高中數(shù)學復習提綱.doc

第一章 集合與簡易邏輯集合及其運算一集合的概念、分類：二集合的特征： 確定性 無序性 互異性三表示方法： 列舉法 描述法 圖示法 區(qū)間法四兩種關系： 從屬關系：對象 、 集合；包含關系：集合 、 集合五三種運算： 交集： 并集： 補集：六運算性質(zhì)： ， 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若，則， ， ， 集合的所有子集的個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)為，所有非空真子集的個數(shù)為，所有二元子集（含有兩個元素的子集）的個數(shù)為簡易邏輯一邏輯聯(lián)結(jié)詞：1命題是可以判斷真假的語句的語句，其中判斷為正確的稱為真命題，判斷為錯誤的為假命題2邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”、“且”、“非”3不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，叫做簡單命題，由簡單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復合命題4真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二四種命題：1原命題：若則 逆命題：若P則q，即交換原命題的條件和結(jié)論； 否命題：若q則p，即同時否定原命題的條件和結(jié)論； 逆否命題：若P則q，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定2四個命題的關系： 原命題為真，它的逆命題不一定為真； 原命題為真，它的否命題不一定為真； 原命題為真，它的逆否命題一定為真三充分條件與必要條件1“若則”是真命題，記做， “若則”為假命題，記做，2若，則稱是的充分條件，是的必要條件3若，且，則稱是的充分非必要條件； 若，且，則稱是的必要非充分條件； 若，且，則稱是的充要條件； 若，且，則稱是的既不充分也不必要條件4若的充分條件是，則； 若的必要條件是，則第二章 函數(shù)指數(shù)與對數(shù)運算一分數(shù)指數(shù)冪與根式：如果，則稱是的次方根，的次方根為0，若，則當為奇數(shù)時，的次方根有1個，記做；當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，正數(shù)的次方根有2個，其中正的次方根記做負的次方根記做1負數(shù)沒有偶次方根；2兩個關系式：；3、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義：； 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：4、分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： ； ； ； ； ，其中、均為有理數(shù)，均為正整數(shù)二對數(shù)及其運算1定義：若，且，則2兩個對數(shù)： 常用對數(shù)：，； 自然對數(shù)：，3三條性質(zhì)： 1的對數(shù)是0，即； 底數(shù)的對數(shù)是1，即； 負數(shù)和零沒有對數(shù)4四條運算法則： ； ； ； 5其他運算性質(zhì)： 對數(shù)恒等式：； 換底公式：； ； 函數(shù)的概念一映射：設A、B兩個集合，如果按照某中對應法則，對于集合A中的任意一個元素，在集合B中都有唯一的一個元素與之對應，這樣的對應就稱為從集合A到集合B的映射二函數(shù)：在某種變化過程中的兩個變量、，對于在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則，都有唯一確定的值和它對應，則稱是的函數(shù)，記做，其中稱為自變量，變化的范圍叫做函數(shù)的定義域，和對應的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的變化范圍叫做函數(shù)的值域三函數(shù)是由非空數(shù)集到非空數(shù)集B的映射四函數(shù)的三要素：解析式；定義域；值域函數(shù)的解析式一根據(jù)對應法則的意義求函數(shù)的解析式；例如：已知，求函數(shù)的解析式二已知函數(shù)的解析式一般形式，求函數(shù)的解析式；例如：已知是一次函數(shù)，且，函數(shù)的解析式三由函數(shù)的圖像受制約的條件，進而求的解析式函數(shù)的定義域一根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域： 整式： 分式：分母不等于0 偶次根式：被開方數(shù)大于或等于0 含0次冪、負指數(shù)冪：底數(shù)不等于0 對數(shù)：底數(shù)大于0，且不等于1，真數(shù)大于0二根據(jù)對應法則的意義求函數(shù)的定義域： 例如：已知定義域為，求定義域； 已知定義域為，求定義域；三實際問題中，根據(jù)自變量的實際意義決定的定義域函數(shù)的值域一基本函數(shù)的值域問題：名稱解析式值域一次函數(shù)二次函數(shù)時，時，反比例函數(shù)，且指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)二求函數(shù)值域（最值）的常用方法：函數(shù)的值域決定于函數(shù)的解析式和定義域，因此求函數(shù)值域的方法往往取決于函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，常用解法有：觀察法、配方法、換元法（代數(shù)換元與三角換元）、常數(shù)分離法、單調(diào)性法、不等式法、*反函數(shù)法、*判別式法、*幾何構(gòu)造法和*導數(shù)法等反函數(shù)一反函數(shù)：設函數(shù)的值域是，根據(jù)這個函數(shù)中，的關系，用把表示出，得到若對于中的每一值，通過，都有唯一的一個與之對應，那么，就表示是自變量，是自變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作,習慣上改寫成二函數(shù)存在反函數(shù)的條件是：、一一對應三求函數(shù)的反函數(shù)的方法： 求原函數(shù)的值域，即反函數(shù)的定義域 反解，用表示，得 交換、，得 結(jié)論，表明定義域四函數(shù)與其反函數(shù)的關系： 函數(shù)與的定義域與值域互換 若圖像上存在點，則的圖像上必有點，即若，則 函數(shù)與的圖像關于直線對稱函數(shù)的奇偶性：一定義：對于函數(shù)定義域中的任意一個，如果滿足，則稱函數(shù)為奇函數(shù)；如果滿足，則稱函數(shù)為偶函數(shù)二判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，如果對稱可進一步驗證，如果不對稱；2驗證與的關系，若滿足，則為奇函數(shù)，若滿足，則為偶函數(shù)，否則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)二奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱三已知、分別是定義在區(qū)間、上的奇（偶）函數(shù)，分別根據(jù)條件判斷下列函數(shù)的奇偶性奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五若奇函數(shù)的定義域包含，則六一次函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是； 二次函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)的周期性：一定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，則為周期函數(shù)，為這個函數(shù)的一個周期2如果函數(shù)所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期如果函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的最小正周期為函數(shù)的單調(diào)性一定義：一般的，對于給定區(qū)間上的函數(shù)，如果對于屬于此區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時滿足： ，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)； ，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)二判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：1定義法： 取值； 作差、變形； 判斷： 定論：*2導數(shù)法： 求函數(shù)f(x)的導數(shù)； 解不等式，所得x的范圍就是遞增區(qū)間； 解不等式，所得x的范圍就是遞減區(qū)間3復合函數(shù)的單調(diào)性： 對于復合函數(shù)，設，則，可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復合函數(shù)，具體判斷如下表：增增減減 增減增減 增減減增4奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同函數(shù)的圖像一基本函數(shù)的圖像二圖像變換： 將圖像上每一點向上或向下平移個單位，可得的圖像 將圖像上每一點向左或向右平移個單位，可得的圖像 將圖像上的每一點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得的圖像 將圖像上的每一點縱橫坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的，可得的圖像 關于軸對稱 關于軸對稱 將位于軸左側(cè)的圖像去掉，再將軸右側(cè)的圖像沿軸對稱到左側(cè)，可得的圖像 將位于軸下方的部分沿軸對稱到上方，可得的圖像三函數(shù)圖像自身的對稱關系圖像特征關于軸對稱關于原點對稱關于軸對稱關于直線對稱關于直線軸對稱關于直線對稱周期函數(shù)，周期為四兩個函數(shù)圖像的對稱關系圖像特征與關于軸對稱與關于軸對稱與關于原點對稱與關于直線對稱與關于直線對稱與關于軸對稱第三章 數(shù)列數(shù)列的基本概念一數(shù)列是按照一定的順序排列的一列數(shù)，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項二如果數(shù)列中的第項與項數(shù)之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公事，它實質(zhì)是定義在正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)解析式三數(shù)列的分類： 按項的特點可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、搖擺數(shù)列 按項數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列四數(shù)列的前項和：與的關系：五如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法如：在數(shù)列中，其中即為數(shù)列的遞推公式，根據(jù)數(shù)列的遞推公式可以求出數(shù)列中的每一項，同時可根據(jù)數(shù)列的前幾項推斷出數(shù)列的通項公式，至于猜測的合理性，可利用數(shù)學歸納法進行證明如上述數(shù)列，根據(jù)遞推公式可以得到：，進一步可猜測等差數(shù)列一定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示二通項公式： 若已知、，則；若已知、，則三前項和公式： 若已知，則；若已知、，則注： 前項和公式的推導使用的是倒序相加法的方法 在數(shù)列中，通項公式，前項和公式均是關于項數(shù)的函數(shù)，在等差數(shù)列通項公式是關于的一次函數(shù)關系，前項和公式是關于的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)關系 在等差數(shù)列中包含、這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數(shù)列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量四如果、成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項，且五證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法：1利用定義證明：2利用等差中項證明：3利用通項公式證明：4利用前項和公式證明：六性質(zhì)：在等差數(shù)列中，1若某幾項的項數(shù)成等差數(shù)列，則對應的項也成等差數(shù)列，即：若若，則2若兩項的項數(shù)之和與另兩項的項數(shù)之和相等，則對應項的和也相等，即：若，則3依次相鄰每項的和仍成等差數(shù)列，即：，成等差數(shù)列4，仍成等差數(shù)列，其公差為三等比數(shù)列一定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用宇母表示二通項公式： 若已知、，則；若已知、，則三前項和公式： 當公比時， 當公比時，若已知、，則 若已知、，則注： 等比數(shù)列前項和公式的推導使用的是錯位相減的方法 在等比數(shù)列中包含、這五個基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在數(shù)列運算中，只需知道其中任意3個，可以求出其余基本量四若、成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項，且、 滿足關系式五證明數(shù)列是等比數(shù)列的方法：1利用定義證明：2利用等比中項證明：3利用通項公式證明：六性質(zhì)：在等比數(shù)列中，1若某幾項的項數(shù)成等差數(shù)列，則對應的項成等比數(shù)列，即：若，則2若兩項的項數(shù)之和與另兩項的項數(shù)之和相等，則對應項的積相等，即：若，則3若數(shù)列公比，則依次相鄰每項的和仍成等比數(shù)列，即，成等比數(shù)列。4，仍成等比數(shù)列，其公比為數(shù)列求和1常見數(shù)列的前n項和： 自然數(shù)數(shù)列：1，2，3，n， 奇數(shù)列：1，3，5， 偶數(shù)列：2，4，6， 自然數(shù)平方數(shù)列：， 2等差、等比數(shù)列：利用等差、等比數(shù)列的求和公式3數(shù)列滿足：，其中、為等差或者等比數(shù)列方法：拆項，轉(zhuǎn)化成兩個等差或等比各項的和（差）4數(shù)列滿足：，其中是公差為的等差數(shù)列；是公比為的等比數(shù)列方法：錯位相減 5若數(shù)列滿足：，其中、均為常數(shù)方法：裂項法，設，其中為可確定的參數(shù)第四章 三角函數(shù)一角度與弧度制1弧度與角度的互化：2終邊相同角：與角有相同終邊的角的集合可以表示為：3特殊角的集合： 各個象限的角的集合 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 角的終邊在各個坐標軸上的角的集合 終邊在軸的角： 終邊在軸的角： 終邊在坐標軸上的角： 終邊在第一三象限角平分線上： 終邊在第二四象限角平分線上：4弧長公式和扇形面積公式 設扇形的半徑為，圓心角為，則 弧長， 扇形的面積任意角三角函數(shù)的定義：一定義：以角頂點為原點，始邊為軸的非負半軸建立直角坐標系。在角的終邊上任取不同于原點的一點，設點與原點的距離為，則，則角的六個三角函數(shù)依次為： ， ， ， ， 二三角函數(shù)的定義域與值域：定義域值域RRR三三角函數(shù)值的符號： 四三角函數(shù)線正弦線、余弦線正切線以角的終邊與單位圓的公共點作軸的垂線軸，垂足為，則過點作軸的垂線交的終邊或終邊的延長線于點，則：同角三角函數(shù)基本關系式：倒數(shù)關系：、商數(shù)關系：、平方關系：正弦、余弦的誘導公式：； ； ； ； ； ； ； ； ； 誘導公式可簡單的概括為：“奇變偶不變，符號看象限”，其中“奇變偶不變”的含義為：當為奇數(shù)時，的三角函數(shù)值為的余函數(shù)，當為偶數(shù)時，的三角函數(shù)值為的原函數(shù)；“符號看象限”的含義為在的三角函數(shù)前加上一個把看作銳角時原三角函數(shù)值的符號.兩角和與差的三角函數(shù)：一基本公式： 二常見關系：1輔助角公式： 如：； ；2兩角和與差的正切公式的變形： 二倍角公式一基本公式： 二常見關系式：1 2 三角函數(shù)的圖像：一正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像：1正弦函數(shù)2余弦函數(shù)2正切函數(shù)二三角函數(shù)的圖象變換：1：將圖象上各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍得到2：將圖象上各點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍得到3：將的圖象向右或向左平移個單位得到4函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象分別經(jīng)過下面的兩種方法得到： 將的圖象向左或向右平移個單位，可得到函數(shù)圖象； 將得到圖象點的縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍，得到函數(shù)圖象； 將新圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得函數(shù)圖象 將圖象點縱坐標保持不變，橫坐標壓縮或拉伸為原來的倍，可以得到函數(shù)圖象； 將得到的圖象向左或向右平移個單位就得到函數(shù)圖象； 將新的圖象各點橫坐標保持不變，縱坐標拉伸或壓縮為原來的倍，可得函數(shù)的圖象三形如的函數(shù)圖像的畫法 五點法，即根據(jù)分別取、時對應的與的值描點作出的一個周期的圖像三角函數(shù)的性質(zhì)函 數(shù)名 稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義域RR值 域R最 值圖 象分 布最小正周 期奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱軸對 稱中 心單調(diào)性增減三角形中的邊角關系一正弦定理： 在一個三角形中，各邊和他所對角的正弦的比都等于該三角形外接圓的直徑，即： 二余弦定理： 三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即： 推論：；三相關結(jié)論：在中，角、所對的邊分別為、， ， ， ， ， 根據(jù)正弦定理：， 三角形面積公式： 三角形的面積等于三角形任意一邊與對應邊上的高的乘積的一半，即： 三角形的面積等于三角形的任意兩邊與其夾角的正弦值乘積的一半，即：第五章 平面向量向量的基本概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一條有向線段來表示2向量的長度：向量的大小，也就是向量的長度（也稱為的模），記作3零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的4單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量5平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共線向量，若向量、平行，記作6相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量的加法與減法：1兩個向量的和：已知向量、，平移向量，使的起點與的終點重合，那么以的起點為起點，的終點為終點的向量叫做向量與向量的和求兩個向量和的運算叫做向量的加法2向量加法的三角形法則：根據(jù)向量和的定義，以第一個向量的終點A為起點作第二個向量，則以的起點O為起點，以的終點B為終點的向量就是與的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的三角形法則 3向量加法的平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線就是，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則4向量加法運算律： 交換律： 結(jié)合律：5相反向量：與向量方向相反的向量叫做的相反向量，記作規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量性質(zhì)： 6兩個向量的差：加上的相反向量叫做與的差，即： 7向量的減法：求兩個向量差的運算叫做向量的減法。法則：如圖所示，已知向量、，在平面內(nèi)任取一點O，作，則，即表示從向量的終點指向的終點的向量實數(shù)與向量的積：1實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： 當時，的方向與的方向相同； 當時，的方向與的方向相反2實數(shù)與向量的積所滿足的運算律：設、為實數(shù)，那么： ； 3向量共線的充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得4平面向量基本定理： 如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使平面向量的坐標運算：1平面向量的坐標：分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于一個向量，有且只有一對實數(shù)、，使得，則稱為向量的坐標，記做2向量的坐標與起點為原點的向量是一一對應的關系，即： 向量向量點3平面向量的坐標運算： 設，則： ； ； 若點，則4向量與共線的充要條件是平面向量的數(shù)量積及運算律：1兩個向量的夾角：已知兩個非零向量，作，則（）叫做向量與的夾角當時，與同向；當時，與反向，如果與的夾角是時，則稱與垂直，記作2兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積，記作，即：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即3向量數(shù)量