多變量卡諾圖及其在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用.doc

多變量卡諾圖及其在邏輯函數(shù)中的應(yīng)用摘要：卡諾圖是在數(shù)字電路中十分有用的工具，本文介紹了多變量卡諾圖在邏輯函數(shù)化簡中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：卡諾圖、邏輯函數(shù)、化簡Multi-variable Karnaugh Map and the Application of it in Logic FunctionAbstract：Karnaugh map is very useful in the study of digital design, in this article; we have introduce the application of multi-variable Karnaugh map in simplification of logic functions.Key words：Karnaugh map, simplification, logic function.卡諾圖（Karnaugh map）是由美國科學(xué)家卡諾首先提出的。在數(shù)字電子技術(shù)中，卡諾圖是邏輯函數(shù)真值表的一種圖形表示，即用圖形表示輸入變量與函數(shù)之間的邏輯關(guān)系。就n個變量的卡諾圖來說，它是由 個小方格組成，每一小方格代表一個最小項。在卡諾圖中，幾何位置相鄰（這里的幾何位置相鄰包括邊緣、四角）的小方格在邏輯上也是相鄰的，卡諾圖用幾何位置上的相鄰, 形象地表示了組成邏輯函數(shù)的各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。在數(shù)字電路原理與實踐課程中，我們常常將卡諾圖作為化簡邏輯函數(shù)的工具。利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡法或圖形化簡法?；啎r依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項可以合并，以此消去不同的因子。由于在卡諾圖上幾何位置相鄰與邏輯上的相鄰性是一致的，因而我們能夠從卡諾圖上直觀地找出那些具有相鄰性的最小項并將其合并、化簡。利用卡諾圖合并最小項的規(guī)則如下：如果兩個最小項邏輯相鄰，那么二者可以合并成為一項并消去一對因子，合并后的結(jié)果中只包含公共因子。如果四個最小項邏輯相鄰并且排列成一個矩形組，那么它們可以合并成為一項并且消去兩對因子，合并后的結(jié)果中只包含公共因子。如果八個最小項邏輯相鄰并且排列成一個矩形組，那么它們可以合并為一項并且消去三對因子，合并后的結(jié)果中只包含公共因子。事實上，我們可以總結(jié)出，在卡諾圖中，可以圈起個“1”單元的矩形集，矩形的定義包括圖的邊緣。相應(yīng)乘積項的變量可以直接從卡諾圖中確定，每個變量可確定如下：如果圈只覆蓋圖中變量為0的區(qū)域，那么變量在乘積項中求反；如果圈只覆蓋圖中變量為1的區(qū)域，那么變量在乘積項中不求反；如果圈同時覆蓋圖中變量為1、0的區(qū)域，那么變量不在乘積項中出現(xiàn)。每次的圈中必須有新的“1”或“0”。單獨存在的“1”或“0”也必須圈起來。如果圈“0”，那么變量求反原則反之。需要注意的是，在卡諾圖中，邏輯相鄰并不僅僅包括位置相鄰。下面我們給出較為常用的三變量、四變量卡諾圖，方格中的數(shù)字相鄰表示其幾何上也是相鄰的（本文中作主要討論的多變量卡諾圖可由三、四變量卡諾圖進行拓展得到）：三變量卡諾圖ABC000111100026411375四變量卡諾圖ABCD00011110000412801151391137151110261410下面用例題來討論卡諾圖和邏輯函數(shù)的互相轉(zhuǎn)換，為多變量卡諾圖的化簡作基礎(chǔ)：例1：用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 解：首先將Y化為最小項之和的形式 畫出四變量最小項的卡諾圖，在對應(yīng)于函數(shù)式中各最小項的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如圖所示的Y的卡諾圖。ABCD00011110000101011001110011100101例2：已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如下，試寫出該函數(shù)的邏輯式。ABC000111100011110011解：因為函數(shù)Y等于卡諾圖中填入1的那些最小項之和，圈出所有的1,所以有用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)直觀、簡捷方便、易于掌握，但傳統(tǒng)的卡諾圖化簡方法, 只適用于四變量及其四變量以下邏輯函數(shù)的化簡。五變量及五變量以上邏輯函數(shù)的卡諾圖不再是平面圖而是三維立體圖形, 所以用卡諾圖來化簡在操作性、可行性上就存在著一定的困難。因此，當(dāng)我們需要對五變量及五變量以上的邏輯函數(shù)進行化簡時, 我們可以采用一定的方法對多變量邏輯函數(shù)卡諾圖進行變形，使之適合傳統(tǒng)的卡諾圖化簡方法。通過對多變量邏輯函數(shù)卡諾圖的改進和拓展, 結(jié)合我們非常熟悉的四變量卡諾圖化簡方法，最終實現(xiàn)用卡諾圖來化簡五變量及五變量以上的邏輯函數(shù)。下面以一個例題來講解：例3：設(shè)有函數(shù) , 則其卡諾圖如下所示：WXYZ0001111000011110000000110001011000111101100011V=0 V=11000000000那么依據(jù)四變量卡諾圖的化簡規(guī)則，當(dāng)V=0時，有，當(dāng)V=1時，有，那么，則有。由此，五變量邏輯函數(shù)得到化簡。上述例子中，我們首先選中五個變量中的一個變量，由于該變量一定只有兩種取值0或1，所以我們可以將這兩種情況分裂為兩個四變量的卡諾圖。由此，我們已經(jīng)對原來的五變量卡諾圖進行了降維，使之成為四變量卡諾圖，然后我們再按照一般方法對卡諾圖進行圈1、化簡。由此可見, 如果我們對于一個 n變量的邏輯函數(shù), 分離出一個變量作為引入變量填入到 n-1 個變量的卡諾圖中, 就會使卡諾圖的格數(shù)減少二分之一。那么，利用此方法就可用四變量的卡諾圖表示五變量及以上的邏輯函數(shù)的邏輯關(guān)系, 從而使五變量及以上的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡過程得以簡化。因此，多變量卡諾圖在邏輯函數(shù)化簡中應(yīng)用的核心思想就是降維。結(jié)語：事實上，我們還可以利用多變量卡諾圖對邏輯函數(shù)進行各種與或非運算，或者簡化數(shù)字電路設(shè)計中的分析