構(gòu)造直角三角形巧解題.doc

構(gòu)造直角三角形巧解題 有些幾何題，若能仔細(xì)觀察、把握特征、抓住本質(zhì)、恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就會(huì)收到化難為易、事半功倍的效果.下面舉例介紹構(gòu)造直角三角形解題的若干常用方法，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.一、利用已知直角構(gòu)造直角三角形圖1EACBD例1：如圖1，在四邊形ABCD中，A=，B=D=，AB=2，CD=1.則BC和AD的長分別為_和_.解析:考慮到圖中含有和的角，若延長AD、BC相交于E，則可以構(gòu)造出RtAEB和RtCED，易知E=，從而可求出DE=，AE=4，BE=2，故AD=4-，BC=2-2.二、利用勾股定理構(gòu)造直角三角形例2：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，A=，ADC=，已知四邊形ABCD的周長為32，求四邊形ABCD的面積.ABCD圖2解析:四邊形ABCD是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，要求其面積，可設(shè)法變成特殊的三角形求解.連接BD，則ABD是等邊三角形， BDC是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，求ABD的面積不難解決，關(guān)鍵是求BDC的面積.可運(yùn)用周長和勾股定理聯(lián)合求出DC，從而求出BDC的面積.解答:連接BD.AB=AD，A=，ABD是等邊三角形.ADB=，BD=AD=AB=8. 因?yàn)锳DC=，BDC=，故BDC是直角三角形，因?yàn)樗倪呅蜛BCD的周長為32， AB=AD=8，BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.在RtBDC中， 即.解得DC=6.用勾股定理求出等邊ABD的高為.說明:求不規(guī)則的圖形面積應(yīng)用割補(bǔ)法把圖形分解為特殊的圖形;四邊形中通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形;邊長為a的等邊三角形的高為，面積為.三、利用高構(gòu)造直角三角形例3：如圖3，等腰ABC的底邊長為8cm，腰長為5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從B向C以0.25cm/s的速度移動(dòng)，請你探究：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，P點(diǎn)與頂點(diǎn)A的連線PA與腰垂直.AC圖3DBP解析：本題是一道探究性的動(dòng)態(tài)問題，假設(shè)P在某一時(shí)刻有PAAC，此時(shí)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了幾秒，這是解決問題的著手點(diǎn).設(shè)BP=x，PC=8-x，在RtPAC中，由于PA不知道，無法建立關(guān)系式.考慮ABC是等腰三角形，如作底邊上的高AD，則可用x的代數(shù)式表示AP，用勾股定理便可求出x，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間.當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D與C之間時(shí)，也存在APAB的情況，故要分類討論.解答：作底邊BC的高AD，則ADBC，垂足為D.設(shè)BP=xcm，PAAC.由等腰三角形的性質(zhì)知BD=DC=BC=4cm.在RtADB中， ，AD=3 (cm).在RtPAC中， ，.解得x=，即BP=(cm).P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為0.25=7(s).當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)與C點(diǎn)之間時(shí)，作P點(diǎn)關(guān)于D點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則(cm).(cm).此時(shí)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(s).答：當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)7(s)或25(s)時(shí)，PA與腰垂直.說明：動(dòng)態(tài)探究問題的解答關(guān)鍵是把它在某一瞬間看做不動(dòng)，即動(dòng)中求靜，抓住運(yùn)動(dòng)中的不變量進(jìn)行探究.本例中等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)與勾股定理是構(gòu)成解決問題的紐帶，由于點(diǎn)P是運(yùn)動(dòng)的，故要分類討論.ABCDE圖4四、利用勾股定理的逆定理構(gòu)造直角三角形例4:如圖4，在ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6，求BC的長.解析:注意到5，12，13恰為一組勾股數(shù)，因此加倍延長中線AD到E，連接CE，將AB，AC，2AD集中到同一ACE中，構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理求BC的長.解答:延長AD到E，使DE=AD，連接CE.AD是BC邊上的中線， BD=CD.又AD=ED， ADB=EDC， ADBEDC(SAS)， CE=BA=5.又AC=13，AE=2AD=12， ，即，AEC是直角三角形且E=.在RtDEC中， CD=BC=2CD=2BC邊的長為2.說明:遇到中線問題往往加倍延長，同時(shí)對勾股數(shù)應(yīng)有靈敏的感覺，只要已知三角形三邊的長，就應(yīng)該用勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀.靈活應(yīng)用勾股定理勾股定理在幾何計(jì)算或驗(yàn)證中，均有十分廣泛的應(yīng)用，請看以下幾例一、計(jì)算問題例1一個(gè)零件如圖所示，已知AC=3厘米,AB=4厘米,BD=12厘米，求CD的長.解：在RtABC中,根據(jù)勾股定理知：BC2AC2+AB2=32+42=25在RtCBD中,根據(jù)勾股定理知：CD2BC2+BD2=25+122=169CD0 CD=13厘米例2 如圖在四邊形ABCD中，已知四條邊的比AB:BC:CD:DA2：2：3：1，且B90，則DAB的度數(shù)分析：這道題涉及到角度的求解，需要利用到勾股定理的逆定理（如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形）解：設(shè)DA=m（m0）則AB2m BC=2m CD = 3m在RtABC中，由ABBC=2m知BAC45，又由勾股定理得AC2AB2+BC2=（2m）2+（2m ）2=8m 2 AC2+AD2=（8m）2 + m2=9m2 CD2=（3m）2=9m2AC2+AD2 =CD2 從而DAC90DABDAC+CAB=90+45=135二、推理驗(yàn)證例3如圖在長方形ABCD中，AB=5厘米在CD邊上找一點(diǎn)E，沿直線AE把ABE折疊，若點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)處，且ABF的面積是30平方厘米，求DE的長分析：本題涉及到折疊翻轉(zhuǎn)的知識(shí)，需要注意的是在折疊或翻轉(zhuǎn)過程中形成的軸對稱關(guān)系，然后利用勾股定理，通過設(shè)未知數(shù)解方程來求解解:因?yàn)锳BF的面積是30平方厘米，AB=5厘米所以5BF30，BF12在RtABF中，由勾股定理，得AF2=52+122169所以AF=13由題意，知AFEA所以ADAF13所以BC=13所以FCBCBF13121設(shè)EFDE=x則EC=5x在RtEFC中，由勾股定理，得EF2EC2+FC2所以x2=（5x）2+12解得即DE的長是三、折紙問題近年來出現(xiàn)的折紙問題往往考察學(xué)生對軸對稱勾股定理等知識(shí)的理解及應(yīng)用能力下面舉例說明：例4（山東初中數(shù)學(xué)競賽）如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在D處，則重疊部分AFC的面積為解：DCA和DCA關(guān)于AC對稱，DCA=DCA又DCABDCA=CABCAB=DCAAF=CF設(shè)AF=x則CFX,BF=8X在RtBCF中，由勾股定理得x2=42+（8x）2從而解得x=5例5（北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請賽初二）如圖正方形紙片ABCD中,E為BC重點(diǎn)，折疊正方形，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，壓平后，得折痕MN，設(shè)梯形ADMN的面積為S1梯形BCMN的面積為S2，求S1：S2的值解：過E作EGAB，交MN于F，交AD于G很明顯MN垂直平分AE，所以AN=NE，EFHANH所以EF=AN設(shè)ANNEx,AB=2a 則BEa,BN=2ax 由勾股