shù) 模型改進(jìn) 方程的解 對模型作進(jìn)一步分析 傳染病人數(shù)與時間t關(guān)系 傳染病人數(shù)的變化率與時間t的關(guān)系 染病人數(shù)由開始到高峰并逐漸達(dá)到穩(wěn)定 增長速度由低增至最高后降落下來 疾病的傳染高峰期 此時 計算高峰期得 意義 1 當(dāng)傳染系數(shù)k或n增大時 t0隨之減少 表示傳染高峰隨著傳染系數(shù)與總?cè)藬?shù)的增加而更快的來臨 這與實際情況比較符合 2 令 kn 表示每個病人每天有效接觸的平均人數(shù) 稱日接觸率 t0與 成反比 表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平 越小衛(wèi)生水平越高 故改善衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮的來臨 模型的缺點 缺點 當(dāng)t 時 I t n 這表示所有的人最終都將成為病人 這一點與實際情況不符合原因 這是由假設(shè) 1 所導(dǎo)致 沒有考慮病人可以治愈及病人病發(fā)身亡的情況 思考題 考慮有病人病發(fā)身亡的情況 再對模型進(jìn)行修改 模型三 SIS模型 有些傳染病 如痢疾 愈后免疫力很低 還有可能再次被傳染而成為病人 模型假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)為 s t i t n 2 一個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康人數(shù)成正比 比例系數(shù)為k 3 單位時間治愈的人數(shù)與病人總數(shù)成正比 比例系數(shù)為h 稱日治愈率 病人治愈后成為仍可被感染的健康者 稱1 h為傳染病的平均傳染期 如病人數(shù)保持10人 每天治愈2人 h 1 5 則每位病人平均生病時間為1 h 5天 模型的建立 假設(shè)2 3得 將假設(shè)1代入 可得模型 模型的解 閾值 nk h的意義 一個病人在平均傳染期內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康的人數(shù)成正比 治愈率為h 模型的意義 t i t 圖 1 當(dāng) 1時 指傳染期內(nèi)被傳染的人數(shù)不超過當(dāng)時健康的人數(shù) 病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例i t 越來越小 最終趨于零 2 當(dāng) l時 i t 最終以1 1 為極限 3 當(dāng) 增大時 i 也增大 是因為隨著傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)占當(dāng)時健康人數(shù)的比例的增加 當(dāng)時的病人數(shù)所占比例也隨之上升 模型四 SIR模型 某些傳染病如麻疹等 治愈后均有很強(qiáng)的免疫力 所以病愈的人既非健康人 也非病人 模型假設(shè) 1 人群分為健康者 病人 病愈免疫者三類 這三類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s t i t r t 則有s t i t r t n 2 單位時間內(nèi) 一個病人傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康者人數(shù)成正比 比例系數(shù)為k 3 在單位時間內(nèi) 病愈免疫的人數(shù)與當(dāng)時病人人數(shù)成正比 比例系數(shù)為 模型的建立 從此方程無法求出i t 與s t 的解析解 我們可以從相軌線作定性分析 相軌線 相軌線 s i 圖中箭頭表示了隨著時間t的增加s t 和i t 的變化趨向 相軌線分析結(jié)果 1 不論初始條件s0 i0如何 病人終將消失 2 最終未被感染的健康者的比例是s 圖中可看出是在 0 1 內(nèi)的單根 3 若s0 1 則i t 先增加 當(dāng)s 1 時 i t 達(dá)到最大 4 若s0 1 則i t 單調(diào)減小至零 閾值1 的意義 1 減小傳染期接觸數(shù) 即提高閾值l 使得s0 1 即 1 s0 傳染病就不會蔓延 2 衛(wèi)生 醫(yī)療水平 3 交換數(shù)的意義 s s 1 是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均人數(shù) 稱為交換數(shù) 其含義是一個病人被 s個健康者交換 4 的估計 模型驗證 印度孟買的一個例子 圖中 實際數(shù)據(jù)用圓點表示 可以看出 理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯 SIR模型的兩個應(yīng)用 被傳染比例的估計群體免疫和預(yù)防 被傳染比例的估計 假定很小 接近于1 其中 這個結(jié)果表明 被傳染人數(shù)比例約為的2倍 當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變 即不變時 這個比例就不會改變 而當(dāng)閾值提高時 減小 于是這個比例就會降低 群體免疫和預(yù)防 根據(jù)對模型的分析 當(dāng)時 傳染病不會蔓延 因而制止傳染病蔓延的途徑有兩條1 提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平 使閾值變大 2 通過預(yù)防接種使群體得到免疫 降低 只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例 即免疫者比例 滿足 式 就可以制止傳染病的蔓延 課后任務(wù) 請各位同學(xué)進(jìn)行一些調(diào)查 根據(jù)模型算一算在廣州 非典型肺炎爆發(fā)的高潮大概是在何時 與實際情況相吻合嗎 根據(jù)模型請給出你的建議 思考題1 設(shè)某城市共有n 1人 其中一人出于某種目的編造了一個謠言 該城市具有初中以上文化程度的人占總?cè)藬?shù)的一半 這些人只有1 4相信這一謠言 而其他人約有1 3會相信 又設(shè)凡相信此謠言的人每人在單位時間內(nèi)傳播的平均人數(shù)正比于當(dāng)時尚未聽說此謠言的人數(shù) 而不相信此謠言的人不傳播謠言 試建立一個反映謠言傳播情況的微分方程模型 思考題2 汽車停車距離可分為兩段 一段為發(fā)現(xiàn)情況到開始制動這段時間里駛過的距離DT 這段時間為反應(yīng)時間 另一段則為制動時間駛過的距離DR 現(xiàn)考核某司機(jī) 考核結(jié)果如下 行駛速度DTDR36公里 小時3米4 5米50公里 小時5米12 5米70公里 小時7米24 5米 1 作出停車距離D的經(jīng)驗公式 2 設(shè)制動力正比于車重 建立理論分析模型并求出D的公式 思考題3 本世紀(jì)初 在倫敦曾觀察到一種現(xiàn)象 大約每兩年發(fā)生 次麻疹傳染病 生物數(shù)學(xué)家H E索珀試圖解釋這種現(xiàn)象 他認(rèn)為易受傳染者的人數(shù)因人口中新添新的成員而不斷得到補(bǔ)充 試建立數(shù)學(xué)模型 思考題4 房屋管理部門想在房頂?shù)倪吘壈惭b一個檐槽 其目的是為了雨天出入方便 簡單說來 從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個12米長 6米寬的矩形平面 房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定 一般說來 這個角度通常在200 500之