紀(jì)博元用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式.doc

用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式教學(xué)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)與一元一次方程由于任何一元一次方程都可以化為axb0（a、b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，從圖像上，這相當(dāng)于已知直線yaxb，確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值?！纠?】利用函數(shù)圖像解出x（1）3x2x4；（2）5x37x1；分析：先將方程化為axb0的形式，再在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)yaxb的圖像，然后觀察出直線yaxb與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而取定所求x的值。圖1【解答】（1）由3x2x4得2x60由圖1看出直線y2x6與x軸的交點(diǎn)（3，0）所以x3（2）由5x37x1，得2x40由圖2看出直線y2x4與x軸的交點(diǎn)為（2，0）所以x2圖2【解后感悟】利用函數(shù)圖像解一元一次方程，一般需將方程變形為axb0的形式，然后通過(guò)觀察直線yaxb與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定方程的解?！纠?】如圖3將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片，剪成四個(gè)大小一樣的正方形，然后將其中的一個(gè)在按同樣的方法剪成四個(gè)正方形，如此循環(huán)下去，觀察下列圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后回答問(wèn)題：操作的次數(shù)12345正方形個(gè)數(shù)47101316當(dāng)所操作的次數(shù)為多少時(shí)，得到的正方形的個(gè)數(shù)為25個(gè)？圖3【解析】可設(shè)未知數(shù)列方程解答?！窘獯稹拷夥?：設(shè)經(jīng)過(guò)x次的操作后能得到的正方形的個(gè)數(shù)為25個(gè)，則依題意：3x125解得x8解法2：設(shè)經(jīng)過(guò)x次操作后，能得到y(tǒng)個(gè)正方形，依題意得：y3x1令y25，則有3x125，即3x240.由圖4可看出直線y3x24與x軸的交點(diǎn)為（8，0），得x8.圖4【方法探究】雖然像這樣用一次函數(shù)圖像來(lái)解方程未必簡(jiǎn)單，但是從函數(shù)的角度看問(wèn)題能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，這種用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)問(wèn)題的方法，對(duì)于繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要。知識(shí)點(diǎn)2 一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為axb0或axb0（a、b為常數(shù)，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍。【例3】畫(huà)出函數(shù)y2x1的圖像，利用圖像求：（1）方程2x10的根；（2）不等式2x10的解集；（3）當(dāng)y3時(shí)，求x的取值范圍；（4）當(dāng)33時(shí)，求x的取值范圍；【分析】此題必須先畫(huà)出圖像，再根據(jù)圖像求解，通過(guò)解方程或不等式也能得到準(zhǔn)確答案，但不符合題意要求，本題主要考察觀察函數(shù)圖像的能力?！窘獯稹亢瘮?shù)y2x1是一次函數(shù)，取兩點(diǎn)x0y10連結(jié)A（0，1）、B（，0）兩點(diǎn)，如圖5，直線AB就是函數(shù)y2x1的圖像。圖5（1）直線AB與x軸的交點(diǎn)是B（，0）從圖像可以看出當(dāng)x時(shí)，y0即2x10.就是方程2x10的解。（2）從圖像上可以看到，射線BA在x軸的上方，它上面的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不小于零，即y2x10.射線BA上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x，不等式2x10的解集是.（3）過(guò)點(diǎn)（0，3）引平行于x軸的直線CC，交直線AB于C，C的坐標(biāo)為（1，3），直線CC上點(diǎn)的縱坐標(biāo)y均等于3，直線下方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y均小于3，射線CD上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x1.y時(shí)，x的取值范圍為x.（4）過(guò)（0，3）點(diǎn)作平行于x軸的直線，交直線AB于D（2，3）.從圖像中可見(jiàn)，線段DC上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足，而橫坐標(biāo)滿(mǎn)足?！窘夂蟾形颉勘纠?）（4）也可以將y2x1代入中求相應(yīng)的x的值與取值范圍，這個(gè)事實(shí)說(shuō)明：當(dāng)給定函數(shù)值的一個(gè)取值范圍，欲求相應(yīng)的自變量的取值范圍時(shí)，實(shí)質(zhì)就是解不等式。知識(shí)點(diǎn)3 一次函數(shù)與二元一次方程（組）一般地，每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)?！纠?】利用函數(shù)圖像解方程組.【分析】由于二元一次方程的解可以看作是y關(guān)于x的一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)，所以方程組的解為兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可通過(guò)畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)圖像，從圖像上觀察出交點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程組的解?！窘獯稹坑蓌2y3得；由2xy1得.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出一次函數(shù)的圖像和y2x1的圖像，如圖所示：觀察圖像的交點(diǎn)為P（1，1）.所以方程組的解是?！痉椒记伞繙?zhǔn)確地將方程整理為函數(shù)解析式是基礎(chǔ)；用兩點(diǎn)確定直線的方法畫(huà)一次函數(shù)圖像，方程組的解直觀地體現(xiàn)在圖像上是關(guān)鍵?！就?lèi)變式一】如圖所示，直線在直角坐標(biāo)系內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）。試問(wèn)（0，2）的橫、縱坐標(biāo)可看作是怎樣的方程組的解中x、y的值？【分析】用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，即可知道是怎樣的方程組?！窘獯稹咳鐖D所示經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）和（2，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）和（3，0），從而由一次函數(shù)解析式的求解方法得的解析式為yx2，的解析式為所以（0，2）的橫、縱坐標(biāo)可看作方程組的解中x、y的值?！就?lèi)變式二】設(shè)一次函數(shù)yx1與的交點(diǎn)為P，它們與x軸的交點(diǎn)分別為B、A.試求ABC的面積。【分析】由于方程組的解與一次函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)只是形式上不同，本質(zhì)上是一樣的，故可以由二元一次方程組的解來(lái)確定兩個(gè)一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合三角形的性質(zhì)可求出ABC的面積?！窘獯稹縋點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解，解得如圖所示，一次函數(shù)與x軸交于A（4，0），直線yx1與x軸交于B（1，0）。所以AB4（1）5，過(guò)P點(diǎn)作PCAB于C，PC5.所以【例5】某中學(xué)的校長(zhǎng)準(zhǔn)備在暑假帶領(lǐng)該校的一些“市級(jí)三好學(xué)生”去北京旅游。甲旅行社說(shuō)：“如果校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張，則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠”。乙旅行社說(shuō)：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)，全體人員均按全票的6折優(yōu)惠”。若蘇州到北京的全票單價(jià)為1000元。（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)x人，甲旅行社收費(fèi)為元，乙旅行社收費(fèi)為元，分別寫(xiě)出兩家旅行社的收費(fèi)表達(dá)式；（2）就學(xué)生人數(shù)x，討論哪家旅行社更優(yōu)惠？【分析】先求出與的表達(dá)式，在分別令，三種情況討論甲、乙兩旅行社哪家