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“假設(shè)檢驗(yàn)”-統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章講稿 本章主要內(nèi)容 第一節(jié)：假設(shè)檢驗(yàn)的一般問題；第二節(jié)：總體均值的參數(shù)檢驗(yàn)；第三節(jié)：總體成數(shù)的參數(shù)檢驗(yàn)；第四節(jié)：總體方差的參數(shù)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)一齊構(gòu)成推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的一般問題主要討論：假設(shè)檢驗(yàn)的概念、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟、假設(shè)檢驗(yàn)中的小概率原理、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤和雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)所謂假設(shè)檢驗(yàn)就是對一個(gè)關(guān)于總體參數(shù)或總體分布形式的假設(shè)，利用樣本資料來檢驗(yàn)其真或偽的可能性。對總體參數(shù)(平均數(shù)、成數(shù)、方差等)所作的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，簡稱參數(shù)檢驗(yàn)（parametric tests）；對總體分布形式的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)一般稱為非參數(shù)檢驗(yàn)或自由分布檢驗(yàn)。這里只討論總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，即參數(shù)檢驗(yàn)。例 某品牌飲料紙包裝上標(biāo)明的容量為250毫升，標(biāo)準(zhǔn)差為4毫升。消費(fèi)者協(xié)會從市場上隨機(jī)抽取50盒該飲料，發(fā)現(xiàn)其平均含量僅為248毫升。據(jù)此，可否斷定飲料廠商欺騙了消費(fèi)者？解：樣本均值低于廠商聲稱的平均含量，其原因有兩種：一是由抽樣誤差引起的，這時(shí)樣本均值與總體均值之差不會超出一定的抽樣誤差范圍(以抽樣平均誤差的若干倍度量）；二是由飲料廠商短斤少兩引起，這時(shí)樣本均值與總體均值之差就會超出一定的抽樣誤差范圍。抽樣誤差范圍是與概率保證程度相聯(lián)系的。對于正態(tài)分布總體，若取概率保證程度為99%，則樣本均值與總體均值之差大于抽樣平均誤差的-2.58倍即發(fā)生的概率只有1%，這是個(gè)小概率事件。對于一次抽樣而言，可認(rèn)為小概率事件實(shí)際上不會發(fā)生。若假設(shè)本例總體均值=250也就是說，對于一次抽樣的結(jié)果，小概率事件卻發(fā)生了，這是不合常理的。從樣本信息看應(yīng)拒絕這一假設(shè)，即紙包裝飲料的容量不足250毫升，廠商有欺詐故意。 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是：先做出一個(gè)假設(shè)，然后依據(jù)小概率事件在一次抽樣中實(shí)際上不會發(fā)生的推斷原則，看這一假設(shè)是否會導(dǎo)致不合理的結(jié)果，從而判斷是否拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟：1. 提出原假設(shè)（Null Hypothesis）和備擇假設(shè)(Alternative Hypothesis)原假設(shè)又稱零假設(shè)，是對未知總體參數(shù)做出的、正待檢驗(yàn)的假設(shè)。備擇假設(shè)是對立假設(shè)，其含義是，一旦否定原假設(shè)，這個(gè)假設(shè)供你選擇。根據(jù)具體問題，備擇假設(shè)可由三種選擇：(1)備擇假設(shè)：，這種類型的假設(shè)檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。(2)備擇假設(shè)：，這種類型的假設(shè)檢驗(yàn)稱為右側(cè)檢驗(yàn)。(3)備擇假設(shè)：，這種類型的假設(shè)檢驗(yàn)稱為左側(cè)檢驗(yàn)。2. 設(shè)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)與原假設(shè)相關(guān)即與待檢驗(yàn)的參數(shù)相關(guān)，且能夠知道當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)該統(tǒng)計(jì)量的具體分布。3. 給定顯著性水平和確定相應(yīng)的臨界值顯著性水平表示假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)的概率，也就是拒絕原假設(shè)所冒的風(fēng)險(xiǎn)，用表示。一般取值很小，常取0.1、0.05、0.01。給定了顯著性水平，也就確定了原假設(shè)的接受區(qū)域和拒絕區(qū)域。這兩個(gè)區(qū)域的交界點(diǎn)就是臨界值。4. 依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的規(guī)則，由樣本資料計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際值，與臨界值比較，視實(shí)際值落入接受區(qū)域還是拒絕區(qū)域，做出接受或拒絕原假設(shè)的結(jié)論。假設(shè)檢驗(yàn)中，拒絕原假設(shè)是在認(rèn)為小概率事件在一次抽樣中實(shí)際上不會發(fā)生的前提下做出的，事實(shí)上小概率事件有時(shí)也可能發(fā)生；接受原假設(shè)，是因?yàn)榫芙^它的理由還不充分，并非認(rèn)為它絕對正確。因此，由假設(shè)檢驗(yàn)做出的判斷不可能百分之百正確。一般來說，決策結(jié)果可歸納以下四種情況：假設(shè)檢驗(yàn)決策結(jié)果表是真實(shí)的是不真實(shí)的拒絕第類錯(cuò)誤()正確接受正確第類錯(cuò)誤()由假設(shè)檢驗(yàn)做出的決策既可能犯“棄真錯(cuò)誤”又可能犯“取偽錯(cuò)誤”?！皸壵驽e(cuò)誤”稱作假設(shè)檢驗(yàn)的“第類錯(cuò)誤”，“取偽錯(cuò)誤”稱作假設(shè)檢驗(yàn)的“第類錯(cuò)誤”。假設(shè)檢驗(yàn)犯第類錯(cuò)誤的原因是，在原假設(shè)為真的情況下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不巧剛好落入小概率的拒絕區(qū)域。因而，第類錯(cuò)誤發(fā)生的概率就是顯著性水平。第類錯(cuò)誤發(fā)生的概率記為。概率與是密切相關(guān)的，在樣本一定的條件下，減小，就增大了；反之，亦然。這里用法庭對被告進(jìn)行審判的實(shí)例來說明。由于法庭采用無罪推定的審判準(zhǔn)則，在證明被告有罪之前先假定他是無罪的，即原假設(shè)：被告無罪，備擇假設(shè)：被告有罪。法庭可能犯的第類錯(cuò)誤是：被告無罪但判他有罪，即冤枉了好人；第類錯(cuò)誤是：被告有罪但判他無罪，即放過了壞人。為了減少冤枉好人的概率，應(yīng)盡可能接受原假設(shè)，判被告無罪，而這有可能增大了放過壞人的概率；反過來，為了不放過壞人，減少放過壞人的概率，相應(yīng)地就又增加了冤枉好人的可能性。當(dāng)然，這只是在一定的證據(jù)下的兩難選擇。如果進(jìn)一步收集有關(guān)的證據(jù)，在充分的證據(jù)下，就有可能做到既不冤枉好人，又不放過壞人。鑒于犯第類與第類錯(cuò)誤的概率與的相互關(guān)系，在一定的樣本容量下，期望兩者都非常小是困難的。從而，在假設(shè)檢驗(yàn)中，內(nèi)曼（J. Neyman）和皮爾生(Egon S. Pearson)提出了一個(gè)原則，即在控制犯第類錯(cuò)誤的概率的條件下，盡可能使犯第類錯(cuò)誤的概率減小。在假設(shè)檢驗(yàn)實(shí)踐中，該原則的含義是，原假設(shè)要受到維護(hù)，使它不致被輕易否定，若要否定原假設(shè)，必須有充分的理由。第二節(jié) 總體均值的參數(shù)檢驗(yàn)一、單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)樣本來自正態(tài)總體(一) 如果總體方差已知-檢驗(yàn)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 當(dāng)時(shí)，服從。給定顯著性水平，則有(1) 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕；當(dāng)時(shí)，不能拒絕(2) 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕；當(dāng)時(shí)，不能拒絕(3) 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕；當(dāng)時(shí)，不能拒絕【例】某機(jī)床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為m0=0.081mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為s = 0.025 。今換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，抽取n=200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的橢圓度為0.076mm。試問新機(jī)床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異？（a0.05）【解】依題意建立假設(shè)：0.081 ：0.081根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 =0.05，則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得。從而拒絕。有證據(jù)表明新機(jī)床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異【例】某企業(yè)職工上月平均獎金為402元，本月隨機(jī)抽取50人來調(diào)查，其平均獎金為412.4元?，F(xiàn)假定本月職工收入服從正態(tài)分布，問在0.05的顯著性水平下，能否認(rèn)為該企業(yè)職工平均獎金本月比上月有明顯提高？【解】依題意建立假設(shè)：402 ：402檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 顯著性水平=0.05，則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得。從而拒絕，即認(rèn)為該企業(yè)職工平均獎金本月比上月有明顯提高。(二) 如果總體方差未知-檢驗(yàn)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 其中是樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （7.2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)抽樣分布理論，統(tǒng)計(jì)量服從。給定顯著性水平，則有（1） 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕；當(dāng)時(shí)，不能拒絕（2） 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕；當(dāng)時(shí)，不能拒絕（3） 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，拒絕；當(dāng)時(shí)，不能拒絕【例】某廠采用自動包裝機(jī)分裝產(chǎn)品，假定每包產(chǎn)品的重量服從正態(tài)分布，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為1000克。某日隨機(jī)抽查9包，測得樣本平均重量為986克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為24克。試問在0.05的顯著性水平上，能否認(rèn)為這天自動包裝機(jī)工作正常？【解】依題意建立假設(shè)： ：根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 顯著性水平=0.05，則由分布表，得。從而不能拒絕，沒有證據(jù)表明這天自動包裝機(jī)工作不正常。t檢驗(yàn)一般用于小樣本檢驗(yàn)，往往是已知服從正態(tài)總體但方差未知。隨著樣本容量n(30)的增大，t分布趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。所以在大樣本情形下，總體方差未知時(shí)對總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)可近似采用z檢驗(yàn)。對于非正態(tài)總體，大樣本的情況下，在對總體均值假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，也可采用z檢驗(yàn)，如果未知，可以用s替代。二、兩個(gè)正態(tài)總體均值之差的檢驗(yàn)樣本來自正態(tài)總體，來自正態(tài)總體(一) 如果兩個(gè)總體方差和已知構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 當(dāng)時(shí)，服從。因此，采用檢驗(yàn)?！纠?假設(shè)某種羊毛的含脂率服從正態(tài)分布，且處理前后的方差均為36。處理前采10個(gè)樣，測得平均含脂率為27.3，處理后采8個(gè)樣，測得平均含脂率為13.75，問處理前后羊毛含脂率有無顯著變化()？解 依題意建立假設(shè)： ：根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（7.3） 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得。從而拒絕，即認(rèn)為處理前后羊毛含脂率有顯著變化。(二) 如果兩個(gè)總體方差和未知但相等構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： （7.4）其中：當(dāng)時(shí)，服從。因此，采用檢驗(yàn)。【例】某廢水中的鎘含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)用標(biāo)準(zhǔn)方法與新方法同時(shí)測定該樣本中鎘含量。其中新方法測定10次，平均測定結(jié)果為5.28ug/L，標(biāo)準(zhǔn)差為1.11ug/L；標(biāo)準(zhǔn)方法測定9次，平均測定結(jié)果為4.03ug/L，標(biāo)準(zhǔn)差為1.04ug/L。問兩種測定結(jié)果有無顯著性差異？【解】依題意建立假設(shè)： ：根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（7.4） 取顯著性水平=0.05，。從而，拒絕，即認(rèn)為兩種測定結(jié)果有顯著性差異。三、兩個(gè)非正態(tài)總體均值之差的檢驗(yàn)樣本和來自兩個(gè)非正態(tài)總體，當(dāng)樣本容量和較大()時(shí)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：或 當(dāng)時(shí)，服從或近似服從。因此，兩個(gè)非正態(tài)總體均值之差的檢驗(yàn)可采用檢驗(yàn)。第三節(jié) 總體成數(shù)的參數(shù)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體成數(shù)的檢驗(yàn)所謂成數(shù)是指具有某一特征的總體單位在總體中所占的比重，用表示。如果將具有該特征的總體單位賦值“1”，不具有該特征的總體單位賦值“0”，則成數(shù)為總體均值，相應(yīng)的總體方差為（1-）。同理，樣本成數(shù)是一種樣本均值。在大樣本情況下，并且、，根據(jù)中心極限定理，樣本成數(shù)服從。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此，總體成數(shù)的檢驗(yàn)采用檢驗(yàn)?！纠磕逞芯空吖烙?jì)本市居民家庭的電腦擁有率為30%?，F(xiàn)隨機(jī)抽查了200的家庭，其中68個(gè)家庭擁有電腦。試問研究者的估計(jì)是否可信？(a = 0.05)【解】依題意建立假設(shè)：=30% ：30%根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 因?yàn)椋瑥亩荒芫芙^，即沒有證據(jù)表明研究者的估計(jì)不可信?！纠磕彻矩?fù)責(zé)人發(fā)現(xiàn)開出去的發(fā)票有大量筆誤，而且斷定這些發(fā)票中，錯(cuò)誤的發(fā)票占20%以上。隨機(jī)檢查400張，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的發(fā)票占25%。這是否可以證明負(fù)責(zé)人的判斷正確（顯著性水平為0.05）？【解】依題意建立假設(shè)：0.2 ：0.2根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（7.6） 因?yàn)?，從而拒絕，即認(rèn)為負(fù)責(zé)人的判斷正確。二、兩個(gè)總體成數(shù)之差的檢驗(yàn)在大樣本條件下，兩個(gè)樣本成數(shù)之差的抽樣分布近似為正態(tài)分布。若令由于含有未知參數(shù)和，所以不能成為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)=時(shí)，和的聯(lián)合估計(jì)值為,故標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為:取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 于是，在大樣本條件下，當(dāng)=時(shí)，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，兩個(gè)總體成數(shù)之差的檢驗(yàn)可采用檢驗(yàn)。【例7.10】為了研究地勢對小麥銹病發(fā)病率的影響，調(diào)查了低洼地麥田小麥378株，其中銹病株342株，還調(diào)查了高坡地麥田小麥396株，其中銹病株313株。若取顯著性水平為0.01，比較兩塊麥田小麥銹病發(fā)病率是否有顯著差異?！窘狻恳李}意建立假設(shè) ， 根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（7.7） 取=0.01，=2.58，從而拒絕，即認(rèn)為兩塊麥田小麥銹病發(fā)病率有顯著差異。第四節(jié) 總體方差的參數(shù)檢驗(yàn)一、一個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)總體方差是用樣本方差來估計(jì)的。根據(jù)抽樣分布理論，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 服從。給定顯著性水平，則有:（1） 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)或時(shí)拒絕，否則不能拒絕（2） 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)時(shí)拒絕，否則不能拒絕（3） 檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng)拒絕，否則不能拒絕【例】根據(jù)長期正常生產(chǎn)的資料可知，某廠所產(chǎn)維尼綸的纖度服從正態(tài)分布，其方差為0.0025?，F(xiàn)從某日產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20根，測得樣本方差為0.0042。試判斷該日纖度的波動與平日有無顯著差異？（顯著性水平為0.05）？【解】依題意建立假設(shè) 根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量顯著性水平，接受域?yàn)?.907，32.852，因此，不能拒絕原假設(shè)。二、兩