圓錐恒過定點問題.(教師).doc

例1. 如圖，橢圓E：1(ab0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8.（）求橢圓E的方程；（II）設動直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x4相交于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由【答案】解：（）|AB|AF2|BF2|8，|AF1|F1B|AF2|BF2|8。又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2。又e，即，以c1。b。橢圓E的方程是1。（II）由得(4k23)x28kmx4m2120。 動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，m0且0，64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230，此時x0，y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假設平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上。設M(x1,0)，則0對滿足式的m、k恒成立。，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130。式對滿足式的m，k恒成立，解得x11。存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M。例2.如圖所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x22py(p0)上（I）求拋物線E的方程；（II）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點【答案】解：（I）依題意，|OB|8，BOy30。設B(x，y)，則x|OB|sin304，y|OB|cos3012。因為點B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2。故拋物線E的方程為x24y。（II）由（I）知yx2，yx。設P(x0，y0)，則x00，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx。由得。所以Q。假設以PQ為直徑的圓恒過定點M，由圖形的對稱性知M必在y軸上，設M(0，y1)，令0對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立。由(x0，y0y1)， 由于0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以，解得y11。故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)。3.已知拋物線C的方程為y2=2px（p0），直線：x+y=m與x軸的交點在拋物線C準線的右側(cè)（）求證：直線與拋物線C恒有兩個不同交點；（）已知定點A（1，0），若直線與拋物線C的交點為Q，R，滿足，是否存在實數(shù)m，使得原點O到直線的距離不大于，若存在，求出正實數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；拋物線的簡單性質(zhì).專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）聯(lián)立x+y=m與y2=2px，證明0，即可得到直線l與拋物線C恒有兩個不同交點； （）根據(jù)，結(jié)合韋達定理，求出p的表達式，利用原點O到直線l的距離不大于，確定m的范圍，由此可得正實數(shù)p的取值范圍解答：（）證明：由題知，聯(lián)立x+y=m與y2=2px，消去x可得y2+2py2pm=0（*）p0且，=4p2+8pm0，所以直線l與拋物線C恒有兩個不同交點； 4分（）解：設Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=2p，y1y2=2pm故=2y1y2+（1m）（y1+y2）+（m1）2=m2（2+2p）m+12p=0又由原點O到直線l的距離不大于，則有，由（）有，即，結(jié)合，化簡該不等式得：5m2+2m+10，恒成立，令t=m+1，則而函數(shù)在上單調(diào)遞減，存在m且，實數(shù)p的取值范圍為10分4.已知橢圓與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為，該橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點的直線與橢圓交于M，N兩個不同的點，且對外任意一點Q，有成立？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。解：（）由題意得，直線的方程為（1分）由及，得（3分）所以橢圓的方程為（4分）（）， （6分）當直線的斜率不存在時，易知符合條件，此時直線的方程為（8分）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入得由，解得設，則， ， （10分）由得 由消去，得，即，無解綜上存在符合條件的直線（12分）5.已知橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點 （）求橢圓的方程；（）在線段上是否存在點,使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（）因為橢圓的短軸長：， 又因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，所以：；故橢圓的方程為：4分（）（1）若與軸重合時，顯然與原點重合，； （2）若直線的斜率，則可設，設則： 所以化簡得：； 的中點橫坐標為：，代入可得： 的中點為， 由于得到 所以： 綜合（1）（2）得到： 14分6.設橢圓的離心率為,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上一動點，關(guān)于直線的對稱點為,求的取值范圍.解:(1)依題意知, 2分 ,. 4分所求橢圓的方程為. 6分（2） 點關(guān)于直線的對稱點為， 8分解得：，. 10分. 12 點在橢圓:上, 則. 的取值范圍為. 13分 7. 已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上（1）求拋物線和橢圓的標準方程；（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由解：（1）解：（1）由拋物線的焦點在圓上得：，拋物線 3分同理由橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上可解得：得橢圓 6分（2）是定值，且定值為1設直線的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得：且 9分由得：整理得： 14分8. 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的周長為. （I）求橢圓的方程；（II）設過橢圓右焦點的動直線與橢圓交于兩點，試問：在軸上是否存在定點，使成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由（I）由題意知：，且解得：進而 橢圓的方程為（II）易求得右焦點,假設在軸上存在點（為常數(shù)），使當直線的斜率不存在時，則，此時,解得或.當直線的斜率存在時，設，聯(lián)立方程組，消去整理得設，則 當即時，為定值：由可知，在軸上存在定點，使成立9. 設橢圓C：+=1（ab0）過點M（1，1），離心率e=，O為坐標原點（I）求橢圓C的方程（）若直線l是圓O：x2+y2=1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求證：為定值解：（）由題意可得，解得，橢圓C的方程為（）當圓O的切線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，則圓心O到直線l的距離，1+k2=m2將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m24=0設直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則，=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，當圓的切線l的斜率不存在時，驗證得綜合上述可得，為定值010.已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切（）求橢圓的方程；（）設，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；解：（）由題意知， 所以即又因為，所以，故橢圓的方程為4分（）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為由 得 6分設點，則直線的方程為令，得將，代入，整理，得 由得 ，代入整理，得所以直線與軸相交于定點11. 已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，且.（1）求橢圓的方程；(2）設過點且斜率不為的任意直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.（1）解：由 ， 得 . 依題意是等腰直角三角形，從而，故. 所以橢圓的方程是. 5分（2）解：設，直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 . 所以 ，. 若平分，則直線，的傾斜角互補，所以.設，則有 .將 ，代入上式，整理得 ，所以 . 將 ，代入上式，整理得 . 由于上式對任意實數(shù)都成立，所以 . 綜上，存在定點，使平分. 12分12.已知橢圓C的方程為左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4，點M是橢圓C上一點，滿足（）求橢圓C的方