Banach壓縮映象原理及其相關應用.doc

Banach壓縮映象原理及其相關應用摘要:詳細論述Banach壓縮映象原理和推廣的Banach壓縮映象原理，以及它在關于一些問題的解存在唯一性定理中的廣泛應用并列舉探索各類方程解的存在的應用。關鍵詞：抽象函數(shù)，不動點，壓縮映射，抽象微分方程，隱函數(shù)存在性定理引 言:壓縮映射原理的研究是算子方程的求解問題，它不僅具有實義，而且對泛函分析理論的發(fā)展起著重大作用。 我們首先介紹不動點和壓縮映射的定義以及壓縮映射原理，并在此基礎上，進一步給出一個推廣的壓縮映射原理。壓縮映射原理不僅指出了算子方程Fx=x的解的存在性和唯一性，而且給出了近似求解的方法及誤差分析，因而是很有用的。微分方程初值問題的解的存在唯一性定理及畢卡（Picard）逐次逼近法就是它的特例。在Banach空間中這一問題將更為普遍。數(shù)學分析中的隱函數(shù)存在定理也是壓縮映射原理的一個特例。一、幾個定義及壓縮映射原理定義 1：設X，Y為巴拿赫空間，算子F： （一般的，F(xiàn)是非線性的）。如果存在有界線性算子A（X,Y）使得關系式 對于滿足的是一致成立的，則稱算子F在點處是費力許（Frechet）可微的，并記，稱為F在點處的費力許導數(shù)。為了給出關于算子的有限增量公式（相當于中值定理），我們引入關于抽象函數(shù)的積分的概念。設是由實數(shù)域到巴拿赫空間X的算子，這種算子通常稱為“抽象函數(shù)”。現(xiàn)設的定義域是區(qū)間，將分為n個小區(qū)間，分、點為 記此分劃為，及在每個小區(qū)間上任取一點，作和式 定義 2：如果對任意的分劃及的任意取法，當時和式都收斂（在X中范數(shù)意義下）于同一個元素，則抽象函數(shù)在上黎蔓可積的，稱為在上黎蔓可積，記為 性質(zhì) 1：設抽象函數(shù)黎蔓可積，則抽象函數(shù)在上弗力許可微，且， 定義 3：設X為巴拿赫空間，F(xiàn)為由X到X的算子，且非空，如果滿足 則稱x為算子F的不動點。換句話說，不動點x是算子方程 （1）的解。定義4：設Q,如果存在常數(shù)，使得對任意的均有不等式 （2）則稱F為集合Q上的壓縮算子，稱為壓縮系數(shù)。定理1（壓縮映象原理）設算子F在巴拿赫空間X中的閉集Q為自己，且F為Q上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為，則算子F在Q內(nèi)存在唯一的不動點，若為Q中任意一點，作序列，n=0,1,2， （3）則序列，且，并有誤差估計 （4）證明：由于FQQ，故設，利用算子F的壓縮性，可依次得到： （5）現(xiàn)在估計，利用（5）式可得到 即 （6）由此可知是柯西點列，由X的完備性知存在使得又因Q是閉集，故現(xiàn)在證明是算子F的不動點，由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。事實上，如果，則由式（2）知。于是在式（3）中令，既得。再證的唯一性，設若另有一不動點，則 由于，故上式只能在時成立 于是至于估計式（4）的證明只需在式（6）中令 證畢。壓縮映象原理最常用的兩種情形是Q=X及Q= X中的閉球。對于后者，如下列推論所述：推論 1：設F為閉球上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為，且 （7）則F在中有唯一不動點且序列(3)收斂于，收斂速度為式（4），初始近似可在中任取。證明：只要證明F映為自己，如果即，則二、推廣的壓縮映象原理設算子F映集合為自己，對任一自然數(shù)n，算子F的n次冪定義為：當時令，如果已經(jīng)定義，則令定理 2：設算子F映閉集為自己且對某一自然數(shù)算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一不動點逼近序列（3）收斂于初始近似為任意。證明：當時即為定理1，現(xiàn)設，考察算子，根據(jù)定理1，在Q上有唯一的不動點，因為算子F與G在Q上可交換，故有： 此即表明也是G的不動點，但G的不動點是唯一的，故即也是F的不動點。下證唯一。如果另有，滿足，則。但G的不動點是唯一的，故= 證畢三、壓縮映象原理的應用在微分方程，積分方程以及其它各類方程的理論中，解的存在唯一性以及近似解的收斂性等都是很重要的問題。為了證明一個微分方程，積分方程或其它類型的方程存在解。我們可以將它變成求某一映射的不動點?，F(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 （8）為例來說明這一點。求微分方程（8）滿足初始條件的解與求解積分方程 等價。為了求積分方程（9），我們可以根據(jù)所滿足解析條件適當?shù)厝∫粋€度量空間，并在這個度量空間中作映射， 于是方程（9）的解就轉(zhuǎn)化為求使它滿足。也就是求出這樣的，它經(jīng)映射T作用后仍變成，這種稱為映射T的不動點。因此求解方程（8）就變成求映射T的不動點。考察微分方程 (10) 其中f（x,y）在整個平面內(nèi)連續(xù)，此外還設f（x,y）關于y滿足李普希茨條件; 則通過點微分方程（10）有一條且只有一條積分曲線。證明：問題（10）等價于求解下面的積分方程 我們?nèi)∈?用表示在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)組成的空間，在中定義算子（映射）F： 因，由壓縮映象原理，存在唯一的連續(xù)函數(shù)，使 由此可以看出，還是連續(xù)可微的，于是使是微分方程（10）通過積分曲線。但只定義在上，重復利用壓縮映象原理，可以將它延拓到整個數(shù)軸上。四、巴拿赫空間中的微分方程對于微分方程初值問題的解的各種存在唯一定理，利用壓縮映象原理，可以給出一種很簡單的證明。下面我們在巴拿赫空間中討論這一問題，這樣做具有普遍性，卻并不增加證明的復雜性。設為從實數(shù)域到某一巴拿赫空間的抽象函數(shù)，我們要討論的是非線性微分方程 （11）其中F（t，x）是關于兩個變元的非線性算子，實變量，而x是X的元素。F的值域也在X中，的意義與通常理解的相同： 現(xiàn)假設F為已知，所謂微分方程（11）的初值問題是指求，它滿足（11）及初始條件 （12）其中定理 3：設當x為固定且時在上連續(xù)，而當及時有 （13） （14）則在 （）上初值問題（11）、（12）存在唯一解x(t),且（當時）。證明：所討論的問題等價于積分方程 （15）事實上，設是初值問題（11）、（12）的解，則可將x(t)代入方程（15），再從0到t積分，考慮到條件（12），即得式（15），反之設x(t)滿足方程（15），注意到當時抽象函數(shù)F（s，x(s)）連續(xù)，這是因為 又根據(jù)x（t）的連續(xù)及F（t，x）對t的連續(xù)性，當且時上式右端的兩項均趨于0，根據(jù)式（*）即知 表明x(t)是問題（11）、（12）的解。因此，初值問題（11）、（12）等價于求方程（15）的解。 記在上連續(xù)，在X中取值的抽象函數(shù)x(t)的全體所構成的巴拿赫空間為，其范數(shù)定義為 考察中的閉球 則非線性算子映為自己，這是因為 其中用到了不等式（13）及a的定義。同時，是上的壓縮算子，這是因為由條件（14）知： 其中q=al1（由a定義）。于是利用壓縮映象原理，方程（15）在球中存在唯一解X（t）。從而定理得證。這個定理的不足之處是初值問題（11）、（12）的解僅確定在上而不是在上，對于算子F（t，x）附加以較強條件時可以彌補這個缺陷。定理 4：設算子F（t，x）對每一固定的x,關于連續(xù)且滿足李普希茨條件：則初值問題（11）、（12）在上存在唯一解。我們給出兩種證明 它們都很簡單而富有啟發(fā)性。第一種證明：如上所述，可等價地討論積分方程（15）。在巴拿赫空間中考察積分算子 我們有下列估計式 由此又有 一般地，我們有 在上取最大值，得到 由于當故對于充分大的n,中的壓縮算子。于是定理得證。 第二種證明 在巴拿赫空間中引入另一種泛數(shù) 。我們證明積分算子是這種范數(shù)下的壓縮算子。事實上 乘以因子，再在上取max，得到 故壓縮系數(shù)為 定理得證五、一個特例隱函數(shù)存在定理定理 5：設函數(shù)在帶狀域 中處處連續(xù)，且處處有關于y的偏導數(shù)如果還存在常數(shù)m和M，滿足則方程f(x,y)=0在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解：證明：在完備空間中作算子（映射）F，使對任意的函數(shù)有 按照定理條件，f(x,y)是連續(xù)的，故也連續(xù)，即 所以F是到自身的映射。現(xiàn)證F是壓縮算子，任取，根據(jù)微分中值定理，存在滿足 由于，所以令，則有，且 因此，F(xiàn)是壓縮映射，由定理 1，存在唯一的滿足，即，這就是說，定理證畢參考文獻：1夏道行.實變函數(shù)與泛函分析M.北京：人民教育出版社,1980.2李延保，樓宇同.應用泛函分析基礎M.南京：南京工學院出版社，1986.3李大華.應用泛函簡明教程M.武漢：華中理工大學出版社，1989.4葉懷安.實變于泛函M.合肥：中國科學技術大學出版社，1991