高中數(shù)學(xué) 第一章 集合單元小結(jié)學(xué)案2 新人教版必修2.doc

第一章 集合本章整合知識建構(gòu)綜合應(yīng)用專題1集合與方程總結(jié)：方程的思想是高考考查的重要數(shù)學(xué)思想之一,方程知識是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,在集合中方程的思想也得到了充分的體現(xiàn).集合與方程的結(jié)合的題目關(guān)鍵是要深刻理解集合的概念,要找到它們的“切合點”.1.集合與韋達(dá)定理【例題1】若方程ax2+5x+c=0的解集是,求a,c的值.分析:方程的解集中的元素是方程的解,這是方程與集合知識的一個“切合點”.解：由解集是,可知這是個二次方程,即a0.由韋達(dá)定理,有解得a=-6,c=-1.綠色通道本題主要考查的是集合的基本概念與方程的結(jié)合,解決這類問題要注意對新學(xué)集合的有關(guān)基本概念的識記和理解.2.集合與根的判別式【例題2】已知集合a=x|x2+4x=0,集合b=x|x2+2(a-1)x+a2=0,其中xr,若ab=b,求實數(shù)a的取值范圍.分析:本題先易判斷出a=0,-4,再由ab=bba,可得b=,0,-4,0,-4,從而再通過分類討論得到實數(shù)a的取值范圍.解：a=0,-4,ab=b,ba.b=,0,-4,0,-4.(1)當(dāng)b=時,方程x2+2(a-1)x+a2=0無實根,=4(a-1)2-4a2.(2)當(dāng)b=0或b=-4時,方程有兩個相等實根,=4(a-1)2-4a2=0,得a=.代入驗證,均不符合.舍.(3)當(dāng)b=-4,0時,方程x2+2(a-1)x+a2=0的兩個根為-4,0,則此時a亦無解.綜上,可知a.黑色陷阱利用一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程根的情況,當(dāng)二次項系數(shù)為參數(shù)時,一定要先考慮它到底是不是一元二次方程,即二次項系數(shù)是不是有可能為零.在解答此題的過程中,往往疏忽對b=進(jìn)行討論.3.集合與方程組【例題3】已知集合s=x|2,3,a2+2a-3,a=|a+1|,2,a=a+3,求a的值.分析:根據(jù)補集的定義及元素的互異性列出方程組,然后解得a的值.解：由補集概念及集合中元素互異性,知a應(yīng)滿足(1)或(2)在(1)中,由得a=0,依次代入檢驗.因為a=0不能使成立,所以應(yīng)舍去.在(2)中,由得a=-3或a=2,分別代入檢驗.因為a=-3不能使成立,所以應(yīng)舍去;a=2能同時滿足.因此a=2.綠色通道欲求a的值,要充分挖掘補集的含義找出集合a、a與全集s的關(guān)系,另外要注意集合中元素的互異性,檢驗結(jié)論的正確性.專題2數(shù)形結(jié)合解集合問題總結(jié)：華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想就能揚這兩種方法之長,避呆板單調(diào)解法之短.在解決問題時,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,根據(jù)一些數(shù)量關(guān)系作出“形”的解釋,發(fā)掘其中“形”的因素,以增加解決問題的有效途徑.1.數(shù)軸在集合中的應(yīng)用【例題1】已知a=x|x2,b=x|4x+p0,當(dāng)ba時,求實數(shù)p的取值范圍.分析:集合a、b都是以不等式給出的數(shù)集,欲求實數(shù)p,使之滿足ba,可先將“定集合a”在數(shù)軸上表示,然后再根據(jù)集合b中不等式的方向,確定p與集合a中端點-1與2的關(guān)系,它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.解：b=x|4x+p0=x,將集合a在數(shù)軸上表示出來,如圖1-1所示.圖1-1ba,-1,即p4,p的取值范圍為p4.黑色陷阱不等式表示集合常用數(shù)軸的直觀圖來求解.求解過程中不注意不等式邊界值的取舍,是集合運算中常犯的錯誤.2.venn圖的應(yīng)用【例題2】全集u=x|x是不大于9的正整數(shù),(a)b=1,3,(b)a=2,4,8,(a)(b)=6,9,求集合a、b.分析:根據(jù)補集的定義,a、b都是全集u的子集,求集合a、b可以利用元素與集合交集、并集的關(guān)系求出a、b中的元素從而解決問題,也可以用venn圖法直接得到結(jié)果.解法一:u=x|x是不大于9的正整數(shù)=1,2,3,4,5,6,7,8,9.(a)b=1,3,(b)a=2,4,8,1,3b,2,4,8a.(a)(b)=(ab)=6,9,ab=1,2,3,4,5,7,8.1,3a,2,4,8b,ab=5,7.a=2,4,5,7,8,b=1,3,5,7.解法二:根據(jù)題意畫出venn圖,如圖1-2所示,圖1-2a=2,4,5,7,8,b=1,3,5,7.綠色通道直接用元素與交集、并集、補集的關(guān)系在求解集合的問題中往往相對困難得多,運用數(shù)形結(jié)合就能使問題顯得簡明扼要.進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后就應(yīng)該逐步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想,養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣.【例題3】某班舉行數(shù)理化競賽,每人至少參加一科,已知參加數(shù)學(xué)競賽的有27人,參加物理競賽的有25人,參加化學(xué)競賽的有27人,其中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人,參加物理、化學(xué)兩科的有7人,參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人,而參加數(shù)、理、化三科的有4人,畫出集合關(guān)系圖,并求出全班人數(shù).分析:本題解題的關(guān)鍵是把文字語言轉(zhuǎn)化成集合語言,借助于維恩圖的直觀性把它表示出來,再根據(jù)集合中元素的互異性求出問題的解.正確理解集合的含意,首先是分析集合中的元素有什么特點,一個集合能化簡(或求解)的一般應(yīng)考慮將它化簡(或求解),然后再分析集合間的關(guān)系,并正確使用各種符號.解：設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽的同學(xué)組成的集合分別為a、b、c,由題意可知a、b、c三集合中元素個數(shù)分別為27、25、27,ab、bc、ac、abc的元素個數(shù)分別為10、7、11、4.畫出維恩圖,如圖1-3所示,圖1-3可知全班人數(shù)為10+13+12+6+4+7+3=55(人).綠色通道能正確使用一些集合符號把文字語言轉(zhuǎn)化成集合語言、圖形語言,是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的重要一步.專題3集合與分類討論思想總結(jié)：分類討論思想是高中的重要數(shù)學(xué)思想之一,分類討論思想在與集合概念的結(jié)合問題主要是以集合作為一個載體,與集合中元素的情況結(jié)合加以考查,解決此類問題關(guān)鍵是要深刻理解集合概念,結(jié)合集合中元素的特征解決問題.1.由集合的互異性決定分類【例題1】設(shè)a=-4,2a-1,a2,b=9,a-5,1-a,已知ab=9,則實數(shù)a=_.分析:由ab=9知道a與b集合中均含有9這個元素,從而分類討論得到不同的a的值,注意集合中元素互異性的運用.解：由ab=9,得2a-1=9,或a2=9,解得a=5,3,-3.當(dāng)a=5時,a=-4,9,25,b=9,0,-4,ab=9,-4,與ab=9矛盾;當(dāng)a=3時,a-5=-2,1-a=-2,b中元素重復(fù),舍去;當(dāng)a=-3時,a=-4,-7,9,b=9,-8,4,滿足題設(shè).a=-3.綠色通道本題主要考查了分類討論的思想在集合中的具體運用,同時應(yīng)該注意集合中元素的互異性在集合元素的確定中起重要作用.正確理解集合的含義,首先是分析集合中的元素有什么特點,一個集合能化簡(或求解)的一般應(yīng)考慮將它化簡(或求解),然后再分析集合間的關(guān)系,并正確使用各種符號.黑色陷阱本題在解題過程中易出現(xiàn)的錯誤:(1)分類討論過于復(fù)雜;(2)不進(jìn)行檢驗,導(dǎo)致出現(xiàn)增根;(3)分類討論之后沒有進(jìn)行總結(jié).2.因空集而引起的討論【例題2】已知集合a=x|x2+4x=0,b=x|x2+ax+a=0,若ba,求實數(shù)a滿足的條件.分析:由于集合a可用列舉法表示為0,-4,所以b可能等于a,即b=0,-4;b也可能是a的真子集,即b=,或b=0,或b=-4,由此求出實數(shù)a滿足的條件.解：a=x|x2+4x=0=0,-4,且ba,可得(1)當(dāng)b=a時,b=0,-4,由此可知,0,-4是方程x2+ax+a=0的兩根,由韋達(dá)定理,有此方程無解.(2)當(dāng)ba時,b,即b=0,或b=-4,=a2-4a=0,解得a=0或4,此時b=0,b=-2.b=0,符合題意,即a=0符合題意;b=,則=a2-4a0,解得0a4.綜合(1)(2),知a滿足的條件是0a4.綠色通道解決這類問題常用到分類討論的方法.如ab即可分兩類:(1)ab;(2)a=b.而對于(1)ab又可分兩類:(1)a;(2)a=.從而使問題得到解決.需注意a=這種情況易被遺漏.注意培養(yǎng)慎密的思維品質(zhì).解決含待定系數(shù)的集合問題時,常常會引起討論,因而要注意檢驗是否符合全部條件,合理取舍,謹(jǐn)防增解.3.討論方程解的情況【例題3】集合a由kx2-3x+2=0的解構(gòu)成,其中kr,若a中的元素至多有一個,求k值的范圍.分析:方程的解是集合中的元素,討論集合中元素的情況即討論方程解的情況.解：若k=0,則x=.知a中有一個元素,符合題設(shè);若k0,則方程為一元二次方程.當(dāng)=9