《球的體積和表面積》教案

球的體積和表面積教案教學目標1、知識與技能通過對球的體積和面積公式的推導，了解推導過程中所用的基本數(shù)學思想方法：“分割求和化為準確和”，有利于同學們進一步學習微積分和近代數(shù)學知識.能運用球的面積和體積公式靈活解決實際問題.培養(yǎng)學生的空間思維能力和空間想象能力.2、過程與方法通過球的體積和面積公式的推導，從而得到一種推導球體積公式R3和面積公式4R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想.3、情感與價值觀通過學習，使我們對球的體積和面積公式的推導方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強了我們探索問題和解決問題的信心.教學重難點重點：引導學生了解推導球的體積和面積公式所運用的基本思想方法.難點：推導體積和面積公式中空間想象能力的形成.教學過程一、創(chuàng)設情景提出問題：球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？引導學生進行思考.設疑引課：球的大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？激發(fā)學生推導球的體積和面積公式.二、探究新知1探究球的體積公式回顧祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截面的面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.構造新的幾何體，結(jié)合祖暅原理推導球的體積公式(見P32頁).球的體積公式：. 2.探究球的表面積公式設球的半徑為，我們把球面任意分割為一些“小球面片”，它們的面積分別用表示，則球的表面積:以這些“小球面片”為底，球心為頂點的“小錐體”的體積和等于球的體積，這些“小錐體”可近似地看成棱錐，“小錐體”的底面積可近似地等于“小棱錐”的底面積，球的半徑近似地等于小棱錐的高，因此，第個小棱錐的體積，當“小錐體”的底面非常小時，“小錐體”的底面幾乎是“平的”，于是球的體積:，又，且可得，又，即為球的表面積公式三、例題示范例1已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積.解：設截面圓心為，連結(jié)，設球半徑為，則，在中，例2半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，求球的表面積和體積.解：作軸截面如圖所示，設球半徑為，則 ，例3表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積解：設球半徑為，正四棱柱底面邊長為，則作軸截面如圖，又，例4. 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：(1) 球的體積等于圓柱體積的；(2) 球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。證明:(1) 設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.因為 所以,(2) 因為 ,所以,. 四、練習反饋1三個球的半徑之比為，那么最大的球的體積是其余兩個球的體積和的_倍；2.若球的大圓面積擴大為原來的倍，則球的體積比原來增加_倍；3.把半徑分別為3，4，5的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是_；4.正方體全面積是，它的外接球的體積是_，內(nèi)切球的體積是_答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ，5球O1、O2、分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點都在球O3的表面上，求三個球的表面積之比分析：球的表面積之比事實上就是半徑之比的平方，故只需找到球半徑之間的關系即可解：設正方體棱長為a，則三個球的半徑依次為、，三個球的表面積之比是五、小結(jié)歸納球的表面積公式的推導及應用；球的內(nèi)接正方體、長方體及外切正方體的有關計算“分割求近似和化為準確和”的方法，是一種重要