廣東省高考數(shù)學(xué) 3.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)配套課件 理 新人教A版.ppt

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 三年10考高考指數(shù) 1 能畫出y sinx y cosx y tanx的圖象 了解三角函數(shù)的周期性 2 理解正弦函數(shù) 余弦函數(shù)在 0 2 上的性質(zhì) 如單調(diào)性 最大值和最小值以及與x軸的交點等 理解正切函數(shù)在上的單調(diào)性 1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是考查的重點 特別是定義域 值域 周期性 奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用 同時還考查數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用 2 主要以選擇題 填空題的形式考查 性質(zhì)的綜合應(yīng)用有時會在解答題中考查 屬中檔題 1 周期函數(shù)和最小正周期對于函數(shù)f x 如果存在一個非零常數(shù)t 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時 都有 則稱f x 為周期函數(shù) t為它的一個周期 若在所有周期中 有一個最小的正數(shù) 則這個最小的正數(shù)叫做f x 的 f x t f x 最小正周期 即時應(yīng)用 1 思考 常函數(shù)f x a a r 是否為周期函數(shù) 有無最小正周期 提示 是周期函數(shù) 但沒有最小正周期 2 思考 若函數(shù)f x 滿足f x 2 f x 函數(shù)f x 是周期函數(shù) 對嗎 提示 對 因為f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期函數(shù) 最小正周期是4 3 函數(shù)的最小正周期是 解析 由周期函數(shù)的定義知原函數(shù)的最小正周期是4 答案 4 2 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) x r x r 1 1 1 1 x r且x k k z r 單調(diào)性 遞增區(qū)間是 2k 2k k z 遞減區(qū)間是 2k 2k k z 遞增區(qū)間是 2k 2k k z 遞減區(qū)間是 2k 2k k z 遞增區(qū)間是 k k k z 無最大值和最小值 最值 x 時 ymax 1 x 時 ymin 1 x 時 ymax 1 x 時 ymin 1 2k k z 2k k z 2k k z 2k k z 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心 對稱軸 k 0 k z k 0 k z 0 k z x k k z x k k z 無對稱軸 最小正周期 2 2 即時應(yīng)用 1 判斷下列命題的正誤 請在括號中填 或 y sinx在第一 第四象限是增函數(shù) y sinx在x 上是增函數(shù) y tanx在定義域上是增函數(shù) y sin x 是偶函數(shù) y sin2x的周期為2 y cos2x的對稱中心為 k 0 k z 2 若直線y a與函數(shù)y sinx x 2 2 的圖象有4個交點 則a的取值范圍是 3 函數(shù)y tan x 的定義域是 解析 1 由y sinx的遞增區(qū)間是 k z 可知 不正確 正確 由y tanx在 k z 上是增函數(shù)可知 不正確 由sin x sin x 可知 正確 由y sin2x的周期為知 不正確 由余弦函數(shù)y cosx的對稱中心為 k z 可得x 所以 k z 為y cos2x的對稱中心 故 不正確 2 如圖所示 y sinx x 2 2 有兩個周期 故若y sinx與y a有4個交點 則 1 a 1 3 由k z得k z 所以的定義域為答案 1 2 1 a 1 3 三角函數(shù)的定義域和值域 方法點睛 1 三角函數(shù)的定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式 組 常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解 2 三角函數(shù)值域的不同求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所給的三角函數(shù)式變換成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一個整體 轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域 例1 1 函數(shù)y 的定義域為 2 已知f x 的定義域為 0 1 則f cosx 的定義域為 3 當(dāng)x 時 函數(shù)y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 解題指南 1 由tanx 1 0 且x k k z求解 2 利用cosx 0 1 求得x 3 利用同角三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成sinx的二次函數(shù)求解 規(guī)范解答 1 由tanx 1 0 且得且所以函數(shù)的定義域為 答案 2 0 cosx 1 所求函數(shù)的定義域為答案 3 因為x 所以y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1所以當(dāng)sinx 時 當(dāng)sinx 1或時 ymax 2 答案 互動探究 把本例 2 中的cosx改為sinx 如何求解 解析 要使0 sinx 1 則2k x 2k k z 所求函數(shù)的定義域為 2k 2k k z 反思 感悟 1 求三角函數(shù)的定義域主要是解三角不等式 2 在求三角函數(shù)的值域時 很多時候要進行三角變換或三角轉(zhuǎn)化 這時候一定要注意所給的角的范圍和有關(guān)三角函數(shù)式的范圍 變式備選 1 函數(shù)y 的定義域為 2 求函數(shù)y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 1 由2sinx 1 0得又sinx 1 答案 2 設(shè)sinx cosx t 得當(dāng)t 1時 ymax 1 當(dāng)t 1時 ymin 1 三角函數(shù)的單調(diào)性 方法點睛 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法 1 代換法所謂代換法 就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)處理后的整體當(dāng)作一個角 或t 利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 圖象法函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖象上是 從左到右 圖象上升趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間 圖象下降趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間 如果能畫出三角函數(shù)的圖象 那它的單調(diào)區(qū)間就直觀明了了 例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 解題指南 1 要將原函數(shù)化為再求之 2 可畫出y sin x 的圖象 利用圖象求解 規(guī)范解答 1 y 故由 為單調(diào)遞減區(qū)間 由 為單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為 2 的圖象如圖 單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為 反思 感悟 1 熟記正弦 余弦 正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是求較復(fù)雜的三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ) 2 求形如y asin x k的單調(diào)區(qū)間時 只需把 x 看作一個整體代入y sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)求得x的區(qū)間即可 求y acos x k和y atan x k的單調(diào)區(qū)間類似 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 解析 1 設(shè) 則y cos 當(dāng)2k 2k k z 時 y cosu隨u的增大而增大 又 隨x的增大而增大 x r 當(dāng)即 k z 時 y隨x的增大而增大 y 的單調(diào)遞增區(qū)間為 k z 2 設(shè)則y 3sin 當(dāng) k z 時 y 3sin 隨u的增大而減小 又 隨x的增大而減小 x r 當(dāng) k z 即 k z 時 y隨x的增大而增大 y 的單調(diào)遞增區(qū)間為 k z 三角函數(shù)的奇偶性 周期性及對稱性 方法點睛 1 三角函數(shù)的奇偶性的判斷技巧首先要知道基本三角函數(shù)的奇偶性 再根據(jù)題目去判斷所求三角函數(shù)的奇偶性 也可以根據(jù)圖象做判斷 2 求三角函數(shù)周期的方法 1 利用周期函數(shù)的定義 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期為y tan x 的最小正周期為 3 利用圖象 3 三角函數(shù)的對稱性正 余弦函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形 又是軸對稱圖形 正切函數(shù)的圖象只是中心對稱圖形 應(yīng)熟記它們的對稱軸和對稱中心 并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 提醒 判斷函數(shù)的奇偶性時 必須先分析函數(shù)定義域是否是關(guān)于原點對稱的區(qū)間 例3 1 2011 廣州模擬 已知函數(shù)y 2cos x 0 的最小正周期為 那么 2 設(shè)函數(shù)f x sin x 0 給出以下四個論斷 它的最小正周期為 它的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形 它的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形 在區(qū)間上是增函數(shù) 以其中兩個論斷作為條件 另兩個論斷作為結(jié)論 寫出你認(rèn)為正確的一個命題 用序號表示即可 解題指南 1 根據(jù)最小正周期t 求解 2 本題是一個開放性題目 依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性 周期性以及對稱性逐一判斷 規(guī)范解答 1 選d t 2 又 0 2 2 若 成立 則令k z 且 故k 0 此時f x 當(dāng)x 時 f x 的圖象關(guān)于成中心對稱 又f x 在上是增函數(shù) 在上也是增函數(shù) 因此 用類似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 反思 感悟 三角函數(shù)的周期性 對稱性是三角函數(shù)的特有性質(zhì) 要切實掌握 而且經(jīng)?？疾?解決時要注意結(jié)合三角函數(shù)的圖象 其中對稱性包含軸對稱和中心對稱 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f x 則下列說法正確的是 a f x 是周期為1的奇函數(shù) b f x 是周期為2的偶函數(shù) c f x 是周期為1的非奇非偶函數(shù) d f x 是周期為2的非奇非偶函數(shù) 解析 選b 且f x f x 為偶函數(shù) 易錯誤區(qū) 有關(guān)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的易錯點 典例 2011 安徽高考 設(shè)f x asin2x bcos2x 其中a b r ab 0 若f x f 對一切x r恒成立 則 f x 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 存在經(jīng)過點 a b 的直線與函數(shù)f x 的圖象不相交 以上結(jié)論正確的是 寫出正確結(jié)論的編號 解題指南 先將f x asin2x bcos2x a b r ab 0 變形為f x 然后根據(jù)性質(zhì)順次判斷命題的正誤 規(guī)范解答 由f x 對一切x r恒成立知 直線是f x 的對稱軸 又f x 其中tan 的周期為 可看作x 的值加了個周期 故 正確 和與對稱軸的距離相等 故 不正確 是對稱軸 或 f x 2 b sin 2x 或f x 2 b sin 2x f x 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 故 正確 由以上知 f x 2 b sin 2x 的單調(diào)遞增區(qū)間為f x 2 b sin 2x 的單調(diào)遞增區(qū)間為由于f x 的解析式不確定 單調(diào)遞增區(qū)間也不確定 故 不正確 f x asin2x bcos2x 其中tan 又 ab 0 a 0 b 0 過點 a b 的直線必與函數(shù)f x 圖象相交 故 不正確 答案 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 陜西高考 設(shè)函數(shù)f x x r 滿足f x f x f x 2 f x 則y f x 的圖象可能是 解析 選b 由f x f x 得y f x 是偶函數(shù) 所以函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于y軸對稱 可知b d符合 由f x 2 f x 得y f x 是周期為2的周期函數(shù) 選項d的圖象的最小正周期是4 不符合 選項b的圖象的最小正周期是2 符合 故選b 2 2011 新課