高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第1講 一元二次不等式及其解法配套課件 理 新人教A版 .ppt

第1講一元二次不等式及其解法 考點梳理 1 將不等式的右邊化為零 左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 2 求出相應(yīng)的一元二次方程的根 3 利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集 1 一元二次不等式的求解步驟 2 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù) 一元二次方程的關(guān)系如下表 x x1 x x2 r 一個命題解讀一元二次不等式 分式不等式及其他不等式的解法是高考考查的熱點 以填空的形式出現(xiàn)在高考中 而不等式的解法與函數(shù) 數(shù)列 平面向量 解析幾何 導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合的問題 則以解答題形式呈現(xiàn) 尤其是含參數(shù)的不等式及恒成立問題 考查得更多一些 兩個防范 1 二次項系數(shù)中含有參數(shù)時 參數(shù)的符號影響不等式的解集 不要忘了二次項系數(shù)是否為零的情況 2 解含參數(shù)的一元二次不等式 可先考慮因式分解 再對根的大小進行分類討論 若不能因式分解 則可對判別式進行討論 分類要不重不漏 助學(xué) 微博 1 2012 南京學(xué)情分析 若不等式x2 2x 3 a2 2a 1在r上的解集是 則實數(shù)a的取值范圍是 解析由題意得a2 2a 1 x2 2x 3 x 1 2 2恒成立 所以a2 2a 3 0 解得 1 a 3 答案 a 1 a 3 考點自測 2 2012 揚州調(diào)研 不等式 x 1 x 2 0的解集是 答案 1 1 2 答案28 4 2012 南京模擬 已知a x 1 x 2 b x x2 2x a 0 a b的交集不是空集 則實數(shù)a的取值范圍是 解析若a b的交集是空集時 即x2 2x a 0在1 x 2上恒成立 令f x x2 2x a 因為對稱軸為x 1 所以y f x 在集合a上遞增 所以f 2 0即可 所以a 8 所以a b的交集不是空集時 實數(shù)a的取值范圍是 8 答案 8 5 2012 蘇北四市調(diào)研一 已知p x2 4x 5 0 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若p是q的充分不必要條件 則m的最大值為 答案2 1 若f x 7a 0僅有一個解 求f x 的表達(dá)式 2 若f x 在 上單調(diào)遞增 求實數(shù)a的取值范圍 考向一一元二次不等式的解法及其應(yīng)用 方法總結(jié) 解一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的一般步驟是 1 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 2 確定判別式 的符號 3 若 0 則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根 若 0 則對應(yīng)的二次方程無根 4 結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集 特別地 若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式 則可直接寫出不等式的解集 1 當(dāng)m 3時 求a rb 2 若a b x 1 x 4 求實數(shù)m的值 2 由 1 知a x 1 x 5 而b x x2 2x m 0 且a b x 1 x 4 所以4是方程x2 2x m 0的一個根 即42 2 4 m 0 所以m 8 此時 b x 2 x 4 符合題意 故實數(shù)m的值為8 x r 2x2 3 1 a x 6a 0 d a b 1 求集合d 用區(qū)間表示 2 求函數(shù)f x 2x3 3 1 a x2 6ax在d內(nèi)的極值點 解 1 從集合b中的一元二次不等式的解法入手 抓住其判別式的正負(fù)對解集的影響來討論即可 2 結(jié)合第 1 問 再運用數(shù)形結(jié)合法 討論f x 的單調(diào)性即得其極值 考向二含有參數(shù)的不等式的解法及其應(yīng)用 例2 2012 廣東卷 設(shè)a0 b 2 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x 1 x a a1時 f x 0 f x 單調(diào)遞增 當(dāng)a1 所以此時f x 在d x2 上無極值點 由f 0 0 f a 2a3 3 1 a a2 6a2 a2 3 a 0 f 1 2 3 1 a 6a 3a 1 0 再由f x 的單調(diào)性可得0 a x1 1 x2 此時f x 在d上只存在一個極大值點x a 方法總結(jié) 解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 1 若二次項含有參數(shù)應(yīng)討論是否等于0 小于0 還是大于0 然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式 2 其次判斷方程的根的個數(shù) 討論判別式 與0的關(guān)系 3 再次當(dāng)方程有兩個根時 要討論兩根的大小關(guān)系 從而確定解集形式 訓(xùn)練2 解關(guān)于x的不等式 1 ax 2 1 1 若對于一切實數(shù)x f x 0恒成立 求m的取值范圍 2 若對于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范圍 考向三一元二次不等式恒成立問題 例3 設(shè)函數(shù)f x mx2 mx 1 當(dāng)m 0時 6 0恒成立 當(dāng)m 0時 g x 在 1 3 上是減函數(shù) 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 方法總結(jié) 1 含參數(shù)的不等式恒成立問題 通過分離參數(shù) 參數(shù)的范圍化歸為函數(shù)的最值問題 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 2 一元二次不等式恒成立問題 時 f x a恒成立 求a的取值范圍 解法一f x x a 2 2 a2 此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x a 當(dāng)a 1 時 f x 在 1 上單調(diào)遞增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 當(dāng)a 1 時 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 1 a 1 綜上所述 所求a的取值范圍為 3 1 訓(xùn)練3 已知f x x2 2ax 2 a r 當(dāng)x 1 含參數(shù)的不等式恒成立問題越來越受到高考命題者的青睞 且由于新課標(biāo)對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強 這些不等式恒成立問題往往與導(dǎo)數(shù)問題交織在一起 在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢 對含有參數(shù)的不等式恒成立問題 破解的方法主要有 分離參數(shù)法和函數(shù)性質(zhì)法 解決這類問題的關(guān)鍵是將恒成立問題進行等價轉(zhuǎn)化 使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 規(guī)范解答11怎樣求解含參數(shù)不等式的恒成立問題 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 求所有的實數(shù)a 使e 1 f x e2對x 1 e 恒成立 注 e為自然對數(shù)的底數(shù) 審題路線圖 第 1 問求f x 令f x 0或f x 0可求單調(diào)區(qū)間 第 2 問只需f x min e 1且f x max e2即可 示例 2011 浙江卷 設(shè)函數(shù)f x a2lnx x2 ax a 0 模板構(gòu)建 解含參數(shù)不等式恒成立問題 可按下列方法求解 第一種方法 利用判別式法求解 對于一元二次不等式恒成立問題這是最基本方法 第二種方法 構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)最值法求解 即f x 0恒成立 f x min 0 f x 0恒成立 f x max 0 第三種方法 數(shù)形結(jié)合法求解 對不太常規(guī)的函數(shù) 有時較為方便 第四種方法 分離參數(shù) 用最值法求解 即f x a恒成立 f x max a f x a恒成立 f x min a 恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 解析由題意得 a2 8a 0 解得0 a 8 答案 0 8 高考經(jīng)典題組訓(xùn)練 1 2012 福建卷 已知關(guān)于x的不等式x2 ax 2a 0在r上 域為 0 若關(guān)于x的不等式f x c的解集為 m m 6 則實數(shù)c的值為 3 2012 江蘇卷 已知函數(shù)f x x2 ax b a b r 的值 答案9 ax 1 0 則a 解析由題知x 0時均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 當(dāng)a 1時 不符合題意 當(dāng)a 1時 4 2012 浙江卷 設(shè)a r 若x 0時均有