二次函數(shù)(基礎(chǔ)思想)講義.doc

二 次 函 數(shù)考點(diǎn)解析：一、認(rèn)識(shí)二次函數(shù)1、二次函數(shù)的常見(jiàn)解析式及其三要素函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同；如果相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同。平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。2、二次函數(shù)的性質(zhì)：增減性：以對(duì)稱軸為界，具有雙向性。對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以拋物線的對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線.即：若、兩點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，則有：；(即)。基礎(chǔ)練習(xí)題：1、拋物線y = - 2 ( x 3 )2 7 對(duì)稱軸 x = , 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；2、拋物線 y = 2x2 + 12x 25的對(duì)稱軸為 x = , 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .3、若將二次函數(shù)y=x22x + 3配方為y =（xh）2 + k的形式，則y= 4、拋物線y= - 4（x+2）2+5的對(duì)稱軸是 。5、拋物線 y = - 3x2 + 5x - 4開(kāi)口 , y = 4x2 6x + 5 開(kāi)口 .6、已知P1（）、P2（）、P3（）是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若，則的大小關(guān)系是_。7、已知函數(shù)y=x2-2x-2的圖象如圖所示，根據(jù)其中提供的信息，可求得使y1成立的x的取值范圍是( )A-1x3 B-3x1 Cx-3 Dx-1或x38、如圖中有相同對(duì)稱軸的兩條拋物線,下列關(guān)系不正確的是( )A h=m B k=n C kn D h0,k09、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則m= 10、如圖拋物線對(duì)稱軸是x=1,與x軸交于A、B兩點(diǎn),若B點(diǎn)的坐標(biāo)是(,0),則A點(diǎn)的坐標(biāo)是 11、請(qǐng)選擇一組你喜歡的的值，使二次函數(shù)的圖象同時(shí)滿足下列條件：（1）開(kāi)口向下，（2）當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小。這樣的二次函數(shù)的解析式可以是_。拓展提升：1、已知拋物線y=(x - 4)2 - 3的部分圖像(如圖) 圖像再次與x軸相交時(shí)的坐標(biāo)是（ ）(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)2、如圖，已知二次函數(shù)y= (a0)的圖象的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是4，圖象交x軸于點(diǎn)A(m，0)和點(diǎn)B，且m4，那么AB的長(zhǎng)是 ( )(A)4+m (B)m (C)2m一8 (D)82m3、已知點(diǎn)A（1,）、B（）、C（）在函數(shù)上，則、的大小關(guān)系是( )A B C D 4、開(kāi)口向下的拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），則_。5、拋物線上有兩點(diǎn)（3，8）和（5，8），則對(duì)稱軸是 。6、已知二次函數(shù)，則當(dāng)m= 時(shí)，其最大值為0.二、函數(shù)與方程要點(diǎn)： y = ax2 + bx + c ( a 0 ) 二元二次不定方程 有無(wú)數(shù)組解 在直角坐標(biāo)系中有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)（確定函數(shù)y的值） 如： ax2 + bx + c =3 ( a 0 ) 一元二次方程 有確定解 確定在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)1、已知函數(shù)解析式，求點(diǎn)的問(wèn)題，可用方程或方程組解決（代入法）。2、已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求函數(shù)解析式中待定系數(shù)的問(wèn)題，也可用方程思想解決?；A(chǔ)練習(xí)題：1、拋物線 y = 2x2 + bx 5 過(guò)點(diǎn)A ( - 2, 9 )，則關(guān)于“b”的方程為 ，此拋物線的解析式為 .2、已知函數(shù) y = x2 + bx 1 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2），則這個(gè)函數(shù)的解析式為 ；圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 。3、拋物線 y = 2x2 - 3x 5 過(guò)點(diǎn)A ( n, 9 )，解得 n = .4、y = - 2x2 + 5x 3 與 y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，5、y = 2x2 5x + c 與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0，3 ），則有c = .6、y = - 2x2 + 5x 3 與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 、 .應(yīng)用1：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三組（、）的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.基礎(chǔ)練習(xí)題：1、二次函數(shù) y = ax2 + bx+ c的圖象的頂點(diǎn)A 的坐標(biāo)為 ( 1, - 3 )，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) B ( -1, 5 )，則設(shè) y = , 得方程為 ，解得 ，此函數(shù)解析式為 . 2、二次函數(shù) y = ax2 + bx + c的圖象與 x 軸交于點(diǎn)A ( - 3, 0 )，對(duì)稱軸x = -1，頂點(diǎn)C到x軸的距離為2，則設(shè) y = , 得方程為 ，解得 ，此函數(shù)解析式為 . 3、已知拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，0）、（3，0）、（2，5），則設(shè) y = , 得方程為 ，解得 ，此函數(shù)解析式為 。4、拋物線經(jīng)過(guò)(1,3).(0,-2)和(-2,4),則拋物線的解析式為 . 綜合練習(xí)題：1、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn).（1）觀察圖象寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此二次函數(shù)的解析式；（2）求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。2、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)(0,3),且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）。（1）求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x 為何值時(shí),函數(shù)值為0?當(dāng)x為何值時(shí),函數(shù)值y隨著x的增大而增大?當(dāng)x 為何值時(shí),y 隨 x的增大而減小?xyO3911AB圖1 13、如圖1，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖像上（其中m0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求m的值及點(diǎn)Q 到x軸的距離4、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)用2：直線與拋物線的交點(diǎn)（1）拋物線與軸（或平行于軸的直線）的交點(diǎn)該交點(diǎn)是由所得，且只有一個(gè)(,).特別地，當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為(0, ).（2）拋物線與軸（或平行于軸的直線）的交點(diǎn)由方程組所得，故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的解；交點(diǎn)的個(gè)數(shù)受方程根的判別式?jīng)Q定，即：拋物線與軸相交有兩個(gè)交點(diǎn)（x1、k）（x2、k）；拋物線與軸相切有一個(gè)交點(diǎn)（x、k）（即頂點(diǎn)在上）；拋物線與軸相離沒(méi)有交點(diǎn).特別地，當(dāng)時(shí)，即表示為與x軸的交點(diǎn)。一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若與軸的兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩根，故：所以：基礎(chǔ)練習(xí)題：1、若二次函數(shù)y=x24x+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c=_ _（只寫一個(gè)）2、已知二次函數(shù) y = ax2 2 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，- 1），則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 ，該函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .3、拋物線y = x2 - 6x + c 的頂點(diǎn)在 x軸上，則 c 的值是（ ）.（A） 9 （B） 3 （C） - 9 （D） 04、函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是 拓展提升：1、二次函數(shù)的值永遠(yuǎn)為負(fù)值的條件是a 0, 02、二次函數(shù)y=x26x5，當(dāng)時(shí)，y0，且隨的增大而減小。3、二次函數(shù)y=x22x3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_(kāi).4、已知： 二次函數(shù) y = ( m 3 ) x2 + 2mx + m + 2，其中m 為常數(shù)，且滿足-2 m 3，此拋物線的開(kāi)口 ，與 x 軸 交點(diǎn)（填有、無(wú)），與 y 軸的交點(diǎn)在x 軸 （填上方、下方）.5、如果二次函數(shù)y = 2x2 + ( 2a b )x + b，當(dāng)且僅當(dāng)1 x 2 時(shí)，y 0； b = 2a； a + b + c；a b + c ，正確的個(gè)數(shù)是（ ）.(A) 4個(gè) (B) 3個(gè) (C) 2個(gè) (D) 1個(gè) 6、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)于a、b、c間的關(guān)系判斷正確的是（ ） (A) ab 0 (B) bc 0 (D) a-b+c 0）的對(duì)稱軸為x1，交x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），且0x10 b0，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)3、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論： ； ； ； ； ，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)6題4題4、如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A（3， 0），對(duì)稱軸為x1給出四個(gè)結(jié)論：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正確結(jié)論是（） （A）（B）（C）（D）5、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，且a0，a-b+c0，則一定有（ ）（A）b2 - 4ac0 （B）b2 - 4ac=0 （C）b2 - 4ac0 （D）b2 - 4ac06、二次函數(shù)y =ax2bxc 的圖象如圖所示，且P=| abc | 2ab |，Q=| abc | 2ab |，則P、Q的大小關(guān)系為 . 7、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（-3，0），（x1，0），且21b0 6a+c0 9a+c0其中正確的結(jié)論是_（將你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）綜合提升1、若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅圖像分別表示量之間的關(guān)系，請(qǐng)按圖像所給順序，將下面的a、b、c、d對(duì)應(yīng)排序(a) 小車從光滑的斜面上滑下（小車速度與時(shí)間的關(guān)系）(b) 一個(gè)彈簧不掛重物到逐漸掛重物（彈簧長(zhǎng)度與所掛重物重量的關(guān)系）(c) 運(yùn)動(dòng)員推出去的鉛球（鉛球高度與時(shí)間的關(guān)系）(d) 小楊從A到B后，停留一段時(shí)間，然后按原速度返回（路程與時(shí)間的關(guān)系）正確的順序是：（ ）(A)（c）（d）（b）（a） (B)（a）（b）（c）（d）(C)（b）（c）（a）（d） (D)（d）（a）（c）（b）2、在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（ ）OxyOxyOxyOxyABCDOxy3、反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象如圖，它們的解析式可能分別是（ ）（A）y=，y=kx2-x （B）y=，y=kx2+x （C）y=-，y=kx2+x （D）y=-，y=-kx2-x 4、已知一次函數(shù) y = ax + c 與二次函數(shù) y = ax2 + bx + c，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的大致圖象是（ ）.(A) (B) (C) (D)5、下列圖中陰影部分的面積與算式|+（）2 + 2-1的結(jié)果相同的是 （ ）6、如圖，OAB是邊長(zhǎng)為2+的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸的正方向上，將OAB折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A 折痕為EF（1）當(dāng) AE / x軸時(shí)，求點(diǎn)A 和E的坐標(biāo)；（2）當(dāng) AE / x軸時(shí)，且拋物線y= x2 + bx + c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 和E時(shí)，求該拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)A 在OB上運(yùn)動(dòng)但不與O、B 重合時(shí)，能否使A EF成為直角三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由。7、拋物線 y = x2 - 2x + c 與 x 軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn)C，且OC =OB，求此拋物線的函數(shù)解析式及三角形ABC的面積.8、如圖、已知拋物線y=x2 ax+a+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C。動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)。連結(jié)PQ、CB.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 . （1）求a的值；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ