高中數(shù)學(xué)《1.7.2定積分在物理中的應(yīng)用》課件 新人教A版選修22.ppt

1 7 2定積分在物理中的應(yīng)用 課標(biāo)要求 1 通過具體實(shí)例了解定積分在物理中的應(yīng)用 2 會(huì)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 位移和變力作功問題 核心掃描 利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 位移和變力所作的功 重點(diǎn) 自學(xué)導(dǎo)引定積分在物理中的應(yīng)用 想一想 利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移是同一個(gè)式子嗎 提示路程是標(biāo)量 位移是矢量 路程和位移是兩個(gè)不同的概念 1 當(dāng)v t 0時(shí) 求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用求解 2 當(dāng)v t 0時(shí) 求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用求解 這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù) 即路程為 名師點(diǎn)睛1 在變速直線運(yùn)動(dòng)中求路程 位移路程是位移的絕對(duì)值之和 從時(shí)刻t a到時(shí)刻t b所經(jīng)過的路程s和位移s 分別為 1 若v t 0 則s v t dt s v t dt 2 若v t 0 則s v t dt s v t dt 3 若在區(qū)間 a c 上 v t 0 在區(qū)間 c b 上v t 0 則s v t dt v t dt s v t dt 2 定積分在物理中的應(yīng)用 1 做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s 等于其速度函數(shù)v v t v t 0 在時(shí)間區(qū)間 a b 上的定積分 即s v t dt 2 一物體在恒力f 單位 n 的作用下做直線運(yùn)動(dòng) 如果物體沿著與f相同的方向移動(dòng)了s 單位 m 則力f所作的功為w fs 而若是變力所做的功w 等于其力函數(shù)f x 在位移區(qū)間 a b 上的定積分 即w f x dx 說明 做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s在數(shù)值上其實(shí)就是時(shí)間一速度坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積 而變力做功實(shí)際上也是位移 力坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積 在變力做功時(shí) 不限定f x 為非負(fù)數(shù) 這樣求出來的定積分可能為負(fù)數(shù) 當(dāng)定積分為負(fù)數(shù)時(shí) 說明變力做負(fù)功 即克服變力做了功 題型一求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 位移 例1 有一動(dòng)點(diǎn)p沿x軸運(yùn)動(dòng) 在時(shí)間t時(shí)的速度為v t 8t 2t2 速度的正方向與x軸正方向一致 求 1 p從原點(diǎn)出發(fā) 當(dāng)t 6時(shí) 求點(diǎn)p離開原點(diǎn)的路程和位移 2 p從原點(diǎn)出發(fā) 經(jīng)過時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值 思路探索 解 1 由v t 8t 2t2 0得0 t 4 即當(dāng)0 t 4時(shí) p點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng) 當(dāng)t 4時(shí) p點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng) 故t 6時(shí) 點(diǎn)p離開原點(diǎn)的路程當(dāng)t 6時(shí) 點(diǎn)p的位移為 2 依題意 8t 2t2 dt 0 1 用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問題時(shí) 將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵 2 路程是位移的絕對(duì)值之和 因此在求路程時(shí) 要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正 若符號(hào)不定 應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間 然后分別計(jì)算 否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤 變式1 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v t 1 t2 初始位置為x0 1 求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置 解當(dāng)0 t 1時(shí) v t 0 當(dāng)1 t 2時(shí) v t 0 所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程 題型二求變力所作的功 例2 在底面積為s的圓柱形容器中盛有一定量的氣體 在等溫條件下 由于氣體的膨脹 把容器中的一個(gè)活塞 面積為s 從點(diǎn)a處推到b處 計(jì)算在移動(dòng)過程中 氣體壓力所做的功 力f對(duì)物體所做的功為w f s 求出變力f的表達(dá)式是本題中求功的關(guān)鍵 題后反思 解決變力作功注意以下兩個(gè)方面 1 首先要將變力用其方向上的位移表示出來 這是關(guān)鍵的一步 2 根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題 因?yàn)槲恢脹Q定于位移 所以它是v t 在 0 4 上