南京航空航天大學《高等數(shù)學》88多元函數(shù)的極值及其求.pdf

多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 yx z f xeuyxufz y 2 1 求具有連續(xù)二階偏導數(shù) 已知 例 課堂練習 求具有連續(xù)二階偏導數(shù) 已知 例 課堂練習 23211311 2 1 232113111 21 1 21 2 ffxefefxefe ffxeffxeefe y f y f efe ffe yx z yyx z yyyy yyyy yy y 答案 答案 2 2 222 2 x z f y z yfzyxyxzz 求是任意可微函數(shù)所確定 由函數(shù)例 求是任意可微函數(shù)所確定 由函數(shù)例 z y z f x x z 2 2 答案 答案 3 22 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zfy yfxzfy z y z f x z x z yy z fxz y z f z y z f z y z f x xz y z f z y z f x xx z xx z 極值極值 局部概念局部概念 極大值 極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 極大值 極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點 一 多元函數(shù)的極值和最值一 多元函數(shù)的極值和最值 1 二元函數(shù)極值的定義1 二元函數(shù)極值的定義 定義定義 的極大值點為點 有極大值在稱 有若當 的某個鄰域內(nèi)有定義在設 的極大值點為點 有極大值在稱 有若當 的某個鄰域內(nèi)有定義在設 000 00000 000 000 yxfyxM yxfyxMyxfz yxfyxfMUyx yxMyxfz 小 小 小 小 例1例1 處有極小值 在 函數(shù) 處有極小值 在 函數(shù) 0 0 43 22 yxz 例 例 處有極大值 在 函數(shù) 處有極大值 在 函數(shù) 0 0 22 yxz 例 例 處無極值 在 函數(shù) 處無極值 在 函數(shù) 0 0 22 xyz 0 0 2 1 0000 00 000 yxfyxf yx yxMyxfz yx 是極值點 偏導數(shù)存在在點設 極值的必要條件 是極值點 偏導數(shù)存在在點設 極值的必要條件 值小為極值點 小為極點 若元函數(shù) 的極值定義可推廣到二元函數(shù) 值小為極值點 小為極點 若元函數(shù) 的極值定義可推廣到二元函數(shù) 大大大大 00 0 pfp pfpfpfun yxfz yxzyxz yxz 但 的偏導數(shù)不存在在如 能是極值點偏導數(shù)不存在的點也可 但 的偏導數(shù)不存在在如 能是極值點偏導數(shù)不存在的點也可 注 問題 如何判定一個駐點是否為極值點 問題 如何判定一個駐點是否為極值點 0 3 0 2 0 0 0 1 0 2 1 00 2 00 2 00 2 000000 0000 00 是否為極值點不能確定 時當 不是極值點時當 極小點 極大點 為極值點且時當 令 有二階連續(xù)偏導數(shù) 的某一鄰域內(nèi)在點 設充分條件 是否為極值點不能確定 時當 不是極值點時當 極小點 極大點 為極值點且時當 令 有二階連續(xù)偏導數(shù) 的某一鄰域內(nèi)在點 設充分條件 yx BAC yxBAC AA yxBAC CyxfAyxfByxf yxfyxf yxyxfz yyxxxy yx 定理定理2 第一步第一步 解方程組解方程組 0 yxfx 0 yxf y 求出實數(shù)解 得駐點求出實數(shù)解 得駐點 第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點 00 yx 求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值 A B C 第三步第三步 定出定出 2 BAC 的符號 再判定是否是極值的符號 再判定是否是極值 求函數(shù)求函數(shù)z f x y 極值的一般步驟 極值的一般步驟 3 33 的極值求的極值求xyyxyxf 1 1 0 0 033 033 2 2 得解方程組 得解方程組 xyf yxf y x 30 0 0 366 BCA fyfxf xyyyxx 對 又 對 又 0 0 0 2 不是極值點 不是極值點 是極小值 是極小點 又 f A BCA對對 例例4 解解 求最值的一般方法求最值的一般方法 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D D 的邊界上的最大值和最小值相互比較 其中最 大者即為最大值 最小者即為最小值 的邊界上的最大值和最小值相互比較 其中最 大者即為最大值 最小者即為最小值 與一元函數(shù)相類似 我們可以利用函數(shù)的 極值來求函數(shù)的最大值和最小值 與一元函數(shù)相類似 我們可以利用函數(shù)的 極值來求函數(shù)的最大值和最小值 3 多元函數(shù)的最值3 多元函數(shù)的最值 最大值最小值 得上的多元連續(xù)函數(shù)必取有界閉區(qū)域 最大值最小值 得上的多元連續(xù)函數(shù)必取有界閉區(qū)域 D 例 5例 5 求二元函數(shù)求二元函數(shù) 4 2 yxyxyxfz 在直線在直線6 yx x軸和軸和y軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域D 上的最大值與最小值上的最大值與最小值 解解 先求函數(shù)在先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點 內(nèi)的駐點 x y o 6 yx D 如圖如圖 解方程組解方程組 0 4 0 4 2 22 2 yxyxxyxf yxyxxyyxf y x 得區(qū)域得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點內(nèi)唯一駐點 1 2 且且4 1 2 f 再求再求 yxf在在D邊界上的最值 邊界上的最值 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0 yxf 在邊界在邊界6 yx上 即上 即xy 6 于是于是 2 6 2 xxyxf 由由 02 6 4 2 xxxf x 得得4 0 21 xx 2 6 4 x xy 64 2 4 f 比較后可知比較后可知4 1 2 f為最大值為最大值 64 2 4 f為最小值為最小值 x y o 6 yx D 上面講的函數(shù)極值問題中上面講的函數(shù)極值問題中 對自變量除限制在對自變量除限制在 定義域內(nèi)定義域內(nèi) 沒有其它限制沒有其它限制 無條件極值問題無條件極值問題 0 222 條件極值問題 件所取之值須滿足附加條但變量 的最小值要求依題意 條件極值問題 件所取之值須滿足附加條但變量 的最小值要求依題意 zyxF zyx zyxu 而有的極值問題提出時而有的極值問題提出時 還有附加條件 還有附加條件 即對自變量有約束條件即對自變量有約束條件 條件極值問題條件極值問題 0 最小使得它到原點的距離為 上找一點在曲面例如 最小使得它到原點的距離為 上找一點在曲面例如PzyxF 二 條件極值拉格朗日乘數(shù)法二 條件極值拉格朗日乘數(shù)法 0 即所謂拉格朗日乘數(shù)法 值的方法在這種情況下如何找極提出 曾法國數(shù)學家拉格朗日為此運算 極值常會遇到過繁的將條件極值化為無條件 是很困難的解出可是由于從 即所謂拉格朗日乘數(shù)法 值的方法在這種情況下如何找極提出 曾法國數(shù)學家拉格朗日為此運算 極值常會遇到過繁的將條件極值化為無條件 是很困難的解出可是由于從 Lagrange zzyxF 0 222 222 轉化為無條件極值 得代入 解出我們可由自然 轉化為無條件極值 得代入 解出我們可由自然 ei yxyxfyxu zyxu yxfzzyxF 下的可能極值點 0 在附加條件求 下的可能極值點 0 在附加條件求 x yf x yz 法則L 法則L 是參數(shù) 構造函數(shù) 是參數(shù) 構造函數(shù) x yx yfx yF 就是可能的極值點 解出 0 0 0 從方程 就是可能的極值點 解出 0 0 0 從方程 x y y x x y x yx yfF x yx yfF yyy xxx 0 0 00 xyxfz xyyyxyx y 由設由設 0 0 00 2 00 2 00 yxyx ff yxyxfzyx yx yxyx 且 均連續(xù)設的極值點 下在條件是設 且 均連續(xù)設的極值點 下在條件是設 0 0 0 0000 0 00 0 xyyxfyxf dx dz xxxyxfz yxyxfz yx xx 即 的極值在 處取得極值就是在 即 的極值在 處取得極值就是在 證明證明 00 00 0 yx yx xy y x 而 而 00 00 yx yxf y y 令 令 0 0 0 00 0000 0000 yx yxyxf yxyxf xx yy 即即 1 類似的結果對于多個變量的情形有 類似的結果對于多個變量的情形有 0 0 0 0 zyx zyx zyxF zyxF zyxF zyxzyxfzyxF z y x 注 的必要條件為 的極值點在求 的必要條件為 的極值點在求0 zyxzyxfu zzzz y x zyxfF F F zyxzyxzyxfzyxF zyxzyxzyxfu 0 0 0 0 0 0 0 2 令 的極值點在求 令 的極值點在求 9585 22 的半軸長求橢圓 的半軸長求橢圓 yxyx例例1 9585 9585 2222 22222 yxyxyxF yxyxyxdu 令 之下的極值 在求 令 之下的極值 在求 3 9585 2 08102 1 08102 22 yxyx xyyF yxxF y x 解解 2 9 2 1 9810 9 810 3 2222 2 xxxx xxx代入代入 3 abA再求再求 0 5 4 5 045 2 4 045 1 22 2 2 yx xxyxyx yxyyxy 1292 2 1 2 2 9 2 22 min 22 max xx xdxd 例例2 0 0 0 0222 2 zyx axzyzxyzyx xyzV zyx 在條件求 高為寬設長 在條件求 高為寬設長 222 2 axzyzxyxyzzyxF 令令 0222 0 2 0 2 0 2 2 axzyzxy xyxy zxxz zyyz 解解 2 而體積為最大的長方體求表面積為而體積為最大的長方體求表面積為a 6 0 0 2 0 2 0 2 2 2 a zyx xzyzxy xzyzxyz yzyxxyz xzxyxyz a 1 22 與最短距離求原點到這橢圓的最長一橢圓 截成被平面拋物面 與最短距離求原點到這橢圓的最長