高考數學一輪復習 第二章 函數 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性課件 文.ppt

第三節(jié)函數的奇偶性與周期性 總綱目錄 教材研讀 1 函數的奇偶性 考點突破 2 奇 偶 函數的性質 3 周期性 考點二函數周期性的判斷與應用 考點一函數奇偶性 考點三函數性質的綜合問題 1 函數的奇偶性 教材研讀 2 奇 偶 函數的性質 1 奇 偶 函數的定義域關于原點對稱 2 奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性 相同 偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性 相反 3 在公共定義域內 i 兩個奇函數的和是 奇函數 兩個奇函數的積是 偶函數 ii 兩個偶函數的和 積都是 偶函數 iii 一個奇函數 一個偶函數的積是 奇函數 4 若函數f x 是奇函數且在x 0處有定義 則f 0 0 與函數奇偶性有關的結論 1 如果函數f x 是偶函數 那么f x f x 2 既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型 即f x 0 x d 其中定義域d是關于原點對稱的非空數集 3 偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大 小 值 取最值時的自變量互為相反數 奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數 取最值時的自變量也互為相反數 3 周期性 1 周期函數 對于函數y f x 如果存在一個非零常數t 使得當x取定義域內的任何值時 都有f x t f x 那么就稱函數y f x 為周期函數 稱t為這個函數的周期 2 最小正周期 如果在周期函數f x 的所有周期中存在一個最小的正數 那么這個最小正數就叫做f x 的最小正周期 有關周期函數的幾個常用結論周期函數y f x 滿足 1 若f x a f x a 則函數的周期為2 a 2 若f x a f x 則函數的周期為2 a 3 若f x a 則函數的周期為2 a 4 若f x a 則函數的周期為2 a 5 若函數f x 的圖象關于直線x a與x b對稱 則函數f x 的周期為2 b a 6 若函數f x 的圖象既關于點 a 0 對稱 又關于點 b 0 對稱 則函數f x 的周期是2 b a 7 若函數f x 的圖象既關于直線x a對稱 又關于點 b 0 對稱 則函數f x 的周期是4 b a 8 若函數f x 是偶函數 其圖象關于直線x a對稱 則其周期為2 a 9 若函數f x 是奇函數 其圖象關于直線x a對稱 則其周期為4 a 1 2018北京東城期末 下列函數中為偶函數的是 a y x 2 2b y lnx c y x cosxd y e x 答案d偶函數需具備 定義域關于原點對稱 滿足f x f x 只有d項符合 故選d d 2 2017北京朝陽期中 下列四個函數中 在其定義域上既是奇函數又是單調遞增函數的是 a y x 1b y tanxc y x3d y 答案ca y x 1是非奇非偶函數 不符合題意 b y tanx是奇函數 但在定義域上不是單調函數 不符合題意 c y x3是奇函數 在定義域上為增函數 符合題意 d y 是奇函數 在定義域上不是單調函數 不符合題意 故選c c 3 2016北京東城二模 已知函數g x f x x是偶函數 且f 3 4 則f 3 a 4b 2c 0d 4 答案b g x f x x是偶函數 g x g x b g 3 f 3 3 4 3 1 g 3 f 3 3 1 f 3 2 4 2018北京海淀期中 已知函數f x 是定義在r上的周期為2的奇函數 當0 x 1時 f x 則f f 0 答案 2 解析 函數f x 是定義在r上的奇函數 f 0 0 f f 函數f x 的周期為2 f f 2 f f 0 2 2 5 若函數f x ax2 bx 3a b是偶函數 定義域為 a 1 2a 則a b 答案 0 解析因為偶函數的定義域關于原點對稱 所以a 1 2a 解得a 由函數f x x2 bx b 1為偶函數 結合偶函數圖象的特點 圖略 易得b 0 6 2015北京東城一模 已知函數f x 是定義在r上的奇函數 當x0時 f x 的解析式為 不等式f x 0的解集為 答案f x x2 4 2 0 2 解析當x 0時 x 0 f x x2 4 又f x f x f x x2 4 當x0時 f x x2 42 x 2 不等式f x 0的解集為 2 0 2 考點一函數奇偶性命題角度一函數奇偶性的判斷 考點突破 典例1 1 2017北京西城期末 下列函數中 定義域為r的奇函數是 a y x2 1b y tanxc y 2xd y x sinx 2 2017北京石景山一模 下列函數中為偶函數的是 a f x 2x b f x xsinxc f x excosxd f x x2 sinx 答案 1 d 2 b 解析 1 a y x2 1是偶函數 不滿足條件 b y tanx是奇函數 但函數的定義域不是r 不滿足條件 c y 2x為增函數 為非奇非偶函數 不滿足條件 d y x sinx是r上的奇函數 滿足條件 故選d 2 四個函數的定義域均為r 對于a 易判斷是奇函數 對于b f x x sin x x sinx f x 是偶函數 對于c f x e x cos x e x cosx 既不是奇函數也不是偶函數 對于d f x x 2 sin x x2 sinx 既不是奇函數也不是偶函數 方法技巧判斷函數奇偶性的常用方法 1 定義法 首先判斷定義域是否關于原點對稱 然后判斷f x 與f x 的關系 2 圖象法 若圖象關于原點對稱 則函數為奇函數 若圖象關于y軸對稱 則函數為偶函數 3 性質法 奇 奇 是奇 奇 奇 奇 奇 是偶 偶 偶 是偶 偶 偶 偶 偶 是偶 奇 偶 是奇 奇 偶 是奇 命題角度二函數奇偶性的應用典例2已知函數f x 在區(qū)間 0 上是增函數 函數g x f x 若g lgx g 1 則x的取值范圍是 a 0 10 b 10 c d 10 d 答案d 解析 g x f x g x f x f x g x g x 為偶函數 又 f x 在 0 上為增函數 g x 在 0 上為減函數 在 0 上為增函數 當 x 越大時 g x 越大 若g lgx g 1 則 lgx 1 lgx 1或lgx10或0 x 故選d 1 1 2018北京海淀期中 下列函數中 既是偶函數又在 0 上單調遞增的是 a f x x2b f x 3 xc f x ln x d f x x sinx 1 1 2018北京海淀期中 下列函數中 既是偶函數又在 0 上單調遞增的是 a f x x2b f x 3 xc f x ln x d f x x sinx 答案c符合偶函數的只有a c 函數f x x2在 0 上單調遞減 故選c c 1 2 2015北京海淀一模 已知函數f x 是奇函數 且當x 0時 f x ex 則f 1 a b c ed e 答案d 函數f x 是奇函數 f 1 f 1 e d 1 3函數f x 1 是r上的奇函數 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 0 則f 1 x 0的解集是 a 0 b 0 c 2 d 2 答案c由于函數f x 1 是r上的奇函數 故有f x 1 f x 1 令x 0 則有f 1 f 1 于是有f 1 0 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 1 解得x 2 故選c c 答案 1 d 2 1008 解析 1 因為f x 是周期為3的周期函數 所以f f f 4 2 1 故選d 2 f x 2 f x 函數f x 的周期t 2 又當x 0 2 時 f x 2x x2 所以f 0 0 f 1 1 所以f 0 f 2 f 4 f 2016 0 f 1 f 3 f 5 f 2015 1 故f 0 f 1 f 2 f 2016 1008 規(guī)律總結判斷函數周期性的幾個常用結論若對于函數f x 定義域內的任意一個x都有 1 f x a f x a 0 則函數f x 必為周期函數 2 a 是它的一個周期 2 f x a a 0 f x 0 則函數f x 必為周期函數 2 a 是它的一個周期 3 f x a a 0 f x 0 則函數f x 必為周期函數 2 a 是它的一個周期 2 1已知f x 是定義在r上的偶函數 并且滿足f x 2 當2 x 3時 f x x 則f 105 5 答案2 5 解析由f x 2 得f x 4 f x 2 2 f x f x 是以4為周期的周期函數 f 105 5 f 26 4 1 5 f 1 5 f 2 5 4 f 2 5 f x 為偶函數 且當2 x 3時 f x x f 105 5 f 2 5 f 2 5 2 5 2 5 考點三函數性質的綜合問題 典例4 2016北京東城 上 期中 定義在r上的函數f x 滿足f x f x 對于任意x1 x2 0 0 x2 x1 則 a f 1 f 2 f 3 b f 3 f 1 f 2 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 2 f 1 答案d 解析由f x f x 得f x 為偶函數 所以f 2 f 2 f 1 f 1 對于任意x1 x2 0 0 所以當x 0時 f x 為減函數 所以f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 故選d d 方法技巧 1 利用函數性質求值的關鍵是利用函數的奇偶性 對稱性以及函數的周期性將自變量轉化到指定區(qū)間內 然后代入函數解析式求值 2 利用函數性質解不等式問題 主要利用函數的奇偶性與單調性等將函數值的大小關系轉化為自變量之間的大小關系求解 3 1 2016廣東廣州模擬 已知f x 在r上是奇函數 且滿足f x 4 f x 當x 0 2 時 f x 2x2 則f 7 a 2b 2c 98d 98 答案a因為f x 4 f x 所以函數f x 的周期為4 所以f 7 f 7 8 f 1 又因為f x 為奇函數 且當x 0 2 時 f x 2