初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)--第四講——整式與分式.doc

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四講整式與分式1、 知識結(jié)構(gòu)代數(shù)式分式整式分式的意義分式的基本性質(zhì)分式的運(yùn)算（加、減、乘、除）整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算整式的有關(guān)概念整式的運(yùn)算（加、減、乘、除、乘方）因式分解說明：在本部分，代數(shù)式分為整式和分式討論。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)式分為有理 式和無理式，有理式分為整式和分式，整式分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。2、 知識點(diǎn)梳理1. 代數(shù)式：用運(yùn)算符號和括號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié) 果叫做代數(shù)式的值。2. 單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式（單獨(dú) 一個(gè)數(shù)也是單項(xiàng)式）；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)（包 括符號）；一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。3. 多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式；在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng) 式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就 是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。4. 整式：單項(xiàng)式、多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。5. 分式：兩個(gè)整式A、B相除，即AB時(shí)，可以表示為.如果B中含有字母， 那么叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。6. 同類項(xiàng)：所含的字母相同，且相同的字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)。 把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)；一個(gè)多項(xiàng)式合并 后含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式。合并同類項(xiàng)的法則：把同類 項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變（合 并同類項(xiàng)，法則不能忘，只求系數(shù)代數(shù)和，字母指數(shù)不變樣）。7. 整式的加減：整式的加減就是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的加減，可利用去括號法則和合 并同類項(xiàng)來完成整式的加減運(yùn)算。去括號法則：括號前面是“+” 號，去掉“+”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“” 號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)都變號。（括號前面是“+” 號，去掉括號不變號；括號前面是“”號，去掉括號都變號。）8. 同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 .（m、n都是正整數(shù)）9. 冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即 .（m、n都是正整數(shù)）10. 積的乘方：積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘， 即 .（n為正整數(shù)）11. 整式的乘法：（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系 數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘的積作為積的因式，其余字母連同它 的指數(shù)不變，也作為積的因式。 （2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式乘 以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 （3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多 項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得到的 積相加。12. 同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即 .（m、n是正整數(shù)且mn，a0）. 任何不等于零的數(shù)的零次冪為1，即 13. 整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪 分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則 連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。 （2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每 一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。14. 分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式， 分式的值不變，即 其中M、N為整式，且B0，M0，N0.15. 約分：把一個(gè)分式的分子與分母中相同的因式約去的過程，叫做約分； 如果一個(gè)分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個(gè)分式 叫做最簡分式； 化簡分式時(shí)，如果分式的分子和分母都是單項(xiàng)式，約分時(shí)約去它們系數(shù) 的最大公因數(shù)、相同因式的最低次冪。如果分子、分母是多項(xiàng)式，先分 解因式，再約分。化簡分式時(shí)要將分式化成最簡分式或整式。16. 通分：將幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來分式的值相等的同分母分式的過 程叫做通分。17. 分式的運(yùn)算：（1)分式的乘除：兩個(gè)分式相乘，將分子相乘的積作分子，分母 相乘的積作分母；分式除以分式，將除式的分子和分母顛倒 位置后，再與被除式相乘。 用式子表示為： (2)分式的加減：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減； 異分母分式相加減，先將它們通分，然后進(jìn)行加減。18. 乘法公式：（1）平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于這兩個(gè) 數(shù)的平方差，即 （2）完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和， 加上（或減去）它們積的兩倍，即 19. 因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式 分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 （1）提取公因式法：（一個(gè)多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的因式叫做這個(gè) 多項(xiàng)式的公因式。）如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么 可以把該公因式提取出來作為多項(xiàng)式的一個(gè)因式，提取公因式 后的式子放在括號里，作為另一個(gè)因式，這種分解因式的方法 叫做提取公因式法。 提取的公因式應(yīng)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)（系數(shù)都是整數(shù)時(shí)） 與各項(xiàng)都含有的相同字母的最低次冪的積。 （2）公式法：逆用乘法公式將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫做公式 法。 平方差公式：如果一個(gè)多項(xiàng)式能寫成兩個(gè)數(shù)的平方差的形式， 那么就可以運(yùn)用平方差公式把它因式分解，它等于這兩個(gè)數(shù) 的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。 完全平方公式：如果一個(gè)多項(xiàng)式能寫成兩個(gè)數(shù)的平方和，加 上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，那么就可以運(yùn)用完全平方 公式把它分解因式，它等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。 （3）十字相乘法：如果二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)q能分解 成兩個(gè)因數(shù)、b的積，而且一次項(xiàng)系數(shù)p又恰好是a+b，那 么 就可以進(jìn)行如下的因式分解，即 一般的，上式可以用十字交叉線表示： x +a x +b （4）分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。20. 分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 一元方程的解也叫做方程的根， 在分式方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原分式方程的根，這種根 叫做原分式方程的增根。21. 整數(shù)指數(shù)冪：為了使同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在m、n是正整數(shù)，且mn時(shí)仍 成立，規(guī)定（其中a0，p是自然數(shù)）。 整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)： （m、n為整數(shù)，a0） （m、n為整數(shù)，a0） （n為整數(shù)，a0，b0）.3、 基本要求1.理解用字母表示數(shù)的意義；理解代數(shù)式的有關(guān)概念。2.通過列代數(shù)式，掌握文字語言與數(shù)學(xué)式子的表述之間的轉(zhuǎn)換，領(lǐng)悟字母“代” 數(shù)的數(shù)學(xué)思想；會(huì)求代數(shù)式的值。3. 掌握整式的加、減、乘、除及乘方的運(yùn)算法則，掌握平方差公式、兩數(shù)和（差） 的平方公式。4. 理解因式分解的意義，掌握提取公因式法、公式法、二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)的十字 相乘法、分組分解法等因式分解的基本方法。5.理解分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì)，掌握分式的加、減、乘、除運(yùn)算。6.理解正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有關(guān)整數(shù)指數(shù)冪的 乘（除）、乘方等運(yùn)算的法則。說明：在求代數(shù)式的值時(shí)，不涉及繁難的計(jì)算； 不涉及繁難的整式運(yùn)算，多項(xiàng)式除法中的除式限為單項(xiàng)式； 在因式分解中，被分解的多項(xiàng)式不超過四項(xiàng)，不涉及添項(xiàng)、拆項(xiàng)等技巧； 不涉及繁復(fù)的分式運(yùn)算。四、重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：整式與分式的運(yùn)算，因式分解的基本方法，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算。難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ蚴椒纸饧按鷶?shù)式的混合運(yùn)算。5、 中考考點(diǎn)考點(diǎn)1：代數(shù)式的有關(guān)概念考核要求：（1）掌握代數(shù)式的概念，會(huì)判別代數(shù)式與方程、不等式的區(qū)別； （2）知道代數(shù)式的分類及各組成部分的概念，如整式、單項(xiàng)式、 多項(xiàng)式； （3）知道代數(shù)式的書寫格式.注意單項(xiàng)式與多項(xiàng)式次數(shù)的區(qū)別.例1 （1）下列選項(xiàng)中是代數(shù)式的是( ) A B C D （2）x2y的系數(shù)是 ，次數(shù)是 （3）是 次 項(xiàng)式。 （4）將按字母x的降冪排列 分析：(1)用運(yùn)算符號和括號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù) 式；(2)單項(xiàng)式的系數(shù)包括符號，次數(shù)是所有字母的指數(shù)的和；(3)次 數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)；（4）按x的降冪排列，與y 無關(guān)，y相當(dāng)于是常數(shù)。解：（1）A （2） 3 （3）二 三 （4）考點(diǎn)2：列代數(shù)式和求代數(shù)式的值考核要求：（1）會(huì)用代數(shù)式表示常見的數(shù)量，會(huì)用代數(shù)式表示含有字母的簡 單應(yīng)用題的結(jié)果； （2）通過列代數(shù)式，掌握文字語言與數(shù)學(xué)式子表述之間的轉(zhuǎn)換； （3）在求代數(shù)式的值的過程中，進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算.例2 （1）用代數(shù)式表示： 比a的3倍還多2的數(shù)； x的立方根與2的和. （2）當(dāng)a=2，a=-3，a=時(shí)，求代數(shù)式的值。解：（1）3a+2 （2） 9 9 考點(diǎn)3：整式的加、減、乘、除及乘方的運(yùn)算法則考核要求：（1）掌握整式的加、減、乘、除及乘方的運(yùn)算法則； （2）會(huì)用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行單項(xiàng)式的乘、除、乘方及簡單 混合運(yùn)算； （3）會(huì)求多項(xiàng)式乘以或除以單項(xiàng)式的積或商； （4）會(huì)求兩個(gè)或三個(gè)多項(xiàng)式的積.注意：要靈活理解同類項(xiàng)的概念.例3 （1） 若 是同類項(xiàng)，則m + n _ （2）先化簡，再求值： ，其中， (3)先化簡，再求值： ，其中 （4）已知代數(shù)式的值為9，則的值為_分析：（1）知道同類項(xiàng)的概念；（2）（3）要求熟練掌握整式的運(yùn)算性質(zhì)； （4）巧算。解：（1）5 （2）1 （3）1 （4）7考點(diǎn)4：乘法公式（平方差、兩數(shù)和、差的平方公式）及其簡單運(yùn)用考核要求：（1）掌握平方差、兩數(shù)和（差）的平方公式； （2）會(huì)用乘法公式簡化多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算； （3）能夠運(yùn)用整體思想將一些比較復(fù)雜的多項(xiàng)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法 公式的形式.注意：（1）熟記平方差與完全平方公式。（2）完全平方公式、平方差公式中 字母，不僅表示一個(gè)數(shù)，還可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.例4 (1) ； （2）（ab）(ab) ； (3) (ab)2 ；(4)(ab)2 .（5）計(jì)算：10298； .（6）計(jì)算：；.解：（1）ac+ad+bc+bd （2） （3）（4） （5）9996 ； ； （6）； ；考點(diǎn)5：因式分解的意義考核要求：（1）知道因式分解的意義和它與整式乘法的區(qū)別； （2）會(huì)鑒別一個(gè)式子的變形過程是因式分解還是整式乘法.例5 在下列從左到右的變形中，是因式分解的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）.分析：因式分解與整式的乘法的過程正好相反。因式分解是從多項(xiàng)式變?yōu)閹?個(gè)整式的積，而整式的乘法，是把整式的積化為一個(gè)多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。解：A考點(diǎn)6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分組分解法、公式法、二次項(xiàng)系 數(shù)為1的十字相乘法）考核要求：掌握提取公因式法、公式法、分組分解法和二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)的 十字相乘法等因式分解的基本方法.例6 (1)下列分解因式正確的是（ ） A B C D （2）分解因式= (3)分解因式 （4）分解因式 （5）將分解因式的結(jié)果是 （6）分解因式=_ _； 解：（1）C （2） （3） （4） （5） （6）考點(diǎn)7：分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì) 考核要求：（1）會(huì)求分式有無意義或分式為0的條件； （2）理解分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì)； （3）能熟練地進(jìn)行通分、約分.例7 （1）若分式的值為零,則x的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4 （2）當(dāng)a 時(shí)，分式有意義 （3）分式有意義的條件是 分析：（1）分子為零，而分母不為零；（2）（3）分母不為零。 解：（1）C （2） （3）且 說明：（1）若要分式有意義，則分母不為零（每一個(gè)分母）； （2）若要分式的值為零，則分子為零，且分母不能為零?？键c(diǎn)8：分式的加、減、乘、除運(yùn)算法則考核要求：（1）掌握分式的運(yùn)算法則； （2）能熟練進(jìn)行分式的運(yùn)算、分式的化簡.例8 （1）計(jì)算 （2） 解：（1） ； （2）3b考點(diǎn)9：正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念考核要求：（1）理解正整數(shù)指數(shù)、零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)的冪的概念； （2）知道分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義； （3）能夠運(yùn)用零指數(shù)的條件進(jìn)行式子取值范圍的討論.例9 使有意義，則a的取值范圍是 分析： 解：考點(diǎn)10：整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算考核要求：（1）掌握冪的運(yùn)算法則； （2）會(huì)用整數(shù)指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行運(yùn)算； （3）掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)式與分式的互化； （4）知道分?jǐn)?shù)指數(shù)式與根式的互化。例10 （1）計(jì)算： （2）先化簡，再求值：, 其中a=1,b=-1 解：（1） （2）說明：（1）熟記整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則； （2）記住：（其中a0，p是自然數(shù)）； （3）知道分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： 6、 真題再現(xiàn)一、選擇題(第1題圖)1、（2007湖北宜賓）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡代數(shù)式a的結(jié)果是（ ）A2a+b B2a Ca Db2、（2007重慶）計(jì)算的結(jié)果是（ ） （A） （B） （C） （D）3、（2007廣州）下列計(jì)算中，正確的是（ ）A B C D4、（2007四川成都）下列運(yùn)算正確的是（）4、（2007浙江嘉興）化簡：(a1)2(a1)2（）（A）2（B）4（C）4a（D）2a225、（2007哈爾濱）下列計(jì)算中，正確的是（ ）ABCD6（2007福建晉江）對于非零實(shí)數(shù)，下列式子運(yùn)算正確的是（ ）A；B；C；D。7（2007福建晉江）下列因式分解正確的是（ ）A； B；C； D。8、（2007湖北恩施）下列計(jì)算正確的是（） A、 B、 C、 D、 9、（2007山東淮坊）代數(shù)式的值為9，則的值為（ ）ABCD10、（2007江西南昌）下列各式中，與相等的是（ ）BABCD二、填空題1、（200浙江義烏）當(dāng)x=2，代數(shù)式的值為_2、（2007湖北宜賓）因式分解：xy22xy+x = .3、（2007浙江金華）分解因式： 4、（2007江蘇鹽城）分解因式：9 。5、（2007哈爾濱）分解因式： 6、（2007湖北恩施）分解因式a3ab2 7、（2007山東煙臺(tái)）請你寫一