高中數(shù)學(xué) 4.2平面向量的坐標運算配套課件 北師大版.ppt

第二節(jié)平面向量的坐標運算 三年8考高考指數(shù) 1 了解平面向量的基本定理及其意義 2 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示 3 會用坐標表示平面向量的加法 減法與數(shù)乘運算 4 理解用坐標表示的平面向量共線的條件 1 平面向量基本定理的應(yīng)用 坐標表示下向量的線性運算及向量共線條件的應(yīng)用是考查重點 2 題型以選擇題 填空題為主 與三角 解析幾何等知識交匯則以解答題為主 1 平面向量基本定理前提 e1 e2是同一個平面內(nèi)的兩個 條件 對于這一平面內(nèi)的任一向量a 實數(shù) 1 2使a 結(jié)論 不共線的向量e1 e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 不共線向量 存在唯一一對 1e1 2e2 基底 即時應(yīng)用 判斷下列關(guān)于基底說法的正誤 請在括號內(nèi)打 或 1 在 abc中 可以作為基底 2 能夠表示一個平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的 3 零向量不能作為基底 解析 由基底的定義可知 1 3 正確 2 只要是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量都可作為一組基底 故 2 錯誤 答案 1 2 3 2 平面向量的坐標表示 1 在平面直角坐標系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個單位向量i j作為基底 對于平面內(nèi)的一個向量a 有且只有一對實數(shù)x y 使a xi yj 把有序數(shù)對 叫作向量a的坐標 記作a 其中 叫作a在x軸上的坐標 叫作a在y軸上的坐標 2 設(shè) xi yj 則向量的坐標 x y 就是 的坐標 即若 x y 則a點坐標為 反之亦成立 o是坐標原點 x y x y x y 終點a x y 即時應(yīng)用 1 思考 向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點和終點的位置有關(guān)系嗎 提示 向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點 終點的位置無關(guān) 只與其相對位置有關(guān)系 2 已知a 2 0 a x 3 x 3y 5 若a o為原點 則x y 解析 a 2 0 解得答案 1 2 3 平面向量的坐標運算 即時應(yīng)用 1 已知a 1 1 b 1 1 則 2 已知點a 1 5 和向量a 2 3 若則點b的坐標為 3 設(shè)a 1 2 b 1 1 c 3 2 且c pa qb 則實數(shù)p q的值分別為 解析 2 設(shè)b x y 則 x y 1 5 3 2 3 x y 1 5 6 9 5 4 3 3 2 p 1 2 q 1 1 p q 2p q 答案 4 平面向量共線的坐標表示設(shè)a x1 y1 b x2 y2 則a b x1y2 x2y1 0 即時應(yīng)用 1 已知a 1 3 b x 1 且a b共線 則x 2 設(shè)a 1 1 b 1 0 若向量 a b與向量c 2 1 共線 則 解析 1 a b 1 2 3x 0 2 a b 1 1 1 0 1 又 a b c 1 1 2 0 1 答案 1 2 1 平面向量基本定理及其應(yīng)用 方法點睛 用平面向量基本定理解決問題的一般思路先選擇一組基底 并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式 再通過向量的運算來解決 提醒 在基底未給出的情況下 合理地選取基底會給解題帶來方便 另外 要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理 例1 如圖所示 在平行四邊形abcd中 m n分別為dc bc的中點 已知試用c d表示 解題指南 直接用c d表示有難度 可換一個角度 由表示進而求 規(guī)范解答 方法一 設(shè)則 將 代入 得a d c a 代入 得 方法二 設(shè)因為m n分別為cd bc的中點 所以即 反思 感悟 1 以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底 該平面內(nèi)的任意一個向量都可以表示成這組基底的線性組合 基底不同 表示也不同 2 利用已知向量表示未知向量 實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算 變式訓(xùn)練 已知梯形abcd 如圖所示 m n分別為ad bc的中點 設(shè)試用e1 e2表示 解析 又又由得 平面向量的坐標運算 方法點睛 兩向量相等的充要條件兩向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要條件是它們的對應(yīng)坐標分別相等 即利用向量相等可列出方程組求其中的未知量 從而解決求字母取值 求點的坐標及向量的坐標等問題 例2 1 設(shè)平面向量a 3 5 b 2 1 則a 2b等于 a 7 3 b 7 7 c 1 7 d 1 3 2 已知a 2 3 b 5 4 c 7 10 求 若求m n 解題指南 1 由向量的坐標運算法則求解即可 2 利用為點b的坐標減去點a的坐標求解 利用向量相等列出關(guān)于m n的方程組求解 規(guī)范解答 1 選a a 2b 3 5 2 2 1 7 3 2 5 4 2 3 3 1 7 10 2 3 5 7 7 10 5 4 2 6 m n m 5 7 n 2 6 5m 2n 7m 6n m n 3 1 互動探究 本例中第 2 題條件不變 問題變?yōu)?若試求 為何值時 點p在一 三象限的角平分線上 又該如何求解 解析 設(shè)p x y 則 x y 2 3 x 2 y 3 5 4 2 3 7 10 2 3 3 5 1 7 若點p在一 三象限的角平分線上 則5 5 4 7 反思 感悟 求解平面向量坐標的加法 減法 數(shù)乘運算 以及求向量的坐標表示等問題 關(guān)鍵是理解平面向量線性運算和坐標形式的性質(zhì)與規(guī)律 解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則 變式備選 已知a 1 2 b 2 1 c 3 2 和d 2 3 以為一組基底來表示 解析 由題知 1 3 2 4 3 5 4 2 5 1 3 5 4 2 5 1 12 8 又為平面內(nèi)不共線的向量 故根據(jù)平面向量基本定理 一定存在實數(shù)m n 使得 12 8 m 1 3 n 2 4 也就是 12 8 m 2n 3m 4n 平面向量共線的坐標表示 方法點睛 利用兩向量共線解題的技巧 1 一般地 在求與一個已知向量a共線的向量時 可設(shè)所求向量為 a r 然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于 的方程 求出 的值后代入 a即可得到所求的向量 2 如果已知兩向量共線 求某些參數(shù)的取值時 則利用 若a x1 y1 b x2 y2 則a b的充要條件是x1y2 x2y1 解題比較方便 提醒 1 注意0的方向是任意的 2 若a b為非零向量 當a b時 a b的夾角為0 或180 求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯 例3 已知a 1 0 b 2 1 1 當k為何值時 ka b與a 2b共線 2 若 2a 3b a mb且a b c三點共線 求m的值 解題指南 1 利用向量共線的充要條件列出關(guān)于k的方程求解即可 2 可引入?yún)?shù) 使 求m 或利用 的坐標形式求m 規(guī)范解答 1 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b與a 2b共線 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得 2 方法一 a b c三點共線 即2a 3b a mb 方法二 2a 3b 2 1 0 3 2 1 8 3 a mb 1 0 m 2 1 2m 1 m a b c三點共線 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 反思 感悟 1 利用已知列方程求解參數(shù)是解該類問題的關(guān)鍵 2 若 則a b c三點共線 注意這一結(jié)論的應(yīng)用 變式訓(xùn)練 2012 中山模擬 已知向量 1 若點a b c不能構(gòu)成三角形 求x y應(yīng)滿足的條件 2 若求x y的值 解析 1 若點a b c不能構(gòu)成三角形 則這三點共線 由得 3 1 y 2 x x y滿足的條件為x 3y 1 0 2 x 1 y 由得 2 x 1 y 2 x 1 y 變式備選 向量a x 1 b 9 x 若a與b方向相反 則x 解析 因為a b 所以x2 9 所以x 3 又因為a與b方向相反 所以x 3 答案 3 易錯誤區(qū) 忽視向量平行的充要條件導(dǎo)致錯誤 典例 2011 湖南高考 設(shè)向量a b滿足 a b 2 1 且a與b的方向相反 則a的坐標為 解題指南 設(shè)a b 0 利用 a 列出關(guān)于 的方程求解即可 規(guī)范解答 a與b的方向相反 且b 2 1 可設(shè)a b 0 則a b 2 又 a 即5 2 20 2 4 又 0 2 a 4 2 答案 4 2 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 上海高考 設(shè)a1 a2 a3 a4是平面上給定的4個不同點 則使成立的點m的個數(shù)為 a 0 b 1 c 2 d 4 解析 選b 方法一 取特殊值 令a1 0 0 a2 0 1 a3 1 1 a4 1 0 則滿足的條件的點有且僅有1個 即為正方形a1a2a3a4的中心 故選b 方法二 設(shè)m x y ai xi yi i 1 2 3 4 則 xi x yi y 由得 點m只能有一個 故選b 2 2012 西安模擬 已知兩點a 1 0 bo為坐標原點 點c在第二象限 且 r 則 等于 a b c 1 d 1 解析 選b 作圖 由已知